線性流形上反次對(duì)稱矩陣反問題的最佳逼近

肖慶豐

（東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部，廣東東莞 523808）

1 引 言

令

2 本文研究的問題

2.1 問題I的解

首先給出幾個(gè)引理

引理1 設(shè)A∈Rn×n，則下列命題成立.

1)A∈KSRn×n?SnA∈SRn×n?AT=SnASn

2)A∈KASRn×n?SnA∈ARn×n?AT=-SnASn

由（反）次對(duì)稱矩陣的定義易證引理1.

引理2[1]給定X1，B1∈Rn×k，設(shè)X1的奇異值分解為

其中

1）則方程AX1=B1在ASRn×n中有解的充要條件是

且在有解時(shí)，其解的通式為

其中

引理3 設(shè)X1，B1∈Rn×k，且X1的奇異值分解如（2）所示，則（1）式定義的集合S可表示為

其中

證 對(duì)任意A∈KASRn×n，有

SnA∈ASRn×n.令C= SnA，B2=SnB1.利用F范數(shù)的正交不變性有

將C=SnA代入上式，并化簡得

因此，集合S可用式（6）表示.證畢.

由（6）式易知，S是一個(gè)線性流形，關(guān)于問題I有下面結(jié)論.

其中

則問題I的解集SE為

其中A1如（7）式所示，U，U1，U2如（2）式所示.

證 對(duì)任意A∈S，由引理3有

由（12）式及F范數(shù)的正交不變性有

2.2 問題II的解

由定理1知，問題I的解集SE中的元素A可表示為

A1，A2分別由（7），（10）式所示.顯然SE是Rn×n中的一個(gè)閉凸集，因此， ?∈ Rn×n，在SE中存在惟一的最佳逼近解，下面給出A*的表達(dá)式.

證 對(duì)任意A∈SE，令

[1]周樹荃，戴華.代數(shù)特征值反問題[M].鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1991.

[2]孫繼廣.實(shí)對(duì)稱矩陣的兩類逆特征值問題[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，1988（3）.

[2]謝冬秀，張磊，胡錫炎.一類雙對(duì)稱矩陣反問題的最小二乘解[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2000（1）.

[3]周富照，張忠志.一類次反對(duì)稱矩陣反問題的最小二乘解[J].長沙交通學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（4）.

[4]劉水強(qiáng)，王紹恒.利用初等行變換解線性矩陣方程[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（5）.

[5]陳惠汝，余巧生.矩陣同時(shí)相似于對(duì)角矩陣問題的研究[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（3）.