徑向復(fù)合功率合成超聲振動系統(tǒng)*

劉世清， 王家濤， 蘇 超， 朱天宇， 王娉婷， 董 飛

(浙江師范大學(xué)應(yīng)用聲學(xué)研究所，浙江金華 321004)

0 引言

超聲振動系統(tǒng)是超聲拉絲、冷拉管等金屬成型設(shè)備的核心部件，由于單個超聲換能器的功率容量有限，人們常采用大功率超聲合成系統(tǒng)［1-3］．20世紀(jì)60年代，美國Aeroprojects公司開發(fā)出了一種用于工業(yè)化生產(chǎn)的大功率超聲冷拔金屬管系統(tǒng);我國20世紀(jì)80年代由中國科學(xué)院與上海鋼管廠聯(lián)合研制出一種冷拔鋼管功率超聲合成器．目前工程應(yīng)用中的功率合成振動系統(tǒng)主要有2種［4-5］：一種是L-L型功率超聲合成系統(tǒng)，該系統(tǒng)采用一組縱向換能器聯(lián)合激勵一根波導(dǎo)桿的縱向振動來獲得大功率輸出;另一種是R-L型及L-L-L型正交耦合振動方向變換器．如R-L系統(tǒng)由圓盤和通過盤中心并與之正交聯(lián)接的桿構(gòu)成，利用盤桿之間的振動耦合將盤的徑向振動變換為桿的縱向振動獲得大功率輸出．

上述功率合成系統(tǒng)的特點(diǎn)均通過振動合成來獲得大功率縱向振動能量輸出．本文以縱向壓電超聲換能器與變厚度剖面圓盤構(gòu)成的徑向復(fù)合型功率合成超聲振動系統(tǒng)為對象進(jìn)行研究．該系統(tǒng)通過1組縱向壓電超聲換能器對圓盤進(jìn)行徑向激勵，可獲得大功率徑向振動能量輸出，并可直接作用于拉管系統(tǒng)的環(huán)形拉模上，提高拉模效率．采用諧振疊加法設(shè)計了功率合成振動系統(tǒng)．基于機(jī)電類比原理，建立了復(fù)合系統(tǒng)的變厚度剖面圓盤徑向振動機(jī)電等效圖，得到其頻率方程，并進(jìn)行了有限元仿真計算分析．通過實(shí)驗(yàn)測試了功率合成系統(tǒng)的共振頻率，理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合．

1 縱-徑耦合型功率合成振動系統(tǒng)分析

圖1為徑向復(fù)合型功率合成超聲振動系統(tǒng)．為提高系統(tǒng)的位移振幅放大系數(shù)及能量傳輸效率，系統(tǒng)采用1組縱向復(fù)合壓電超聲換能器與楔形剖面圓盤徑向復(fù)合而成，構(gòu)成由外向內(nèi)的聚能系統(tǒng)．該系統(tǒng)的圓盤作為變幅起阻抗變換及振幅放大作用．事實(shí)上，該圓盤可直接作為拉模進(jìn)行設(shè)計．換能器沿圓盤周向?qū)ΨQ分布，并對盤作徑向激勵，在圓盤內(nèi)表面可獲得大功率徑向振動能量輸出．若壓電換能器徑向激勵頻率與圓盤徑向共振頻率一致，整個系統(tǒng)即處于共振狀態(tài)．此時可采用諧振疊加法對系統(tǒng)各部分進(jìn)行單獨(dú)設(shè)計．由于壓電換能器是一個機(jī)電耦合系統(tǒng)，通常采用等效電路進(jìn)行設(shè)計．作為縱向復(fù)合壓電超聲換能器，其設(shè)計理論已比較成熟．因此，圓盤的徑向振動是本文的重點(diǎn)研究對象．采用機(jī)電類比原理建立楔形剖面圓盤徑向振動機(jī)電類比電路，進(jìn)而得出其徑向共振頻率方程，并對其徑向振動特性進(jìn)行分析．

2 楔形剖面圓盤徑向振動分析

圖1 徑向復(fù)合功率合成超聲振動系統(tǒng)

考慮徑厚比較大的楔形剖面薄圓盤，其內(nèi)沿厚度小于外沿厚度，構(gòu)成由外向內(nèi)的聚能變幅器，利用換能器激勵可獲得較大內(nèi)外表面徑向位移振幅比，如圖2所示．其內(nèi)外半徑分別為b，a．在滿足薄盤條件情況下，其厚度方向振動可忽略，而只考慮其半徑方向的振動．不計徑厚耦合，薄圓盤的純徑向振動為一平面應(yīng)力問題．柱坐標(biāo)系中任意變等厚度盤軸對稱徑向振動微分方程為［6］

圖2 楔形剖面圓盤徑向振動分析示意圖

式(1)中：ξr為徑向振動位移;t(r)為楔形剖面變化函數(shù);ρ為材料密度;ν為材料泊松比;E為材料彈性模量．盤中徑向正應(yīng)力為

設(shè)楔形剖面厚度變化函數(shù)為t(r)=δr，δ為厚度變化因子．由式(1)得

式(2)中：k為縱波波數(shù);k=ω/c;c=［E/ρ(1－ν2)］1/2為徑向振動波速．由波動方程(3)，并考慮到圓盤做純徑向簡諧振動，通解可表示為

2．1 位移振幅放大系數(shù)

位移節(jié)點(diǎn)(節(jié)面)及振幅放大系數(shù)是變幅器的2個重要參數(shù)．設(shè)楔形剖面變幅器內(nèi)、外側(cè)面處質(zhì)點(diǎn)位移振幅分別為 ξ1，ξ2．自由邊界條件為

由式(4)、式(6)得 C1，C2的表達(dá)式為：

令 F(kb)=F(kr)，G(kb)=G(kr)，則上式中

將待定常數(shù)C1，C2表達(dá)式代人式(4)，得楔形剖面盤的徑向位移分布函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)位移為零時，由式(11)得位移節(jié)圓方程為

設(shè)r=a，ξr=－ξ2，定義振幅放大系數(shù)為內(nèi)、外側(cè)面質(zhì)點(diǎn)位移振幅之比，由式(11)得位移振幅放大系數(shù)表達(dá)式為

對給定的幾何尺寸，通過頻率方程求得變幅器的共振頻率，即可由式(13)求得變幅器的位移振幅放大系數(shù)．

2．2 機(jī)電類比等效電路

以F1，F(xiàn)2，v1，v2分別表示變幅器內(nèi)外輻射面處的外力及質(zhì)點(diǎn)振速，當(dāng) r=b時，v=v1;r=a時，v= －v2．由此得 C1，C2的表達(dá)式為：

將式(14)及式(15)代入式(2)得

由一般邊界條件，F(xiàn)r|r=b=Tr|r=b·Sb= － F1，以及 Fr|r=a=Tr|r=a·Sa= － F2，得：

式(7)～式(8)中，z01=ρcS1與z02=ρcS2分別表示盤形變幅器內(nèi)、外側(cè)面特性力阻抗．其中S1=2πbt(b)，S2=2πat(a)分別表示盤形變幅器內(nèi)外側(cè)面積．式(17)、式(18)可進(jìn)一步整理為如下形式：

依據(jù)四端網(wǎng)絡(luò)理論，式(19)、式(20)可用如圖3所示的T型等效電路來描述．圖3中各臂機(jī)械阻抗分別為：

圖3 楔形剖面圓盤徑向振動等效電路圖

2．3 頻率方程

對于自由徑向振動楔形剖面圓盤，由等效電路圖3可得其外側(cè)面機(jī)械輸入阻抗為

將上述各機(jī)械阻抗z1，z2，z3的表達(dá)式代入式(26)，并由機(jī)械共振條件Im(zi)=0，化簡可得圓盤徑向共振頻率方程為

顯然，徑向共振頻率方程(27)為一個含有非整數(shù)階第一類和第二類Bessel函數(shù)的復(fù)雜超越方程，借助計算機(jī)可求出相應(yīng)的徑向共振頻率的數(shù)值解．

3 算例

應(yīng)用中通常采用鋼和硬鋁作為變幅器材料．以下對圓盤在第1、第2階徑向共振狀態(tài)下，其振幅放大系數(shù)及頻率特性進(jìn)行理論及有限元分析．材料特性參數(shù)分別為：鋼：ρ=7 800 kg/m3，ν=0．28，E=209 GPa;硬鋁：ρ=2 790 kg/m3，ν =0．34，E=71．5 GPa;圓盤的幾何參數(shù)取外半徑 a=50 mm，外沿厚度t(a)=10 mm，內(nèi)沿厚度t(b)=6 mm．為簡化計算，引入半徑比γ=b/a．以γ為變量對楔形剖面圓盤的位移振幅放大系數(shù)及其第1、第2階徑向共振頻率進(jìn)行了數(shù)值和有限元仿真計算．理論與仿真結(jié)果如圖4～圖6所示．

圖4為鋼制楔形剖面盤基頻及第2階徑向共振位移振幅放大系數(shù)與其內(nèi)外半徑比的關(guān)系．圖中M1，M2分別表示第1、第2階振幅放大系數(shù)．由圖4可見，振幅放大系數(shù)存在一個極大值．對于基頻共振模態(tài)，此極大值對應(yīng)的半徑比γ≈0．4;而第2階共振模態(tài)，該極大值對應(yīng)的比γ≈0．15．顯然，基頻共振時振幅放大作用不明顯，特別當(dāng)圓盤的γ＜0．2時，M1＜1，圓盤不構(gòu)成由外向內(nèi)的變幅器，這在設(shè)計中必須注意的問題．而第2階共振模式具有顯著的位移振幅放大系數(shù)，理論與有限元仿真結(jié)果一致．此外，從圖4可以看出，當(dāng)圓盤γ趨于1時，M1，M2均趨于1，即無振幅放大作用．事實(shí)上，當(dāng)γ→1，即薄壁極限圓環(huán)，其內(nèi)外側(cè)面振幅一致．在超聲工程應(yīng)用領(lǐng)域，變幅器位移振幅放大系數(shù)越大越好．就振幅放大系數(shù)而言，第2階共振較好．

圖4 第1、第2階徑向共振幅位移振幅放大系數(shù)與半徑比關(guān)系

圖5 第1、第2階徑向共振頻率與半徑比關(guān)系

圖5 為楔形剖面圓盤形變幅器的第1、第2階徑向共振頻率與其內(nèi)外半徑比之間的關(guān)系．由圖5可見，圓盤振子的基頻隨其γ增大而單調(diào)下降．而第2階共振頻率開始隨γ增大略有降低，當(dāng)γ達(dá)到一定值時，共振頻率隨γ增大單調(diào)上升．原因是第2階徑向共振模式時，盤中出現(xiàn)了一位移節(jié)圓．當(dāng)變幅器內(nèi)外半徑比增大時，其環(huán)寬變小，相當(dāng)于諧振“長度”變短，因而頻率升高，理論與仿真結(jié)果一致．進(jìn)一步分析表明，當(dāng)圓盤振子的γ→1，即b→a時，其第2階徑向共振頻率為無窮大．因而對薄壁圓環(huán)振子只存在徑向基波，而無高次諧波．

圖6為相同幾何尺寸的鋼制和鋁制圓環(huán)基頻共振位移振幅放大系數(shù)隨其半徑比的變化關(guān)系．由圖6可知，鋁制圓盤振子的振幅放大系數(shù)高于鋼制圓盤．此外，鋁制圓盤的M1極大值對應(yīng)的γ值小于鋼制圓盤．

圖6 鋼、鋁制圓盤基頻振幅放大系數(shù)與半徑比關(guān)系

4 實(shí)驗(yàn)

系統(tǒng)采用各組件單獨(dú)設(shè)計的方法，加工了6個聚能型縱向復(fù)合壓電超聲換能器，理論設(shè)計頻率均為30 kHz，實(shí)測諧振頻率分別為 29．783，29．907，29．928，29．952，30．041 及 30．173 kHz．金屬圓盤材料選用45號鋼，幾何尺寸為：外徑80 mm，內(nèi)徑30 mm，外沿厚度10 mm，內(nèi)沿厚度6 mm．其剖面為楔形．由頻率方程(27)，算得圓盤第1階徑向共振頻率的理論值為29．791 kHz．組裝后的功率合成超聲振動系統(tǒng)如圖7所示．

6個縱振換能器之間以電并聯(lián)方式連接，在小信號下測試，利用PV70A阻抗分析儀測得該功率合成超聲振動系統(tǒng)的共振頻率為29．536 kHz，系統(tǒng)共振頻率與各組件共振頻率吻合較好．

圖7 試驗(yàn)樣品

5 結(jié)論

1)本文對縱-徑耦合型功率合成超聲振動系統(tǒng)進(jìn)行了研究．基于機(jī)電類比原理，導(dǎo)出了系統(tǒng)的楔形剖面圓盤變幅器徑向振動等效電路及頻率方程，并得到了其位移振幅放大系數(shù)的表達(dá)式．

2)理論及有限元仿真結(jié)果表明，存在一最佳半徑比，使得盤形變幅器振幅放大系數(shù)達(dá)極大值．該極大值對應(yīng)的半徑比與材料特性及振動模式有關(guān)．對于盤形變幅器，其基頻振動模式振幅放大系數(shù)較小，要獲得較大的振幅放大系數(shù)，除選擇合適的材料及半徑比外，采用第2階徑向共振模式較好．

3)采用諧振疊加法設(shè)計了功率合成系統(tǒng)，并對其共振頻率進(jìn)行了測試，結(jié)果表明，理論與實(shí)驗(yàn)吻合較好，相對誤差小于3%，滿足工程應(yīng)用需要，為超聲振動拉模系統(tǒng)的設(shè)計提供了參考．

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