一類(lèi)多重和的計(jì)算公式

冷慧廷，鄭德印

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

一類(lèi)多重和的計(jì)算公式

冷慧廷，鄭德印

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

結(jié)合組合解釋和Vandermonde卷積公式，研究關(guān)于兩類(lèi)二項(xiàng)式系數(shù)的多重和式計(jì)算問(wèn)題，所得結(jié)果包含Butler（2010）的新近結(jié)論作為特例.

多重和；嵌套和；組合證明

0 引 言

關(guān)于多重和的計(jì)算問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者已經(jīng)做了很多研究，S.Butler［1］在2010年發(fā)表了一篇關(guān)于嵌套和的文章，得到了關(guān)于多重和的幾個(gè)計(jì)算公式，如

本文將利用組合解釋和Vandermonde卷積公式研究如下2種形式的多重和：

其中，f，g為包含m個(gè)變量的多元函數(shù).容易看出和（i）的求和指標(biāo)可重復(fù)而和（ii）的求和指標(biāo)不可重復(fù)，得到封閉和公式是困難且復(fù)雜的，但對(duì)某些特殊的f，g其封閉和還是比較簡(jiǎn)單漂亮的.本文先使用組合解釋給出二項(xiàng)式系數(shù)的一種多重和表示，在此基礎(chǔ)上研究了求和指標(biāo)可重復(fù)和不可重復(fù)的兩類(lèi)多重和式的計(jì)算問(wèn)題，其中求和項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)的和，并考慮了f，g為某些二項(xiàng)式系數(shù)的情形，其結(jié)果以Butler的結(jié)果為特例.下面先給出幾個(gè)引理.

有限集合N的一個(gè)m－組合或m－塊B就是N的m個(gè)元素的非空子集，用Bm（N）表示N的m－子集的集合.

假設(shè)集合N＝｛1，2，…，n｝，ki∈N，則

1 求和指標(biāo)可重復(fù)的多重和

上述式（13）和（14）為特例.筆者重新推證了由Butler［1］所發(fā)現(xiàn)的定理2中的兩個(gè)恒等式，式（13）就是引言中的式（1）.

2 求和指標(biāo)不可重復(fù)的多重和

以下考慮（ii）型的多重和計(jì)算問(wèn)題.

3 小 結(jié)

本文僅考慮了m重和（i）和（ii）的求和項(xiàng)f和g為二項(xiàng)式系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)的和的情形.實(shí)際上，也可考慮其他形式的f和g的求和問(wèn)題，限于篇幅，這里不再一一贅述.

［1］Butler S，Karasik P.A note on nested sums［J/OL］.Journal of Integer Sequences，2010，13（4）［2011－04－30］.http：//www.emis.ams.org/journals/JIS/VOL13/Butler/butler T.pdf.

［2］王天明.近代組合學(xué)［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2008：7－12.

Computing Formulas of a Class of Multi－Sum

LENG Hui－ting，ZHENG De－yin

（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

With combinatorial explanation and Vandermonde convolution formula，this paper investigated the computing formulas of multi－sum concerning two classes of binomial coefficient.The results obtained contain the Butler's new conclusions as special cases.

multi－sum；nested sum；combinatorial proof

O157.1 MSC2010：05A15

A

1674－232X（2012）01－0051－05

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.01.011

2011－05－23

鄭德?。?964—），男，副教授，主要從事組合數(shù)學(xué)、超幾何級(jí)數(shù)和特殊函數(shù)研究.E－mail：deyinzheng＠yahoo.com.cn