部分二次特征值及其敏感性配置

謝溪莊

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

部分二次特征值及其敏感性配置

謝溪莊

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

利用響應(yīng)矩陣法配置主動(dòng)振動(dòng)控制中的配置特征值及其敏感性，使得特征值和敏感性配置的個(gè)數(shù)不受限制.提出用帶等式約束的二次規(guī)劃問題，來求解主動(dòng)振動(dòng)控制中單輸入狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的部分特征值及敏感性配置問題.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：轉(zhuǎn)化成二次規(guī)劃問題來求解的方法，其特征值配置問題滿足要求，敏感性配置也相對滿足要求.

特征值；敏感性；二次規(guī)劃問題；響應(yīng)矩陣法；主動(dòng)振動(dòng)控制

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中，許多反特征值問題中都要求系統(tǒng)有特征值的敏感性.例如，在主動(dòng)振動(dòng)控制中不僅要求通過引入某種控制器，使得部分系統(tǒng)的特征值可以移動(dòng)到指定的位置，從而使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到改善，而且要使特征值的敏感性達(dá)到一定的要求.Ram等［1］提出了用響應(yīng)矩陣法解決主動(dòng)振動(dòng)控制中的特征值配置問題.對于主動(dòng)振動(dòng)控制中單輸入狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的部分特征值及敏感性配置問題［2］，Mottershead等［3］提出可以將特征值及其敏感性配置轉(zhuǎn)化成線性方程，并通過解線性方程組的方式來解決問題.然而，當(dāng)方程組為超定方程組時(shí)，可能出現(xiàn)無解的情況.因此，本文中提出用帶等式約束的二次規(guī)劃問題來求解.

1 響應(yīng)矩陣法

首先考慮二階矩陣微分方程為

式（1）中：M，C，K是n×n實(shí)對稱陣，M 是正定的，C，K 是半正定的.通過變量分離z（t）＝xeλt，其中λ∈x，x∈xn是一個(gè)常向量.由此可得

記Q（λ）＝λ2M＋λC＋K，矩陣多項(xiàng)式Q（λ）稱為開環(huán)二次束，（λ，x）稱為Q（λ）的特征對.

開環(huán)的響應(yīng)矩陣的形式如下

也可以把它表示成如下形式，即

式（4）中：adj A為矩陣A的伴隨矩陣；det A為矩陣A的行列式.

2 響應(yīng)矩陣法配置主動(dòng)振動(dòng)控制的特征值及其敏感性

考慮單輸入狀態(tài)反饋主動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng)為

其中：b，f，g∈Rn.

結(jié)合式（5），（6）及變量分離z（t）＝xeλt，有

式（7）中：Qc（λ）＝［λ2M＋λ（C＋bfT）＋（K＋bgT）］為閉環(huán)二次束.

由Sherman－Amorrison式

可得閉環(huán)的響應(yīng)矩陣為

部分特征值配置問題就是給定 M，C，K∈Rn×n，向量b∈Rn，集合L＝｛μ1，μ2，…，μp｝，滿足當(dāng)μj∈L時(shí)，ˉμj∈L且｛μ1，μ2，…，μp｝∩｛λ1，λ2，…，λ2n｝＝?，其中λi為Q（λ）的特征值.求得f，g∈Rn，使得｛μ1，μ2，…，μp｝為Qc（λ）的p個(gè)特征值.

若｛μ1，μ2，…，μp｝為Qc（λ）的p個(gè)特征值，由文獻(xiàn)［3］可知

由式（9）可知，當(dāng)L＝｛μ1，μ2，…，μp｝滿足μj∈L，ˉμj∈L時(shí)，f和g是實(shí)向量，且當(dāng)p＜2n時(shí)，線性方程組（9）有無數(shù)多個(gè)解.另外，由文獻(xiàn)［3］可以得到特征值關(guān)于向量g的敏感性為

特征值關(guān)于向量f敏感性為

3 帶等式約束的二次規(guī)劃問題

對特征值的配置與對其敏感性的配置都可以轉(zhuǎn)化成求解關(guān)于f和g的線性方程組.令u＝（gTfT）T，要對兩者同時(shí)進(jìn)行配置時(shí)，結(jié)合式（9）和式（12）可以求解下面的二次規(guī)劃問題［4］，即

其中：‖·‖F(xiàn)為F－范數(shù).

當(dāng)F，G是滿秩矩陣時(shí)，q（u）是強(qiáng)凸函數(shù)，Ω＝｛u∈R2n｜Gu＝c｝是一個(gè)閉凸集，二次規(guī)劃問題（13）有唯一解，且等價(jià)于求解下面的線性方程組，即

其中：FH為f的共軛轉(zhuǎn)置陣［5］.

Mottershead等［3］提出通過下面的線性方程組來求解g和f，即

注1 當(dāng)F，G不是滿秩矩陣時(shí)，可以先將線性方程組（14）的系數(shù)矩陣進(jìn)行QR分解，提取其中滿秩的部分，建立新的二次規(guī)劃問題進(jìn)行求解.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

設(shè)M，C，K，b具有下面的形式，即

其開環(huán)的特征值為λ1，2＝－0.016 6±0.551 6i，λ3，4＝－0.252 8±2.228 9i，λ5，6＝－0.252 8±2.228 9i.

例1 將前面4個(gè)開環(huán)特征值λ1，2，λ3，4替換為u1，2＝－0.02±0.8i，u3，4＝－0.3±1.9i，給定u3，4＝－0.3±1.9i，相對于g的第1個(gè)分量的敏感性為.可求解下面的線性方程組（14），得唯一解為

其相應(yīng)的閉環(huán)特征值為u1，2＝－0.02±0.8i，u3，4＝－0.3±1.9i，u5，6＝0.154 3±2.560 1i且u3，4的敏感性.

從上面的實(shí)驗(yàn)可以看出，在例1中，式（13）與式（14）的解是相同的.此時(shí)式（13）的目標(biāo)函數(shù)q（u）＝1.46×10－6（其值不為0是由于計(jì)算機(jī)的計(jì)算誤差）.

例2 在例1的基礎(chǔ)上，再給定u1，2＝－0.02±0.8i，相對g的第1個(gè)分量的敏感性為.顯然，這種情況下線性方程組（14）是一個(gè)超定方程組，無解.只能求解二次規(guī)劃問題（13）且可解得

其閉環(huán)特征值為u1，2＝－0.02±0.8i，u3，4＝－0.3±1.9i，u5，6＝－0.037 2±2.431 6i；而其相應(yīng)的敏感性為＝－0.05＋0.133 5i，＝－0.05－0.133 5i，＝－0.018 4－0.124 9i，＝－0.018 4－0.124 9i.

由此可以看到特征值配置問題滿足要求，敏感性配置雖不是為給定的值，也是比較相對滿足要求的.此時(shí)，式（13）的目標(biāo)函數(shù)q（u）＝5.06×104.

［1］RAM Y M，MOTTERSHEAD J E.Receptance metheod in active vibration control［J］.AIAA Journal，2007，45（3）：562－567.

［2］龔德恩.利用矩陣廣義逆的極點(diǎn)配置問題新解法［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2000，21（1）：101－106.

［3］MOTTERSHEAD J E，TEHRANI M G，RAM Y M.Assignment of eigenvalue sensitivities from receptance measurements［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23（6）：1931－1939.

［4］BERTSEKAS D P.凸分析與優(yōu)化［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2007.

［5］NOCEDAL J，WRIGHT S J.Numerical optimization［J］.2nd ed.Berlin：Springer－Verlag，2006.

Assignment of Eigenvalue and Corresponding Sensitivities

XIE Xi－zhuang
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

By means of assignment for the eigenvalue and the corresponding sensitivities in active vibration control by receptance method，the number of the assigned eigenvalue and sensitivities isn′t limited.We present an equality－constrained quadratic programming method to solve the problem of eigenvalue and sensitivities assignment in active vibration control using single－input state feedback.It is shown that the eigenvalue and sensitivities can be assigned by the quadratic programming method by numerical tests.

eigenvalue assignment；sensitivity；quadratic programming；receptance method；active vibration control

黃曉楠 英文審校：張金順，黃心中）

O 231.1

A

1000－5013（2012）01－0117－04

2011－05－22

謝溪莊 （1981－），男，助教，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究.E－mail：xzx＠hqu.edu.cn.

國務(wù)院僑辦科研基金資助項(xiàng)目（09QZR10）