周期性壓力對(duì)T型微管內(nèi)二元流體混合效果的影響*

華 碩， 李 霞， 許友生， 吳鋒民

(1．吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林 132000，2．浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華321004)

0 引言

二元微流動(dòng)的混合問(wèn)題是微流動(dòng)領(lǐng)域最基礎(chǔ)的問(wèn)題之一．這個(gè)問(wèn)題廣泛存在于醫(yī)藥學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等各個(gè)專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域．

湍流和混沌流的混合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于一般的層流．混沌對(duì)流的顯著特征是接觸面的增長(zhǎng)及層流厚度的相應(yīng)減少，其中最簡(jiǎn)單的就是漩渦模型．文獻(xiàn)［1］通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了彎曲的微管道內(nèi)的漩渦流和混沌混合，并且展示了簡(jiǎn)單的彎曲管道可以引導(dǎo)混沌對(duì)流．Simonnet和Groisman［2］完成了微管道內(nèi)能使層流產(chǎn)生混沌式混合的實(shí)驗(yàn)，并宣布他們提出的微管道能提供更快更有效的混合，并且簡(jiǎn)單易行．Pereira［3］研究了可變的滑移邊界條件對(duì)非牛頓流體的壓力傳遞的影響，提出了一個(gè)方便的方法：通過(guò)使用滑移邊界條件結(jié)合正弦時(shí)間梯度壓力來(lái)增加橫流．Ian和Nadine［4］模擬了兩入口呈90°夾角的微管內(nèi)的二元流體的混合，并發(fā)現(xiàn)當(dāng)流體的入口速度隨時(shí)間呈正弦梯度變化時(shí)可提高流體混合效果．

本文提出一種新的T型微管道混合器，該混合器僅僅通過(guò)流體速度隨時(shí)間呈正弦梯度變化來(lái)制造混沌流，從而達(dá)到促進(jìn)混合的目的;同時(shí)，研究了該混合器在相位差不同、雷諾數(shù)不同及速度變化周期不同情況下的混合效果．

1 二元混合物的格子玻爾茲曼模型

本文采用文獻(xiàn)［5-6］的模型模擬二元流體的混合．對(duì)于二元流體系統(tǒng)內(nèi)的2種物質(zhì)，能得到2個(gè)玻爾茲曼方程［6］：

式(1)～式(2)中：f是概率分布函數(shù);ξ是粒子速度;σ和ξ代表2種物質(zhì);Qσξ是由于2種物質(zhì)相互作用的碰撞項(xiàng);Qσσ和Qξξ是自碰撞項(xiàng)．格子玻爾茲曼方程可被離散為如下形式：

自碰撞項(xiàng)的得出類(lèi)似于單流體LBM(Lattice Boltzmann Method)，并且也采用BGK(Bhatnagar-Gross-Krook)模型．在等溫線(xiàn)系統(tǒng)的假設(shè)中，互碰撞來(lái)源于兩流體理論．碰撞方程的右邊項(xiàng)分別是：

式(4)～式(6)中：Fσα代表外力;ρσ和ρξ，uσ和uξ分別是2種流體σ和ξ的質(zhì)量密度和流動(dòng)速度;eα是速度矢量;aσ是加速度;ρ和u是流體的密度和速度，它們的定義分別為 ρ=ρσ+ρξ和 ρu=ρσuσ+ρξuξ．在二元流體混合模型中，兩組分的黏性由松弛因子τσ和τξ調(diào)節(jié)．對(duì)于不可互溶的混合物，τD應(yīng)該小于0．5，此時(shí)，兩流體間有明顯的接觸面．相反，對(duì)于模擬可互溶的混合物，τD應(yīng)該大于0．5．平衡態(tài)分布函數(shù) fσ(0)α被定義為：

式(8)中：w0=4/9;w1，2，3，4=1/9;w5，6，7，8=1/36．各種類(lèi)的黏性等對(duì)D2Q9模型，速度矢量

2 初始狀態(tài)設(shè)置

本文中，每個(gè)單元格對(duì)應(yīng)實(shí)際長(zhǎng)度為1 μm，每計(jì)算步對(duì)應(yīng)時(shí)間為8．65×10－5s．如圖1所示，本文采用T型微管道混合器，微管的長(zhǎng)寬分別為520 μm和120 μm單元格，入口寬度為20 μm．流體A和流體B將以變化的速度分別流入管口，而流速隨時(shí)間呈正弦曲線(xiàn)變化，兩入口處速度分別為 va=vmsin(ωt)，vb= －vmsin(ωt+kπ)，其中 k=0，不永遠(yuǎn)是正的，當(dāng)速度值隨時(shí)間變?yōu)樨?fù)值時(shí)，相當(dāng)于在管口加一負(fù)壓力，即抽吸力．下文將研究入口速度公式中3個(gè)可變參數(shù)(最大速度vm，速度變化周期T，相位差kπ)的變化對(duì)混合效果的影響．

3 計(jì)算結(jié)果及分析

當(dāng)兩流體以恒定不變的速度流入T型管時(shí)，兩流體趨于層流，混合僅僅通過(guò)兩流體接觸面上的分子的自由擴(kuò)散，效果微弱．為了比較和衡量新型微混合器的混合效果，筆者用黑白兩色分別代表A，B兩流體．由圖2可以明顯看出，A，B兩流體已均勻混合，效果較好．

3．1 相位差對(duì)混合效果的影響

圖3顯示的是最大速度 vm=3．0×10－7m/s2種流體基本上都以層流的方式流動(dòng)．令人驚奇的是，當(dāng)k=1，即兩入口速度相位差為π時(shí)，由圖3(d)可見(jiàn)，兩流體竟然發(fā)生了劇烈的攪動(dòng)——漩渦式的流動(dòng)．漩渦流是典型的混沌流，而混沌混合是微混合方式中混合效果比較好的一種．

圖1 入口速度隨時(shí)間呈正弦梯度變化的T型管示意圖

圖2 兩流體勻速流入T型管時(shí)的混合效果圖

圖3 vm=0．3 ×10－7m/s時(shí)，兩入口速度的相位差分別為(0，1/12，6/12，1)π 時(shí)的密度圖

產(chǎn)生這一效果的原因其實(shí)并不復(fù)雜：根據(jù)正弦函數(shù)的變化規(guī)律，當(dāng)相位差為0，即k=0時(shí)，兩流體的入口速度隨時(shí)間變化總是大小相等，方向相反．這樣，當(dāng)兩不可互溶流體以方向相反的速度相遇時(shí)，由于自由擴(kuò)散率低，將對(duì)相對(duì)交錯(cuò)流動(dòng)的排斥力產(chǎn)生極大的阻礙(例如油和水不管如何攪拌，兩組分之間不盡相同，所以也很難交錯(cuò)流動(dòng)，而最終只能涇渭分明地平行流過(guò)微管道．而k=1，即二流體速度的相位差為π時(shí)，兩流體的入口速度總是大小方向均相同．這就造成了一種“你進(jìn)我退”的共同運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)．而當(dāng)兩流體進(jìn)入主流道時(shí)，兩者速度共同發(fā)生偏轉(zhuǎn)，于是就產(chǎn)生了漩渦．

由此可以看出，2種不可互溶流體以相同方向的速度流動(dòng)時(shí)，更容易混合在一起，而不會(huì)由于速度方向相反而產(chǎn)生斥力進(jìn)而影響混合．這就為混合的方式提供了新的思路．以往對(duì)流混合總是讓兩流體產(chǎn)生相對(duì)的運(yùn)動(dòng)速度，使兩者對(duì)流、交匯，這使得不可互溶的2種流體產(chǎn)生了較大的速度耗散，且混合效果不明顯．而筆者提出的方法是讓兩流體產(chǎn)生相同方向的速度，并一起震蕩，最終可獲得良好的混合效果．

3．2 速度對(duì)混合效果的影響

速度對(duì)微流動(dòng)的影響是非常重要且明顯的．本節(jié)將計(jì)算當(dāng)速度最大值 vm分別為 0．3 ×10－7，1．5 ×10－7，3．0 ×10－7m/s時(shí)的混合效果．

從圖4可以看出，當(dāng)最大速度為0．3×10－7m/s時(shí)，兩流體僅在交匯處發(fā)生輕微擾動(dòng)，然后涇渭分明地平行流動(dòng)，其間并未有任何交錯(cuò)擾動(dòng)的趨勢(shì)．隨時(shí)間的變化，混合效果未見(jiàn)提高．這和勻速流體的流動(dòng)相似．可見(jiàn)，當(dāng)雷諾數(shù)太小時(shí)，該混合器將受制于黏滯力的影響，發(fā)揮不了作用．

圖 5 vm=1．5 ×10－7m/s，計(jì)算步數(shù)分別為1 000，3 000，5 000 時(shí)流體的密度圖

圖 4 vm=0．3 ×10－7m/s，計(jì)算步數(shù)分別為1 000，3 000，5 000 時(shí)流體的密度圖

圖6 vm=3．0 ×10－7m/s，計(jì)算步數(shù)分別為1 000，3 000，5 000 時(shí)流體的密度圖

從圖5可以看出，當(dāng)最大速度達(dá)到1．5×10－7m/s時(shí)，隨著時(shí)間的推移，兩流體間接觸面增大且層流厚度大大減少，混合效果均勻明顯．只是由于慣性力較小，混合進(jìn)度較慢．

從圖6可以看出，當(dāng)最大速度達(dá)到3．0×10－7m/s時(shí)，隨著時(shí)間的推移，兩流體混合速度明顯加快，混合效果較均勻．

至此，可以得出結(jié)論：當(dāng)最大速度達(dá)到1．5×10－7m/s時(shí)，黏性力與慣性力的比例恰好可以使混合較為均勻，但是，混合速度較慢．隨著速度的增大，慣性力增大，發(fā)生混沌混合的速度明顯加快，但混合效果變得越來(lái)越不均勻．總之，速度對(duì)該混合器的混合效果和混合速度有重要影響．

3．3 速度變化快慢對(duì)混合效果的影響

管道兩入口速度va=vmsin(ωt)，vb=－vmsin(ωt+kπ)，其中：ω=2π/T;T是衡量速度變化快慢的物理量，數(shù)值上等于單位時(shí)間步的n倍，而單位時(shí)間步對(duì)應(yīng)的實(shí)際時(shí)間為8．65×10－5s．為了研究速度隨時(shí)間變化的快慢對(duì)混合效果的影響，下面將模擬當(dāng)vm=3．0×10－7m/s時(shí)，不同的速度變化周期下兩流體的混合效果(見(jiàn)圖7)．

圖7 速度變化周期不同情況下的混合效果

從圖7(a)，(b)可以看出，當(dāng)速度變化周期過(guò)小時(shí)(T＜0．023 35 s)，速度變化過(guò)快，僅在管道兩入口的交匯處有局部的混合，混合效果不明顯．

當(dāng) T ＞0．023 35 s，混合速度明顯加快和混合效果明顯提高．從圖 7(c)，(d)，(e)，(f)，(g)，(h)看到，當(dāng)T=360*step=0．031 14 s左右時(shí)，混合效果明顯且相同時(shí)間內(nèi)混合區(qū)域最長(zhǎng)．而隨著周期T變長(zhǎng)，相同時(shí)間內(nèi)，管道內(nèi)的混合區(qū)域逐漸縮短，但混合效果更均勻．

從圖7中的(i)看出，當(dāng)周期T＞0．062 28 s，由于速度變化過(guò)慢，而兩流體A，B又存在相位差，這就導(dǎo)致兩流體在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)速度相差很大，造成管道內(nèi)一種流體多、另一種流體少，從而影響了混合，混合器失效．

由此可以得出結(jié)論：兩流體速度變化的快慢對(duì)混合效果有著至關(guān)重要的影響，速度變化過(guò)快或過(guò)慢都有可能導(dǎo)致混合器失效，最適宜的周期長(zhǎng)度區(qū)間為0．023 35 s＜T＜0．062 28 s．

4 結(jié)論

本文提出了一種可以簡(jiǎn)單地通過(guò)控制入口流速促進(jìn)二元流產(chǎn)生混沌式混合的T型管混合器，并且研究了該混合器發(fā)揮效用的幾個(gè)必要條件：

1)兩流體分別以隨時(shí)間呈正弦函數(shù)變化的速度流入T型微管道的兩入口，兩流體流速的相位差為π．

2)兩流體入口最大速度vm不能過(guò)小或過(guò)大：過(guò)小時(shí)，將很難產(chǎn)生波動(dòng);過(guò)大時(shí)，混合速度快，混合效果有所降低．對(duì)混合效果來(lái)講，存在著最佳的vm值范圍．

3)速度變化周期T的長(zhǎng)短也影響著混合效果，T過(guò)大或過(guò)小都無(wú)法令兩流體混合．當(dāng)最大速度vm=3．0 ×10－7m/s，且0．023 35 s ＜T ＜0．062 28 s時(shí)，混合效果最好．

［1］Jiang Minxi，Wang Xiaonan，Ouyang Qi，et al．Spatiotemporal chaos control with a target wave in the complex Ginzburg-Landau equation system［J］．Phys Rev E，2004，69(5)：056202．

［2］Simonnet C，Groisman A．Chaotic mixing in a steady flow in a micro channel［J］．Physical Review Letters，2005，94：134501．

［3］Pereira G G．Effect of variable slip boundary conditions on flows of pressure driven non-Newtonian fluids［J］．J Non-Newtonian Fluid Mech，2009，157(3)：197-206．

［4］Ian G，Nadine A．Enhancement of microfluidic mixing using time pulsing［J］．Lab on a Chip，2003，3：114-120．

［5］Luo Lishi，Girimaji S S．Lattice Boltzmann model for binary mixtures［J］．Phys Rev E，2002，66(3)：035301．

［6］Luo Lishi，Girimaji S S．Theory of the lattice Boltzmann method：Two-fluid model for binary mixtures［J］．Phys Rev E，2003，67(3)：036302．