關(guān)于“混沌理論”的教學(xué)研究

殷 春 英

(衡水學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，河北 衡水 053000)

關(guān)于“混沌理論”的教學(xué)研究

殷 春 英

(衡水學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，河北 衡水 053000)

混沌理論已經(jīng)涉及到了社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，對混沌理論的理解顯得尤為重要，探究對混沌理論的教學(xué)方法擺在了每一位基礎(chǔ)理論工作者的面前，實(shí)踐證明，采用對比分析、結(jié)合實(shí)例和圖形的方法能產(chǎn)生較好的教學(xué)效果．

混沌理論；內(nèi)在隨機(jī)性；初值敏感性；倍周期分岔

“混沌理論”是繼相對論、量子力學(xué)之后發(fā)展起來的又一新興的交叉學(xué)科．實(shí)踐證明，混沌現(xiàn)象無處不有，“混沌理論”幾乎遍及了各個(gè)領(lǐng)域，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，對“混沌理論”的研究也更加深入，如何正確理解“混沌理論”也直接影響到學(xué)生對實(shí)際問題的處理．本文就是探究“混沌理論”的教學(xué)方法，加深對“混沌理論”的理解，為后繼課程的學(xué)習(xí)、問題的探究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

1 對比理解“混沌理論”所描繪的物理圖景

談到描述物體運(yùn)動(dòng)的物理景觀，大家首先想到的是“牛頓力學(xué)”，即，告訴我們運(yùn)動(dòng)規(guī)律和初始條件，我們就可以用求導(dǎo)的方法預(yù)見未來物體的變化規(guī)律，反之，如果知道當(dāng)今的變化規(guī)律和初始條件，我們就可以用積分的方法推算出以前物理的位置和狀態(tài)．以“天體力學(xué)”為例，“天體力學(xué)”曾經(jīng)是描述確定論的典范，蘊(yùn)含著“一一對應(yīng)”的關(guān)系，即當(dāng)給定了一組確定的初值，就可以確定一條不變的運(yùn)動(dòng)軌道，由此就確定了此體系的過去和未來的變化規(guī)律，“牛頓力學(xué)”所描述的物理世界是一幅簡單的、靜態(tài)的、可逆的、永恒不變的自然景觀，是關(guān)于“狀態(tài)”的機(jī)械的自然觀[1]．

而我們面臨的真實(shí)的世界是復(fù)雜的，是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不可逆的、隨機(jī)變化著的自然景觀，而“混沌理論”就是研究這種真實(shí)的物理世界，是一種關(guān)于過程的科學(xué)、演化的科學(xué)、動(dòng)態(tài)的科學(xué)，即演化的自然觀．

2 突出“混沌理論”的特點(diǎn)

“混沌理論”不同于機(jī)械的自然觀，它描述的是一個(gè)復(fù)雜的、動(dòng)態(tài)變化的自然界，所以，它要有自己的獨(dú)特性．

2.1 內(nèi)隨機(jī)性

隨機(jī)性是指在一定的條件下，系統(tǒng)的某種狀態(tài)可能出現(xiàn)、也可能不出現(xiàn)．隨機(jī)性又分為內(nèi)隨機(jī)性和外隨機(jī)性．如果系統(tǒng)的隨機(jī)性由系統(tǒng)的外部作用引起的，我們稱這種隨機(jī)性為外隨機(jī)性；如果系統(tǒng)的隨機(jī)性由系統(tǒng)的內(nèi)部作用引起的，我們稱這種隨機(jī)性為內(nèi)部隨機(jī)性．按牛頓力學(xué)的觀點(diǎn)來分析，一個(gè)確定性系統(tǒng)在不受外來干擾時(shí)，它自身是不會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)性的，即只存在外隨機(jī)性．隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)，許許多多不受外部干擾的確定系統(tǒng)也存在隨機(jī)性的現(xiàn)象，即完全確定性的系統(tǒng)在不受外來干擾時(shí)出現(xiàn)的隨機(jī)性為內(nèi)隨機(jī)性．也就是說，真實(shí)的物理世界不僅存在著外隨機(jī)性也存在著內(nèi)隨機(jī)性，而內(nèi)隨機(jī)性正是混沌的一大特征，它反映的是一個(gè)復(fù)雜的、動(dòng)態(tài)的、真實(shí)的物理世界．

2.2 初值的敏感性

經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為，只要研究對象的初始條件給定(同時(shí)邊界條件也給定)，經(jīng)過運(yùn)算可以求出方程的解，即研究對象隨后每時(shí)每刻的狀態(tài)也就隨之確定，我們稱這種系統(tǒng)為確定性的系統(tǒng)，換言之，由確定性系統(tǒng)所描述的物體的運(yùn)動(dòng)緊密地依賴于所給的初始條件．這就是常言的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它是一般動(dòng)力系統(tǒng)中一個(gè)非常重要的概念．這里的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受到微小擾動(dòng)保持原有狀態(tài)的屬性或能力．

而“混沌理論”有所不同，如同人們所說的“天有不測風(fēng)云”，就是指氣候系統(tǒng)對初始條件非常敏感，形象地來比喻就是“蝴蝶效應(yīng)”：因?yàn)閹浊Ч镆酝庖恢缓岚虻男⌒∩葎?dòng)，就有可能使得氣象學(xué)家無法預(yù)測幾星期之后的天氣情況，即產(chǎn)生不確定性．這種初值的微小差別將導(dǎo)致最終輸出的巨大差別的性質(zhì)就是初值的敏感性．

2.3 混沌運(yùn)動(dòng)只能出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)中

我們在以前只是涉及到線性系統(tǒng)即線性微分方程，也就是牛頓力學(xué)，只要給定了初始條件，解就確定了，不會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)．

混沌的出現(xiàn)是由于系統(tǒng)有不同的流域和不止一個(gè)定點(diǎn)，在系統(tǒng)的條件適當(dāng)時(shí)，它會(huì)在這些不同的流域之間來回地跳動(dòng)，只有這樣才可能出現(xiàn)混沌，而這種在不同流域或幾個(gè)定點(diǎn)只能在非線性系統(tǒng)中才能出現(xiàn)．所以說，只有在非線性系統(tǒng)才可能出現(xiàn)混沌．

3 了解通向“混沌”的具體通道

前面已提到，混沌運(yùn)動(dòng)只能在非線性系統(tǒng)中才可能出現(xiàn)，而非線性是自然界中普遍存在的現(xiàn)象，所以科學(xué)家們認(rèn)為“條條道路通混沌”，具體地說，至今為止，人們所了解的通向“混沌”的道路有：準(zhǔn)周期過程、茹厄勒-塔肯斯道路、倍周期分岔、陣發(fā)混沌等，下面以倍周期分岔進(jìn)入混沌為例，認(rèn)識一下通向混沌的通道．

眾所周知，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變化的有序狀態(tài)常常體現(xiàn)于它的周期性，但是，隨著條件的變化，系統(tǒng)的周期性就會(huì)發(fā)生變化，進(jìn)行倍周期分岔，隨著分岔點(diǎn)的增多，系統(tǒng)就會(huì)喪失原來的周期性，而進(jìn)入混沌狀態(tài)．

下面以受迫達(dá)芬方程為例來研究系統(tǒng)是如何由穩(wěn)態(tài)進(jìn)入混沌的[2]：

設(shè)：α=0.3,k=-1,μ=1則能求得此方程在相平面上的3個(gè)定點(diǎn)S、F1、F2，其中S是不穩(wěn)定的，另2個(gè)是穩(wěn)定的．計(jì)算機(jī)計(jì)算表明，初時(shí)條件不在陰影區(qū)的軌線最終都趨于右側(cè)的F2，初時(shí)條件在陰影區(qū)的軌線最終都趨于F1．這樣，整個(gè)的相空間就依賴定點(diǎn)被分成了不同的流域，不同流域的軌線將趨于不同的穩(wěn)定點(diǎn)，到底趨于哪一點(diǎn)，由初始條件決定．如圖1．

圖1 達(dá)芬方程的定點(diǎn)和不同流域

將F繼續(xù)增大，系統(tǒng)繞焦點(diǎn)的振蕩出現(xiàn)分頻，即倍周期τ=2T，如圖 2(b)所示，它所對應(yīng)的相圖軌跡如圖3(b)所示．

再繼續(xù)增大F，振蕩周期依次成倍變化，即τ=2nT，n是正整數(shù)．

在繼續(xù)增大F，當(dāng)超過某一臨界值時(shí)，系統(tǒng)將從原來的流域跳到另一個(gè)流域，在另一焦點(diǎn)附近振蕩．同樣，這種振蕩也可能又跳回到原來的流域，在原來焦點(diǎn)附近振蕩．系統(tǒng)內(nèi)部的微小變化或輕微的噪聲都會(huì)使系統(tǒng)從一個(gè)流域進(jìn)入另一個(gè)流域，而且很難再按原來的軌道運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)了隨機(jī)性，我們把這樣的運(yùn)動(dòng)稱為混沌，如圖2(e-i)所示，它所對應(yīng)的相圖軌跡如圖3(e)所示．

由此可見，當(dāng)受迫達(dá)芬方程中的F不斷增大時(shí)，系統(tǒng)的振蕩周期由T變?yōu)?2T，隨機(jī)變?yōu)?22T，……，2nT，直至出現(xiàn)混沌，所以說，倍周期分岔是通向混沌的一條通道．

總之，對于“混沌理論”的教學(xué)，筆者采用的是從宏觀到具體，從具體到實(shí)例，通過計(jì)算機(jī)繪圖的講解方法，符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，更有利于學(xué)生對知識的掌握．

圖2 達(dá)芬方程中F取不同值時(shí)的x-t曲線

圖3 相平面上的軌跡

[1] 黃潤生,黃浩.混沌及其應(yīng)用[M].2版.武漢:武漢大學(xué)出版社,2005:15-17.

[2] 劉秉正.非線性動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007:132-136.

On the Teaching of “Chaos Theory”

YIN Chun-ying
(College of Electronic and Information Engineering, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China)

Since chaos theory has involved every field of social science and natural science, the understanding of it appears especially important, and the exploration of the teaching method of chaos theory should be the work for every basic theoretical worker. Practice proves that adopting the methods of contrastive analysis and the combination of examples with graphs can have a better teaching effect.

chaos theory; inherent randomness; initial value sensitivity; period-doubling bifurcation

G642

A

1673-2065(2012)01-0102-03

2011-07-20

河北省教育科學(xué)研究“十一五”規(guī)劃課題(08020005)

殷春英(1966-),女,河北冀州人,衡水學(xué)院電子信息工程學(xué)院教授.

(責(zé)任編校：李建明英文校對：吳秀蘭)