n維超長方體中圖形函數(shù)的計數(shù)

李應，吳康

(華南師范大學數(shù)學科學學院，廣東廣州 510631)

n維超長方體中圖形函數(shù)的計數(shù)

李應，吳康

(華南師范大學數(shù)學科學學院，廣東廣州 510631)

利用組合幾何計數(shù)原理和方法，研究在均勻分割的n維超長方體中，所有n維超長方體的任一k維測度和的計數(shù)問題.從頂點和、周長和、面積和等低維測度和計數(shù)方法入手，然后類比遷移到高維空間中，最終得到任一k維測度和的計數(shù)公式，并在五種特殊n維超長方體中推廣.

組合幾何計數(shù);n維超長方體;圖形函數(shù);k維測度;k維測度和

1 問題引入

“在一條線段上添加n個分點，求所有線段的條數(shù)”、“在m×n棋盤中，求所有長方形的個數(shù)”這類幾何圖形中求某種圖形個數(shù)的問題常見于文獻［1－2］.直線、平面或空間圖形均勻分割求個數(shù)問題前人已經(jīng)推導出具體計算公式.本文研究n維超長方體經(jīng)均勻分割后，所有n維超長方體的任一k維測度和的計數(shù)問題，并在五種特殊n維超長方體中作進一步推導.

本文約定所有圖形在n維歐氏空間［3］內(nèi)討論，并作如下定義.

對k維面約定k=0時稱為頂點;k=n時即Tn(A)本身;k=1時稱為一維棱，第i維的一維棱簡稱為ai邊.

對k維測度約定0維測度等于1.

定義3在Tn(A)中，頂點、一維棱、二維面、三維面、…、n維面稱為Tn(A)的元素.同一維度的元素稱為同種元素，如長方形的6個面是同種元素，12條棱也是同種元素.

定義4在Tn(A)中，與任一k維面測度相等的同種元素個數(shù)記為h(n，k).

引理1在Tn(A)中，與任一k維面測度相等的同種元素個數(shù)

證明在k維面為1，2，…，n的任意排列)中，xik+1，xik+2，…，xin的每個值都有兩種選擇，由乘法原理易得:h(n，k)=2n－k.

定義5若Tn(A)被均勻分割為m1×m2×…×mn等分(mi∈N+，mi與ai邊對應，i=1，2，…，n)，則用Tn(a1，a2，…，an; m1，m2，…，mn)表示，簡記為Tn(A;M)，其中M表示向量(m1，m2，…，mn).

定義6在Tn(A;M)中，所有n維超長方體的個數(shù)用g(M)表示.

特別地，在均分為m段的線段中，所有線段條數(shù)用g(m)表示.

定義7在Tn(A;M)中，設(shè)1≤j1＜j2＜…＜jk≤n，那么從aj1，aj2，…，ajk對應k邊上各取定一條線段，則一類n維超長方體的一個k維面被確定，這類n維超長方體的個數(shù)記為g(m1，m2，…，mn;mj1，mj2，…，mjk).

引理2定義7中n維超長方體的個數(shù)

證明定義7中n維超長方體，由不是第j1，j2，…，jk的基維上任意取一條線段而確定，由定義6易得(2)式成立.

引理3［1］在Tn(A;M)中，所有n維超長方體的個數(shù)

定義8用fn，k(A;M)表示Tn(A;M)中所有n維超長方體的所有k維測度和，如所有1維測度和即周長和，所有2維測度和即表面積和.

引理4［1］在Tn(A;M)中，所有n維超長方體的0維測度(頂點個數(shù))和

2 一維測度圖形函數(shù)的計數(shù)

2.1 f1，1(a1;m1)的計數(shù)公式

定理1［4］如圖1所示，線段AB的長度為a1，均分為m1段，則線段AB中所有線段長度之和為

圖1 線段ABFig.1Line AB

證明線段AB均分為m1段，則AB間共有m1+1個點，那么長度為·i(1≤i≤m1)的線段數(shù)量有m1+1－i條.因此

2.2 f2，1(a1，a2;m1，m2)的計數(shù)公式

定理2如圖2所示，長方形ABCD中，AB長為a1，均分為m1段，AD長為a2，均分為m2段，長方形ABCD平行分割為m1×m2棋盤，則長方形ABCD中所有長方形的周長之和為

圖2 長方形ABCDFig.2Rectangle ABCD

證明長方形ABCD中有兩組平行線，圖中任一小長方形由兩對平行線相交而成，且為一一對應關(guān)系.長方形ABCD中所有長方形的周長之和，可分為平行于AB的線段和l1，平行于AD的線段和l2這兩部分.以下首先討論l1:在AB上任意取定一條線段，不妨取EF，則一類長方形的一組對邊長度被確定，另一組對邊長度由AD決定，故這類長方形個數(shù)與線段AD上所有線段條數(shù)相等，即g(m2).由定理1，AB上所有線段和為f1，1(a1;m1)，因此l1=f1，1(a1;m1)·h(2，1)·g(m2).同理l2=f1，1(a2;m2) ·h(2，1)·g(m1).故

其中f2，1(a1，a2;m1，m2)為T2(a1，a2;m1，m2)中所有長方形的周長(1維測度)和.

2.3 f3，1(a1，a2，a3;m1，m2，m3)的計數(shù)公式

定理3如圖3所示，長方體ABCD－A'B'C'D'中，AB長為a1，均分為m1段，AD長為a2，均分為m2段，AA'長為a3，均分為m3段，長方體ABCD－A'B'C'D'被m1×m2×m3等分，則長方體ABCD－A'B'C'D'中所有長方體周長之和為

證明長方體ABCD－A'B'C'D'中有3組平行面，圖中任一小長方體由3對平行面相交而成，且為一一對應關(guān)系.長方體ABCD－A'B'C'D'中所有長方形的周長之和，可分為平行于AB的線段和l1，平行于AD的線段和l2，平行于AA'的線段和l3這3部分.以下首先討論l1:在AB上任意取定一條線段，不妨取EF，則一類長方體的一組對邊長度即被確定，另外兩組對邊由AD與AA'決定，故這類長方形的個數(shù)為g(m1，m2，m3;m1).由定理1，AB上所有線段和為f1，1(a1;m1)，因此l1=f1，1(a1;m1)·h(3，1)·g(m1，m2，m3;m1).

圖3 長方體ABCD－A'B'C'D'Fig.3Cuboid ABCD－A'B'C'D'

2.4 fn，1(A;M)的計數(shù)公式

定理4Tn(A;M)中，所有n維超長方體的周長(1維測度)之和

證明Tn(A;M)中有n組平行面，任一小n維超長方體由n對平行面相交而成，且為一一對應關(guān)系.fn，1(A;M)可分為平行于各ai(i=1，2，…，n)邊的線段和li，共n部分.以下任取lk(1≤k≤n)進行討論.

設(shè)ak對應的邊為HM，在線段HM上任意取定一條線段，則一類n維超長方體的一組對邊長度被確定，另外(n－1)組對邊由其余a1，a2，…，ak－1，ak+1，…，an對應的(n－1)條邊決定，故這類n維超長方體個數(shù)為g(m1，m2，…，mn;mk).由定理1，HM上所有線段和為f1，1(ak;mk)，因此lk=f1，1(ak;mk)·h(n，1)·g(m1，m2，…，mn;mk).

至乾隆七年，乾隆皇帝為智樸修進士墳，估算智樸和尚大概活了一百歲。 無論是記錄智樸曲折心路歷程的《青松紅杏圖》、體現(xiàn)其詩文造詣的《盤山志》，還是與皇帝士子的結(jié)交來往，都使智樸跌宕的人生充滿傳奇色彩。 關(guān)于智樸的研究，還有很多未解之疑，待再作詳論。

其中fn，1(A;M)為Tn(A;M)中所有n維超長方體的周長(1維測度)和.

3 二維測度圖形函數(shù)的計數(shù)

3.1 f2，2(a1，a2;m1，m2)的計數(shù)公式

定理5如圖2所示，長方形ABCD中，AB長為a1，均分為m1段，AD長為a2，均分為m2段，長方形ABCD平行分割為m1×m2棋盤，則長方形ABCD中所有長方形面積和為

證明長方形ABCD中任一小長方形由AB、AD這兩條邊上，各邊適當取一條線段即可確定.因此，在AB上任意取定一條線段，不妨取EF，則一類長方形的一組對邊長度lEF即被確定，另一組對邊長度由AD決定.故這類長方形的面積和為:lEF· f(a2，m2).由定理1，AB上所有線段和為f1，1(a1;m1)，則長方形ABCD中所有長方形的面積和為

其中f2，2(a1，a2;m1，m2)為T2(a1，a2;m1，m2)中所有長方形的面積(2維測度)和.

3.2 f3，2(a1，a2，a3;m1，m2，m3)的計數(shù)公式

定理6如圖3所示，長方體ABCD－A'B'C'D'中，AB長為a1，均分為m1段，AD長為a2，均分為m2段，AA'長為a3，均分為m3段，長方體ABCD－A'B'C'D'被m1×m2×m3等分，則長方體ABCD－A'B'C'D'中所有長方體的表面積之和為

證明長方體ABCD－A'B'C'D'中任一小長方體由AB、AD、AA'這三條邊上，各邊適當取一條線段確定.任取AB、AD、AA'的兩邊，每邊取一條線段，則可確定一類長方體h(3，2)個面的面積.不妨取AD、AA'，由定理5，AD與AA'中所有長方體的面積和為f2，2(a2，a3;m2，m3).由于每一個面積對應一類長方體個數(shù)為g(m1).因此，

3.3 fn，2(A;M)的計數(shù)公式

定理7Tn(A;M)(n≥2)中，所有n維超長方體的2維測度(表面積)之和

證明Tn(A;M)中任一小n維超長方體，由a1，a2，…，an對應n條邊，各邊適當取一條線段確定.任取a1，a2，…，an對應兩邊，每邊取一條線段，可確定一類n維超長方體h(n，2)個面的面積.不妨取aj1，aj2對應邊，由定理5，這兩邊所決定的所有長方體面積和為f2，2(aj1，aj2;mj1，mj2).由于每一個面積對應一類長方體個數(shù)為g(m1，m2，…，mn;mj1，mj2).故

其中fn，2(A;M)為Tn(A;M)中所有n維超長方體的2維測度(表面積)和.

4 三維測度圖形函數(shù)的計數(shù)

4.1 f3，3(a1，a2，a3;m1，m2，m3)的計數(shù)公式

定理8如圖3所示，長方體ABCD－A'B'C'D'中，AB長為a1，均分為m1段，AD長為a2，均分為m2段，AA'長為a3，均分為m3段，長方體ABCD－A'B'C'D'被m1×m2×m3等分，則長方體ABCD－A'B'C'D'中所有長方體的體積之和為

證明長方體ABCD－A'B'C'D'中，由AB、AD兩邊各取一條線段可確定一類小長方體的底面積S1，而這類小長方體的高則由AA'上任取一條線段即可，故這類小長方體的體積之和為S1·f(a3，m3).由定理5，AB、AD所決定棋盤里，所有長方體的面積和為f2，2(a1，a2;m1，m2)，則長方體ABCD－A'B'C'D'中所有長方體的體積和為

其中f3，3(a1，a2，a3;m1，m2，m3)為T3(a1，a2，a3;m1，m2，m3)中所有長方體的體積(3維測度)和.

4.2 fn，3(A;M)的計數(shù)公式

定理9Tn(A;M)(n≥3)中，所有n維超長方體的3維測度之和

證明Tn(A;M)中任一小n維超長方體，由a1，a2，…，an對應n條邊上，各邊適當取一條線段確定.任取a1，a2，…，an對應的三邊，每邊取一條線段，則可確定一類n維超長方體h(n，3)個3維面.不妨取aj1，aj2，aj3對應邊，由定理8，aj1，aj2，aj3對應邊所決定的所有3維測度和為f3，3(aj1，aj2，aj3;mj1，mj2，mj3)，由于每一個3維面對應一類n維超長方體的個數(shù)為g(m1，m2，…，mn;mj1，mj2，mj3).因此，

其中fn，3(A;M)為Tn(A;M)中所有n維超長方體的3維測度和.

5 k維測度圖形函數(shù)的計數(shù)

5.1 fn，n(A;M)的計數(shù)公式

引理5在Tn(A;M)中，所有n維超長方體的n維測度之和

證明以下用數(shù)學歸納法證之.

當n=k+1時，在Tk+1(a1，…，ak+1;m1，…，mk+1)中，由a1，a2，…，ak對應的k邊各取一條線段可確定一類小(k+1)維超長方體的k維測度Sk，而這類小(k+1)維超長方體在第(k+1)維上的大小由ak+1對應邊上任取一條線段決定，故這類小(k+ 1)維超長方體的(k+1)維測度和為Sk·f(ak+1，mk+1).由歸納假設(shè)a1，a2，…，ak對應邊所組成圖形中，所有k維超長方體的k維測度和為fk，k(a1，a2，…，ak;m1，m2，…，mk).因此

即n=k+1命題成立.故原命題得證.

5.2 fn，k(A;M)的計數(shù)公式

定理10在Tn(A;M)中，所有n維超長方體的k(0≤k≤n)維測度之和

證明Tn(A;M)中任一小n維超長方體，由a1，a2，…，an對應n條邊各適當取一條線段確定.任取a1，a2，…，an對應的k邊，每邊取一條線段，則可確定一類n維超長方體的h(n，k)個k維面.不妨取aj1，aj2，…，ajk所對應邊，由引理4，Tk(aj1，aj2，…，ajk;mj1，mj2，…，mjk)中所有k維超長方體的k維測度和為fk，k(aj1，aj2，…，ajk;mj1，mj2，…，mjk).由于每一個k維面確定一類n維超長方體個數(shù)為g(m1，m2，…，mn;mj1，mj2，…，mjk).因此

其中fn，k(A;M)為Tn(A;M)中所有n維超長方體的k維測度和.

約定k=0時，

6 特殊的均勻分割下圖形函數(shù)的計數(shù)

前面在一般的n維超長方體中推導出fn，k(A;M)的計算公式，下面通過A，M的特殊取值，利用代入化簡的方法，給出5種特殊均勻分割下定理10的幾個重要推論.

［1］柳柏濂.幾何組合計數(shù)趣談［M］.廣州:廣東教育出版社，1988:1－18.

［2］馮躍峰.棋盤上的組合數(shù)學［M］.上海:上海教育出版社，1998:183－219.

［3］張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)［M］.4版.北京:高等教育出版社，2007:310－335.

［4］柳柏濂，吳康.競賽數(shù)學的原理和方法［M］.2版.廣州:廣東高等教育出版社，2005:184－206.

The Counting of Graphical Functions in n-Dimensional Super-Cuboids

LI Ying，WU Kang

(School of Mathematics Science，South China Normal University，Guangzhou 510631，China)

By means of the principles and methods of combinatorial geometric counting，the enumeration problems of the total measures for any k-dimension of n-dimensional super-cuboids under uniform partition are studied.It starts from the enumeration methods of low dimensional total measures，such as vertices summation，perimeter and total area，then compares and transfers the methods to higher dimensional space.Finally，it gets the enumeration formula for the total measures of any k-dimension of the super-cuboids，and promotes into five special kinds of n-dimensional super-cuboids.

combinatorial geometric counting;n-dimensional super-cuboid;graphical function;k-dimensional measure;k-dimensional total measures

O157.3

A

1007－0834(2012)02－0024－05

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.02.007

2012－02－23

李應(1987—)，男，廣東高州人，華南師范大學數(shù)學科學學院在讀碩士研究生.