隨機(jī)電磁渦旋光束傳輸過程中斯托克斯參量和偏振度的變化

楊先才，丁攀峰，王燕飛

（華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門 361021）

隨機(jī)電磁渦旋光束傳輸過程中斯托克斯參量和偏振度的變化

楊先才，丁攀峰，王燕飛

（華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門 361021）

基于交叉譜密度矩陣?yán)碚摷捌鋫鬏斠?guī)律，推導(dǎo)隨機(jī)電磁渦旋光束在自由空間中傳輸時(shí)的廣義斯托克斯參量和偏振度的公式，分析相干長度對(duì)廣義斯托克斯參量和偏振度的影響.研究結(jié)果表明：相干長度越長，即相干度越高，光束的渦旋特性越容易保持；隨著相干長度的增加，斯托克斯參量和偏振度增加的比較緩慢；當(dāng)相干長度遠(yuǎn)大于光斑尺寸時(shí)，廣義斯托克斯參量和偏振度基本保持不變.

電磁渦旋光束；廣義斯托克斯參量；偏振度；交叉譜密度；相干長度；自由空間

部分相干高斯－謝爾模型光束在相干理論研究中起著非常重要的作用［1-3］.1992年，Allen等［4］提出了渦旋光束，其所攜帶的軌道角動(dòng)量可以傳遞給微粒，還可以實(shí)現(xiàn)對(duì)微米、亞微米微粒的俘獲、平移，因而在粒子囚禁與操控等方面具有很重要的用途［5］.另外，渦旋光束在信息編碼上也有較大的應(yīng)用前景，利用渦旋光束的軌角動(dòng)量可對(duì)信息進(jìn)行編碼與傳輸［6］.研究表明，偏振度在自由空間中傳輸時(shí)會(huì)發(fā)生變化.1852年，Stokes提出了以他名字命名的4個(gè)斯托克斯參量，每個(gè)參量都是位置的函數(shù)［7］.Wolf等［7-8］提出了隨機(jī)光束的相干和偏振的統(tǒng)一理論.其重要的工具就是交叉譜密度矩陣，而矩陣中的每個(gè)矩陣元都是取決于空間中可以測(cè)量的一對(duì)位置點(diǎn)［8］.不同于斯托克斯參量，矩陣元嚴(yán)格遵守傳播規(guī)律，可用來研究光束在傳輸過程中的偏振變化.此外，Korotkova推導(dǎo)了隨機(jī)電磁光束在自由空間中的傳播守恒定律［9］.本文利用統(tǒng)一理論和交叉譜密度傳輸理論，闡述并驗(yàn)證了隨機(jī)電磁渦旋光束在自由空間中傳輸時(shí)廣義斯托克斯參量和偏振度的行為特性.

1 理論分析與隨機(jī)電磁光束公式推導(dǎo)

假設(shè)在源平面z＝0處，一束隨機(jī)電磁渦旋光束旁軸在近似條件下沿著z軸正方向傳輸.在z＝0平面內(nèi)，光束的二階相干特性用2×2交叉譜密度矩陣［10］表述為

其矩陣元為

式（2）中：r1，r2為光源平面的二維位置矢量；ω為光束角頻率；E（r，ω）為光源頻率為ω的平面光束在r處的電場(chǎng)分量；＊表示空間－頻率域內(nèi)的復(fù)共軛；〈〉表示空間－頻率域內(nèi)的系綜平均.

討論的光源光束是取一特定的波長作為研究對(duì)象，故與角頻率ω有關(guān)的方程不再顯示ω.

根據(jù)廣義的惠更斯－菲涅耳原理，光束在自由空間中傳輸一段距離（z＞0）后，光場(chǎng)的交叉譜密度函數(shù)［11］可以表示為

式（3）中：k＝2π／λ，λ為入射光的波長；ρ1，ρ2為目標(biāo)平面的二維位置矢量；z為播距離.

假設(shè)在源平面處，隨機(jī)電磁渦旋光束的電場(chǎng)矢量是帶有渦旋項(xiàng)的拉蓋爾-高斯模型［12］，即有

式（4）中：Ei，0和σi，0分別為源平面上光束的場(chǎng)輻射和光斑大?。籸是位置矢量r的模；βi為光束的初相位；mi為渦旋光束的拓?fù)潆姾蓴?shù)，為研究的方便取mi＝1.

通過以上的假設(shè)和推導(dǎo)，將式（4）代入式（2）中，可以得到在源平面處交叉譜密度矩陣元，即

式（5）中：φ1，φ2和δi，j是方位角；δi，j是相干長度.Ei，0，Bi，j，σj，0與δi，j位置無關(guān)，但是與角頻率ω 有關(guān)，與此同時(shí)，其中的一些量滿足文獻(xiàn)［13］中公式.把式（5）代入式（3），并且利用如下公式［14-15］，即

經(jīng)過一系列的復(fù)雜的計(jì)算，可以得到目標(biāo)平面處部分相干渦旋光束的交叉譜密度矩陣元.即

令ρ1＝ρ2＝ρ，θ1＝θ2＝θ，可以得到在目標(biāo)平面上斯托克斯參量（包括光強(qiáng)）的表達(dá)式為

以及偏振度的表達(dá)式為

由式（8），（9）便可以計(jì)算在目標(biāo)平面上的光強(qiáng)分布、斯托克斯參量和偏振度.

下面利用數(shù)學(xué)工具M(jìn)athCAD進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，研究相干長度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.同時(shí)，利用試驗(yàn)條件下的結(jié)果和數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行比較，檢驗(yàn)二者的吻合程度.驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)裝置圖如圖1所示.

從圖1可知，由He－Ne激光器發(fā)射的高斯光束經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的毛玻璃后形成部分相干光束，當(dāng)光束經(jīng)過螺旋相位板時(shí)，便可以獲得部分相干渦旋光束，最后由電荷耦合元件（CCD）獲得實(shí)驗(yàn)圖像.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.1 Experiment setup

2 斯托克斯參量和偏振度的數(shù)值計(jì)算

利用數(shù)學(xué)工具 MathCAD并結(jié)合式（8），（9），對(duì)目標(biāo)平面上的光強(qiáng)，斯托克斯參量和偏振度做數(shù)值計(jì)算.計(jì)算時(shí)，光斑大小固定取σx，0＝σy，0＝σ＝1mm，入射光波波長固定取λ＝632.8nm，而x和y方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度分別取Ex＝1，Ey＝0.8.

在z＝1.5m處的固定平面上，不同相干長度歸一化后的光強(qiáng)分布，如圖2所示.從圖2可知，相干度越高，橫截面上的光強(qiáng)中心強(qiáng)度會(huì)減弱，并且隨著相干度的增加，中間會(huì)出現(xiàn)暗核.也就是說，相干長度越高，光束的渦旋項(xiàng)越容易保持.

在z＝1.2m處，不同相干度下的光強(qiáng)分布實(shí)驗(yàn)圖，如圖3所示.在實(shí)驗(yàn)操作中，相干度近似用可見度表示，即利用V＝（Imax－Imin）／（Imax＋I(xiàn)min）來計(jì)算，而相干度的大小則是通過改變毛玻璃的位置來調(diào)節(jié)的.將圖3和圖2進(jìn)行比較可以知道：實(shí)驗(yàn)所得的光強(qiáng)分布與歸一化的光強(qiáng)剖面曲線圖相似，中心出現(xiàn)暗核，并且當(dāng)相干度越高時(shí)，在同一地點(diǎn)的光強(qiáng)也越強(qiáng)，光強(qiáng)亮暗的對(duì)比也越明顯.總體來說，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值模擬的結(jié)果大致吻合.

圖2 不同相干長度的歸一化光強(qiáng)剖面曲線Fig.2 Curves of the normalized intensity profiles for different coherence lengths

圖3 不同相干長度的光強(qiáng)分布實(shí)驗(yàn)圖Fig.3 Intensity distribution of experimental results for different coherence lengths

在不同的相干長度下沿著z軸傳輸時(shí)軸上點(diǎn)光強(qiáng)分布的變化情況，如圖4所示.從圖4中曲線a可看出，軸上點(diǎn)光強(qiáng)S0的分布是隨著傳輸距離的增加而單調(diào)降低直至降為零；從圖4中曲線b可看出，軸上點(diǎn)光強(qiáng)S0的分布先短暫增加，達(dá)到最大值后開始降低，直到降為零；從圖4中曲線c可看出，軸上點(diǎn)光強(qiáng)S0的分布也是先增加后降低，但比較而言，要變化得慢一些.

為了證實(shí)光強(qiáng)分布隨著傳輸距離的變化情況，實(shí)驗(yàn)測(cè)量當(dāng)相干長度為δx，x＝δy，y＝0.3σ（旋轉(zhuǎn)毛玻璃處于合適的位置）時(shí)，不同距離情況下的光強(qiáng)分布光斑圖，如圖5所示.從圖5中可以看出，隨著傳播距離每40cm的增加，光強(qiáng)的分布變得越來越弱，而且光斑有擴(kuò)散的趨勢(shì).這與圖4中曲線a的光強(qiáng)分布隨著傳輸距離的增加而減弱的情況類似，說明實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論假設(shè)基本符合.

取Bx，y＝0.3exp（－i（π／6）），通過數(shù)值模擬軸上點(diǎn)在傳輸過程中隨機(jī)電磁渦旋光束的相干長度對(duì)廣義斯托克斯參量和偏振度的影響，如圖6，7所示.在此為討論方便，定義歸一化的斯托克斯參量為sa（a＝1，2，3）和S0的比值.

圖4 軸上點(diǎn)光強(qiáng)分布隨著傳輸距離的變化Fig.4 Changes in the intensity distribution for different coherence length on axis along the Z－axis

圖5 不同距離處的光強(qiáng)分布光斑圖Fig.5 Changes of experimental measurement in the intensity distribution for different positions

圖6 相干長度對(duì)歸一化斯托克斯參量的影響Fig.6 Influence of normalized Stokes parameters for coherence lengths

圖7 相干長度對(duì)偏振度的影響Fig.7 Influence of the degree of polarization for coherence lengths

從圖6（a）～（b）可以明顯看出，當(dāng)x向相干長度和y向相干長度相等但遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光斑尺寸時(shí)，隨著傳播距離的增加，2個(gè)歸一化的斯托克斯參量S2／S0和S3／S0都是分別單調(diào)增加到一個(gè)固定的值并保持不變，只是圖6（b）中的變化比圖6（a）要緩慢一些，而S1／S0則隨著傳播距離的增加都基本上保持不變.從圖6（c）可以看出，當(dāng)相干長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光斑尺寸時(shí)，3個(gè)歸一化的斯托克斯參量隨著傳播距離的增加都基本上保持不變.

從圖6（d）中可以看出，與圖6（a）最大的不同是S1／S0由正值下降到零直至負(fù)值，并最終保持恒定值不變.這是由于在源平面有 Wx，x＞W(wǎng)y，y，但是隨后 Wx，x下降得比 Wy，y快，這當(dāng)中會(huì)出現(xiàn) Wx，x＝Wy，y（例如S1＝0）.在圖6（e）中，2個(gè)歸一化的斯托克斯參量S2／S0和S3／S0單調(diào)增加到一個(gè)最大值然后保持不變，但是S1／S0單調(diào)減小直至最小值然后保持不變.在圖6（f）中，3個(gè)歸一化的斯托克斯參量基本保持不變.

從圖7（a）可知，偏振度曲線a，b分別單調(diào)增加到一個(gè)固定的值并保持不變，而偏振度曲線c基本上保持不變.從圖7（b）可知，偏振度P曲線a先減小到一個(gè)最小值后開始增加，但是偏振度P曲線b，c基本上保持不變.

3 結(jié)論

理論分析并推導(dǎo)了隨機(jī)電磁光束公式，研究并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證隨機(jī)電磁渦旋光束在自由空間中傳輸時(shí)廣義斯托克斯參量和偏振度的行為特性.由于渦旋光束在x向和y向上的相干性強(qiáng)弱并不十分明確，分別作了討論并最終呈現(xiàn)出不同的變化分布.

通過研究得到無論x向相干長度是否等于y向相干長度，都有以下幾點(diǎn)主要結(jié)論：1）相應(yīng)的歸一化的斯托克斯參量S2／S0和S3／S0的變化基本一致；2）隨著相干長度的增加，歸一化的斯托克斯參量和偏振度的變化越來越不明顯，后來基本保持不變；3）變化最大的是S1／S0，即當(dāng)x向相干長度等于y向相干長度（圖6（a），（b））時(shí)，S1／S0保持不變，而當(dāng)x向相干長度不等于y 向相干長度（圖6（d），（e））時(shí)，S1／S0出現(xiàn)下降的變化；4）正是由于S1／S0的不同變化，使得P曲線a出現(xiàn)了相應(yīng)的不同變化.

鑒于部分相干光束在遙感、跟蹤和遠(yuǎn)距離通訊等應(yīng)用中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，以及光的偏振性在光學(xué)檢測(cè)、顯示技術(shù)、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、光通信、材料科學(xué)等方面的廣泛研究與應(yīng)用，使得實(shí)驗(yàn)結(jié)論對(duì)于隨機(jī)電磁渦旋光束傳輸?shù)钠駪B(tài)研究具有一定的借鑒和指導(dǎo)意義.

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Changes in Stokes Parameters and Degree of Polarization of Stochastic Electromagnetic
Vortex Beams on Propagation

YANG Xian－cai，DING Pan－feng，WANG Yan－fei
（College of Information Science and Engineering，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

Based on the theory of cross－spectral density matrix and the propagation laws of cross－spectral density，the general formulae were derived to calculate the generalized Stokes parameters and degree of polarization for a class of stochastic electromagnetic vortex beam while propagating in free space.Meanwhile，the influence on propagation of the generalized Stokes parameters and the degree of polarization by the coherence length was analyzed.It is shown that the higher the correlation length（the higher the degree of coherence）is，the better the vertical component can keep；the Stokes parameters and the degree of polarization increase more slowly with the increment of the correlation length increase；the generalized Stokes parameters and the degree of polarization keep almost invariant while the coherence length is much larger than beam size.

stochastic electromagnetic vortex beam；generalized stokes parameters；polarization′s degree；cross－spectral density；free space；coherence length

錢筠 英文審校：吳逢鐵）

O 436.1

A

1000－5013（2012）01－0017－06

2011－05－19

丁攀峰（1980－），男，副教授，主要從事光束傳輸和偏振光學(xué)的研究.E－mail：dingpf＠hqu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金培育項(xiàng)目（JB－ZR1126）；福建省廈門市科技計(jì)劃項(xiàng)目（3502Z20113017）