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    一般偽黎曼流形的2-調(diào)和類(lèi)空超曲面

    2012-12-22 07:35:00范勝雪宋衛(wèi)東

    范勝雪,宋衛(wèi)東

    (安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

    一般偽黎曼流形的2-調(diào)和類(lèi)空超曲面

    范勝雪,宋衛(wèi)東

    (安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

    研究了一般偽黎曼流形中的2-調(diào)和類(lèi)空超曲面,獲得此類(lèi)超曲面的J.Simons型積分不等式及一些Pinching結(jié)果.

    偽黎曼流形;2-調(diào)和映照;類(lèi)空超曲面

    0 引 言

    按J.Eells和Lemaine在文獻(xiàn)[1]中設(shè)想,姜國(guó)英在文獻(xiàn)[2]中討論了Riemann流形間的2-調(diào)和映照,歐陽(yáng)崇珍又在文獻(xiàn)[3]中將2-調(diào)和映照推廣為從黎曼流形到偽黎曼流形的情形,并在該文的第四部分探討了常曲率Lorentz流形的2-調(diào)和類(lèi)空超曲面.本文將其外圍流形推廣到一般偽黎曼流形的情形,獲得以下一些結(jié)果.

    定理1 設(shè)Nn+1為指標(biāo)是1的(n+1)維完備連通的偽黎曼流形,其截面曲率KN滿(mǎn)足0<δ≤KN≤1.Mn為Nn+1緊致定向的2-調(diào)和類(lèi)空超曲面,則成立如下積分不等式:

    定理2 在定理1條件下,若還滿(mǎn)足下列條件之一:

    i)若0≤S<nδ;

    ii)若S>n且H=const.

    則Mn為極大類(lèi)空超曲面.

    1 預(yù)備知識(shí)

    本文約定各類(lèi)指標(biāo)的取值范圍如下:

    若無(wú)特殊說(shuō)明,重復(fù)指標(biāo)表示關(guān)于該指標(biāo)在取值范圍內(nèi)求和.

    設(shè)Nn+11為截面曲率KN滿(mǎn)足條件0<δ≤KN≤1的(n+1)維完備連通偽黎曼流形,Mn為等距浸入到的類(lèi)空超曲面,選取上的局部偽黎曼幺正標(biāo)架場(chǎng){eA},使得限制在Mn上時(shí),{ei}與Mn相切,令{ωA}為其對(duì)偶標(biāo)架,}為的聯(lián)絡(luò)1-形式,于是在Mn上時(shí),有

    其中h,ξ,Rijkl,KABCD分別為Mn的第二基本形式、中曲率向量、曲率張量及的曲率張量為的一階和二階共變導(dǎo)數(shù),定義為

    分別為Mn的第二基本形式模長(zhǎng)平方及中曲率.

    為定理證明需要,給出以下兩個(gè)引理:

    引理1[3]Mn為偽黎曼流形的2-調(diào)和類(lèi)空超曲面的充要條件:

    仿[4]的證明,對(duì)于偽黎曼流形,有

    引理2[4]設(shè)為(n+1)維偽黎曼流形,對(duì)x∈M,有δ≤KN≤1,則在x處有

    2 定理證明

    由前面的有關(guān)公式,可得

    首先將式(6)第一式改寫(xiě)成

    兩端關(guān)于i求導(dǎo),并對(duì)i求和得

    調(diào)整指標(biāo),結(jié)合式(6)第二式可得

    以上完成定理1的證明.

    [1]Eells J,Lemaire L.Seleted topics map[M]//Providence R I.CBMS.50.Washington DC:AMS,1983.

    [2]姜國(guó)英.Riemann流形間2-調(diào)和的等距浸入[J].數(shù)學(xué)年刊,1986,7A(2):130-144.

    [3]歐陽(yáng)崇珍.偽黎曼空間型的2-調(diào)和類(lèi)空子流形[J].數(shù)學(xué)年刊,2000,21A(6):649-654.

    [4]Golderg S I.Curvature and homology[M].London:Academic Press,1962.

    2-Harmonic Space-Like Hypetsurface in Pseudo-Riemannian Manifolds

    FAN Sheng-xue,SONG Wei-dong
    (College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

    This paper studied the 2-h(huán)armonic space-like hypersurface in pseudo-Riemannian manifold,obtained integral inequality of J.Simons'type and some Pinching results.

    pseudo-Riemannian manifold;2-h(huán)armonic map;space-like hypersurface

    O186 MSC2010:53C20

    A

    1674-232X(2012)01-0056-04

    10.3969/j.issn.1674-232X.2012.01.012

    2011-07-04

    安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2008A05ZC).

    宋衛(wèi)東(1958—),男,教授,主要從事微分幾何研究.E-mail:swd@sina.com

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