一般偽黎曼流形的2－調(diào)和類空超曲面

范勝雪，宋衛(wèi)東

（安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

一般偽黎曼流形的2－調(diào)和類空超曲面

范勝雪，宋衛(wèi)東

（安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

研究了一般偽黎曼流形中的2－調(diào)和類空超曲面，獲得此類超曲面的J.Simons型積分不等式及一些Pinching結(jié)果.

偽黎曼流形；2－調(diào)和映照；類空超曲面

0 引 言

按J.Eells和Lemaine在文獻［1］中設(shè)想，姜國英在文獻［2］中討論了Riemann流形間的2－調(diào)和映照，歐陽崇珍又在文獻［3］中將2－調(diào)和映照推廣為從黎曼流形到偽黎曼流形的情形，并在該文的第四部分探討了常曲率Lorentz流形的2－調(diào)和類空超曲面.本文將其外圍流形推廣到一般偽黎曼流形的情形，獲得以下一些結(jié)果.

定理1 設(shè)Nn＋1為指標(biāo)是1的（n＋1）維完備連通的偽黎曼流形，其截面曲率KN滿足0＜δ≤KN≤1.Mn為Nn＋1緊致定向的2－調(diào)和類空超曲面，則成立如下積分不等式：

定理2 在定理1條件下，若還滿足下列條件之一：

i）若0≤S＜nδ；

ii）若S＞n且H＝const.

則Mn為極大類空超曲面.

1 預(yù)備知識

本文約定各類指標(biāo)的取值范圍如下：

若無特殊說明，重復(fù)指標(biāo)表示關(guān)于該指標(biāo)在取值范圍內(nèi)求和.

設(shè)Nn＋11為截面曲率KN滿足條件0＜δ≤KN≤1的（n＋1）維完備連通偽黎曼流形，Mn為等距浸入到的類空超曲面，選取上的局部偽黎曼幺正標(biāo)架場｛eA｝，使得限制在Mn上時，｛ei｝與Mn相切，令｛ωA｝為其對偶標(biāo)架，｝為的聯(lián)絡(luò)1－形式，于是在Mn上時，有

其中h，ξ，Rijkl，KABCD分別為Mn的第二基本形式、中曲率向量、曲率張量及的曲率張量為的一階和二階共變導(dǎo)數(shù)，定義為

分別為Mn的第二基本形式模長平方及中曲率.

為定理證明需要，給出以下兩個引理：

引理1［3］Mn為偽黎曼流形的2－調(diào)和類空超曲面的充要條件：

仿［4］的證明，對于偽黎曼流形，有

引理2［4］設(shè)為（n＋1）維偽黎曼流形，對x∈M，有δ≤KN≤1，則在x處有

2 定理證明

由前面的有關(guān)公式，可得

首先將式（6）第一式改寫成

兩端關(guān)于i求導(dǎo)，并對i求和得

調(diào)整指標(biāo)，結(jié)合式（6）第二式可得

以上完成定理1的證明.

若

［1］Eells J，Lemaire L.Seleted topics map［M］//Providence R I.CBMS.50.Washington DC：AMS，1983.

［2］姜國英.Riemann流形間2－調(diào)和的等距浸入［J］.數(shù)學(xué)年刊，1986，7A（2）：130－144.

［3］歐陽崇珍.偽黎曼空間型的2－調(diào)和類空子流形［J］.數(shù)學(xué)年刊，2000，21A（6）：649－654.

［4］Golderg S I.Curvature and homology［M］.London：Academic Press，1962.

2－Harmonic Space－Like Hypetsurface in Pseudo－Riemannian Manifolds

FAN Sheng－xue，SONG Wei－dong
（College of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China）

This paper studied the 2－h(huán)armonic space－like hypersurface in pseudo－Riemannian manifold，obtained integral inequality of J.Simons'type and some Pinching results.

pseudo－Riemannian manifold；2－h(huán)armonic map；space－like hypersurface

O186 MSC2010：53C20

A

1674－232X（2012）01－0056－04

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.01.012

2011－07－04

安徽省教育廳自然科學(xué)基金項目（KJ2008A05ZC）.

宋衛(wèi)東（1958—），男，教授，主要從事微分幾何研究.E－mail：swd＠sina.com