• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    不含特殊短圈平面圖的無圈邊染色*

    2012-12-17 09:42:38鄭麗娜
    關鍵詞:鄰點雙色平面圖

    鄭麗娜

    (浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院,浙江金華 321004)

    0 引言

    本文僅考慮有限簡單圖.給定一個圖G,用V(G),E(G),Δ(G),δ(G)分別表示它的頂點集、邊集、最大度、最小度.若uv∈E(G),則稱點u為點v的鄰點,并用N(v)表示點v的鄰點集合.點 v的度d(v)=|N(v)|;k-點(k+-點,k--點)表示度是k(至少為k,至多為k)的頂點.若能將圖G畫在平面上,使得它的邊僅在端點處相交,則稱G是可平面圖.圖的這種平面圖上的畫法稱為圖的平面嵌入,或稱為平面圖.

    圖G的正常k-邊染色是指映射c:E(G)→{1,2,…,k}使得相鄰的邊染不同的顏色;若G有一個k-邊染色,則稱圖G是k-邊可染的;無圈k-邊染色是指圖G的一個正常的k-邊染色,使其不產(chǎn)生雙色圈;無圈邊色數(shù)a'(G)是指使得圖G有一個無圈k-邊染色的最小整數(shù)k.

    無圈邊染色的概念最早是由 Fiamcˇík[1]提出的.Alon 等[2]證明了:對任何圖 G 有 a'(G)≤64Δ(G);Molloy和 Reed[3]將這個界改進到 a'(G)≤16Δ(G);2005 年,Muthu等[4]證明了當 g(G)≥220 時,a'(G)≤4.52Δ(G).2001 年,Alon 等[5]提出了如下著名的無圈邊染色猜想:

    猜想1 對任意圖G,有a'(G)≤Δ(G)+2.

    猜想1至今還未得到證實,僅知道一些特殊圖類滿足猜想1.Alon等[6]證明了確定任意圖G的無圈邊色數(shù)是一個NP-問題.Cohen等[7]還提出了如下猜想:

    猜想2 設G是一個平面圖,則存在一個整數(shù)Δ0,使得當Δ(G)≥Δ0時,就有a'(G)=Δ(G).

    對于不含特殊短圈的平面圖,文獻[8]證明了:若G不含4到8-圈,則a'(G)≤Δ(G)+2;文獻[9]證明了:若G不含4-圈,5-圈或G不含4-圈,6-圈,則a'(G)≤Δ(G)+2;文獻[10]證明了:若G不含4到11-圈且Δ(G)≥10或G不含4到9-圈且Δ(G)≥11,則a'(G)≤Δ(G)+1.

    本文主要研究了不含特殊短圈平面圖的無圈邊染色問題,得到了以下結果:

    定理1 設G是一個平面圖,如果G不含4到8-圈,那么a'(G)≤Δ(G)+1.

    1 結構引理

    本節(jié)討論的全部是平面圖,且假設它們已經(jīng)嵌入到平面上.設圖G是平面圖,通常用F(G)表示面集;對于f∈F,用d(f)表示面 f的度數(shù);若一個k-面沿著某個方向的點依次為u1,u2,…,uk,則稱這個面為(d(u1),d(u2),…,d(uk))-面;k-面(k+-面,k--面)表示度是 k(至少為 k,至多為 k)的面;(i,j,k+)-面表示i-點,j-點和 k+-點相連的3-面,其中i≤j≤k;對G的一個邊染色c和頂點v∈V(G),設 C(v)={c(uv)|u∈N(v)}.

    設圖G是滿足定理1條件的一個邊數(shù)極小反例,那么G是2-連通的.否則,設v是G的一個割點,G1,G2,…,Gt(t≥2)是 Gv的連通分支.由 G 的極小性知,對任意1≤i≤t,G'i=Gi∪{v}都有無圈 k-邊染色ci.若點v相關聯(lián)的邊出現(xiàn)相同顏色,則通過每個ci進行色置換,使得點v相關聯(lián)的邊染不同色,從而可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.

    設 k=Δ(G)+1,為方便討論,令顏色集 C={1,2,…,k}.此外,簡記 Δ =Δ(G).

    首先給出一些定理1證明中需要用到的引理.

    引理1 若d(v)=2,則v不與3--點相鄰.

    證明 假設v與一個3--點u相鄰.設w≠u是v的另一鄰點,G'=G-uv.由G的極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k},不妨設 c(vw)=1.

    1)若1?C(u),則用a0∈C(C(u)∪{1})染 uv.因|C(C(u)∪{1})|≥k-3≥1,故這樣的顏色a0存在,且染色c仍是無圈的.

    2)1∈C(u).若存在 a1∈C(C(u)∪C(w)),則用 a1染 uv.否則,設 d(u)=3,u1≠v,u2≠v是 u 的另外 2 個鄰點,c(uu1)=1,c(uu2)=2,A1=C{1,2}.若存在 b0∈A1,使得 G'中不含(1,b0)(u1,w)-雙色路,則用 b0染 uv.否則,假設對于任意 i∈A1,G'中均有(1,i)(u1,w)-雙色路,則 A1?C(w)∩C(u1).又因d(w)≤Δ,d(u1)≤Δ,故C(w)=C(u1)=C{2},因此可用2改染vw.與前面討論類似,可設對于任意i∈A1,G'中均有(2,i)(u2,w)-雙色路且 C(u2)=C{1}.此時交換 uu1和 uu2所染的色,再用 3 染 uv,從而可得G的一個無圈 k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,v不與3--點相鄰.引理1證畢.

    引理2 若d(v)=d≥4,則v至多與d-2個2-點相鄰.

    證明 假設存在一個 d-點v與d-1 個2-點相鄰.設N(v)={u1,u2,…,ud},d(ui)=2,N(ui)={v,wi},i=1,2,…,d-1,G'=G-u1v.由 G 的極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k},不妨設 c(uiv)=i,i=2,3,…,d.

    1)若 c(u1w1)?{2,3,…,d},則用 a2∈C({2,3,…,d}∪{c(u1w1)})染 u1v.因|C({2,3,…,d}∪{c(u1w1)})|≥k-d≥1,故這樣的顏色a2存在,且染色c仍是無圈的.

    2)若 c(u1w1)∈{2,3,…,d-1},不妨設 c(u1w1)=2,則用 a3∈C({2,3,…,d}∪{c(u2w2)})染u1v.因|C({2,3,…,d}∪{c(u2w2)})|≥k-d≥1,故這樣的顏色 a3存在,且染色 c仍是無圈的.

    3)c(u1w1)=d.若存在 a4∈{1,d+1,d+2,…,k}C(w1),則用 a4染 u1v.否則,{1,d+1,d+2,…,k}?C(w1).又因為 d(w1)≤Δ 且 d∈C(w1),所以至少存在1個顏色 j∈{2,3,…,d-1}C(w1).此時,用 j改染u1w1,用a5∈C({2,3,…,d}∪{c(ujwj)})染u1v,可得G 的一個無圈k-邊染色,與G 的極小性矛盾.所以,v至多與d-2個2-點相鄰.引理2證畢.

    引理3 在3-面的邊界上沒有2-點與4-點相鄰.

    證明 假設一個2-點u與一個4-點v相鄰在一個3-面uvw的邊界上,G'=G-uv.由G的極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k},不妨設 c(uw)=1,c(vw)=2.

    1)若1?C(v),則用 a6∈C(C(v)∪{1})染 uv.因|C(C(v)∪{1})|≥k-4≥1,故這樣的顏色 a6存在,且染色c仍是無圈的.

    2)1∈C(v).設 v1,v3是 v的另外2 個鄰點,c(vv1)=1,c(vv3)=3,A3=C{1,2,3}.若存在 b1∈A3,使得 G'中不含(1,b1)(v1,w)-雙色路,則用 b1染 uv.否則,假設對于任意 j∈A3,G'中均有(1,j)(v1,w)-雙色路,則 A3?C(w)∩C(v1).又因 d(w)≤Δ,故 C(w)=C{3}.進一步,可假設對于任意 j∈A3,G'中均有(3,j)(v3,w)-雙色路,則 A3?C(w)∩C(v3).

    只需考慮 d(v1)=d(v3)=Δ.顯然有|{1,2,3}∩C(vi)|=2,i=1,3.此時,先抹去 uw 的色.

    ①若2∈C(v1)∩C(v3),則交換vv1與 vv3所染的色,用3染uw,再用4染uv.

    ②若2?C(vi),i∈{1,3},即 3∈c(vv1),1∈c(vv3),則 C(v1)=C(v3)=C{2}.若 w 到 v1無(2,4)-雙色路,則分別用 2,1 改染 vv1,vw,用3 染 uw,再用4 染uv.若 w 到v1有(2,4)-雙色路,則分別用2,1改染vv3,vw,用3染uw,再用4染uv.由雙色路的唯一性知,w到v3無(2,4)-雙色路.

    ③若2∈C(v1),且2?C(v3),則分別用 3,2,1 改染 vv1,vv3,vw,用3 染 uw,再用 4 染 uv.

    綜上,可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,在3-面的邊界上沒有2-點與4-點相鄰.引理3證畢.

    引理4 若d(v)=4且v相鄰2個2-點,則v不會關聯(lián)3-面.

    證明 假設v關聯(lián)一個3-面uvw.設x,y是與 v相鄰的2個2-點,x1,y1分別是2-點 x,y的另一鄰點,G'=G-vx.由 G 極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k}.

    1)若 c(xx1)?C(v),則用 a7∈C(C(v)∪{c(xx1)})染 vx.因|C(C(v)∪{c(xx1)})|≥k-4≥1,故這樣的顏色a7存在,且染色c仍是無圈的.

    2)c(xx1)∈C(v),不妨設 c(vy)=1,c(vw)=2,c(uv)=3,A4=C{1,2,3}.考慮到 u,w 的對稱性,故只需考慮以下2種情形:

    ①若 c(xx1)=1,則用 a8∈C(C(v)∪{c(yy1)})染 vx.因|C(C(v)∪{c(yy1)})|≥k-4≥1,故這樣的顏色a8存在,且染色c仍是無圈的.

    ②c(xx1)=2.若存在a9∈C(C(v)∪C(w)),則用a9染vx.否則,可斷言對于A4中的任一個顏色i都有x1到w的(2,i)-雙色路,故A4?C(w)∩C(x1).進一步,若1?C(x1),則用1改染 xx1,轉至情形①.若1∈C(x1),C(x1)=C{3},則可假設對于A4中的任一個顏色i都有x1到u的(3,i)-雙色路,故A4?C(u)∩C(x1).考慮uw邊的染色情況,可分以下2種情況加以討論:

    i)當c(uw)=1時,C(w)=C{3},C(u)=C{2},可斷言 x1到 w 和 x1到 u無(2,1)-雙色路.此時,可用 C({1,2,3}∪{c(yy1)})中的某一色改染 vy,再用1染 vx.

    ii)當 c(uw)∈A4時,C(w)=C{1},C(u)=C{1},可斷言 x1到 w 和 x1到 u 無(2,1)-雙色路.此時,可用C({1,2,3}∪{c(yy1)})中的某一色改染vy,再用1染vx,從而可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,v不會關聯(lián)3-面.引理4證畢.

    引理5 在3-面的邊界上沒有2個3-點相鄰.

    證明 假設一個3-點u與一個3-點v相鄰在一個3-面uvw的邊界上.設u1≠w,v1≠w分別是u,v的另一鄰點,G'=G-uv.由 G 的極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k},設 c(uu1)=1,c(uw)=2.

    1)|C(u)∩C(v)|=0.不妨設 c(vw)=3,c(vv1)=4.

    ①若 Δ≥4,則用a10∈C(C(u)∪C(v))染 uv.因 |C(C(u)∪C(v))|≥k-4≥1,故這樣的顏色a10存在,且染色c仍是無圈的.

    ②下設 Δ =3,w1是 w 的另一鄰點,染色集 C={1,2,3,4}.若3?C(u1),則用3 改染 uu1,再用1 染uv;若2?C(v1),則用2改染vv1,再用4 染uv.設3∈C(u1),2∈C(v1).考慮到c(ww1)的對稱性,不妨設c(ww1)=1.若 u1到 w1無(1,4)-雙色路,則用4 改染 uw,再用 2 染 uv.否則,設 u1到 w1有(1,4)-雙色路,且 4∈C(u1),4∈C(w1),C(u1)=C{2}.此時,用 4 改染 uw,2 改染 uu1,再用1 染 uv.

    2)|C(u)∩C(v)|=1.

    ①c(uu1)=c(vw)或c(vv1)=c(uw).由于這2種情況的證明過程相同,故不妨設c(uu1)=c(vw)=1,c(vv1)=3,A5=C{1,2,3}.可斷言對于 A5中的任一個顏色 i都有 u1到 w 的(1,i)-雙色路,故 A5?C(w)∩C(u1),且 C(w)=C{3}.若 u1到 v1無(1,3)-雙色路,則用3 改染 uw,再用2 染 uv.否則,設 u1到 v1有(1,3)-雙色路,且3∈C(u1),C(u1)=C{2},1∈C(v1).又若 A5C(v1)≠?,不妨設 4?C(v1),則用4改染vv1,再用3染uv.所以設A5?C(v1)=C{2}.此時,用2改染vv1,再用3染uv.

    ②c(uu1)=c(vv1).不妨設 c(uu1)=c(vv1)=1,c(vw)=3,A5=C{1,2,3}.可斷言對于 A5中的任一個顏色i都有u1到v1的(1,i)-雙色路,故A5?C(u1)∩C(v1).若3?C(u1),則用3改染uu1,轉化至情形①.因此,3∈C(u1),C(u1)=C{2}.若2?C(v1),則用 2 改染 vv1,轉化至情形①.因此,2∈C(v1),C(v1)=C{3}.又若 A5C(w)≠?,不妨設4?C(w),則用4改染 vw,再用3染 uv.所以下設 A5?C(w)=C{1}.此時,用3改染vv1,用1改染vw,再用4染 uv.

    3)|C(u)∩C(v)|=2.若 c(uu1)=c(uw),c(vv1)=c(vw),不妨設 c(uu1)=c(uw)=1,c(vv1)=c(vw)=2,則用a11∈CC(w)染uv,從而可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,在3-面的邊界上沒有2個3-點相鄰.引理5證畢.

    引理6 若d(v)=5且v相鄰3個2-點,則v不與2-點關聯(lián)在一個3-面中.

    證明 假設v與一個2-點u關聯(lián)在一個3-面uvw中.設x,y是與v相鄰的其他的2個2-點,z是v的另一個鄰點,x1,y1分別是2-點x,y的另一鄰點,G'=G-uv.由G 極小性知,G'有無圈k-邊染色c,染色集C={1,2,…,k}.若 c(uw)?C(v),則用 a12∈C(C(v)∪{c(uw)})染 uv.否則,c(uw)∈C(v),不妨設c(vx)=1,c(vy)=2,c(vz)=3,c(vw)=4.

    1)若 c(uw)=1,則用 a13∈C(C(v)∪{c(xx1)})染 uv.2)若 c(uw)=2,則用 a14∈C(C(v)∪{c(yy1)})染 uv.3)c(uw)=3.因 d(w)≤Δ,故可記 C(w)中未出現(xiàn)的色為 c0,c0∈C{3,4}.當 c0=1時,用1改染uw,轉至情形1);當c0=2時,用2改染uw,轉至情形2);當c0∈CC(v)時,直接將c0染uv,從而可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,v不與2-點關聯(lián)在一個3-面中.引理6證畢.

    2 定理1的證明

    設圖G是滿足定理1條件的一個邊數(shù)極小反例.以下將運用Discharging方法導出完成定理1證明所需要的矛盾.

    對任意 x∈V(G)∪F(G),構造一個權函數(shù) ω(x).其中:當 v∈V(G)時,ω(v)=2d(v)-6;當 f∈F(G)時,ω(f)=d(f)-6.通過權轉移,得到一個新的權函數(shù)ω'(x),使得總的權和不變.但對任意的x∈V(G)∪F(G),有ω'(x)≥0.因此得到-12≥0,即得到了證明定理1所需要的矛盾..

    設v∈V(G),n2(v)表示與點v相鄰的2-點個數(shù),f3(v)表示點v關聯(lián)的3-面?zhèn)€數(shù).

    權轉移規(guī)則如下:

    首先驗證 ω'(v)≥0,v∈V(G).

    情形1 v為2-點.由引理1和(R1)知,ω'(v)=2×2-6+1×2=0.

    情形2 v為3-點.由權轉移規(guī)則知v既不轉出權也不接受權,故ω'(v)=2×3-6=0.

    其次驗證 ω'(f)≥0,f∈F(G).

    [1]Fiamcˇík I.The acyclic chromatic class of a graph[J].Math Slovaca,1978,28(3):139-145.

    [2]Alon N,McDiarmid C,Reed B.Acyclic coloring of graphs[J].Random Structures Algorithms,1991,2(3):277-288.

    [3]Molloy M,Reed B.Further algorithmic aspects of Lovász local lemma[C]//Proceedings of the 30th Annual ACM Symposium on Theory of Computing held in Dallas.Dallas:ACM,1998:524-529.

    [4]Muthu R,Narayanan N,Subramanian C R.Improved bounds on acyclic edge coloring[J].Discrete Math,2007,307(23):3063-3069.

    [5]Alon N,Sudakov B,Zaks A.Acyclic edge colorings of graphs[J].Graph Theory,2001,37(3):157-167.

    [6]Alon N,Zaks A.Algorithmic aspects of acyclic edge coloring[J].Algorithmica,2002,32(4):611-614.

    [7]Cohen N,Havet F,Müller T.Acyclic edge-colouring of planar graphs,Extended abstract[J].Eletronic Notes in Discrete Math,2009,34(5):417-421.

    [8]Sun Xiangyong,Wu Jianliang.Acyclic edge colorings of planar graphs without short cycles[C]//Proceedings of the 7th International Symposium on Operations Research and Its Applications held in Lijiang.Lijiang:APORC&CAS,2008:325-329.

    [9]Hou Jianfeng,Liu Guizhen,Wu Jianliang.Acyclic edge coloring of planar graphs without small cycles[J].Graphs andCombinatorics,2011:10.1007/s00373-011-1043-0.

    [10]Gao Yunshu,Yu Dongxiao.Acyclic edge coloring of planar graphs without cycles of specific lengths[J].Appl Math Comput,2011,37(2):533-540.

    猜你喜歡
    鄰點雙色平面圖
    美麗的雙色花
    圍長為5的3-正則有向圖的不交圈
    《別墅平面圖》
    《別墅平面圖》
    簡析《雙色豐收南瓜》的壺藝韻味
    《景觀平面圖》
    平面圖的3-hued 染色
    特殊圖的一般鄰點可區(qū)別全染色
    汽車格柵雙色注射模具設計
    中國塑料(2015年7期)2015-10-14 01:02:51
    笛卡爾積圖Pm×Kn及Cm×Kn的鄰點可區(qū)別E-全染色研究
    午夜福利,免费看| av.在线天堂| 五月开心婷婷网| 少妇高潮的动态图| 国产精品不卡视频一区二区| 亚洲国产精品999| 欧美+日韩+精品| 精品一区二区三卡| 一级毛片aaaaaa免费看小| 尾随美女入室| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 欧美日本中文国产一区发布| 18+在线观看网站| 丁香六月天网| 在现免费观看毛片| 久久久久久久久久成人| 日韩在线高清观看一区二区三区| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | 尾随美女入室| 久久久国产精品麻豆| 黑丝袜美女国产一区| 黄色一级大片看看| 伦理电影大哥的女人| 久久久久国产网址| 波野结衣二区三区在线| 两个人的视频大全免费| 国产精品无大码| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 国产亚洲91精品色在线| 丰满迷人的少妇在线观看| 人人澡人人妻人| 午夜福利视频精品| 国产老妇伦熟女老妇高清| 麻豆乱淫一区二区| 久久久久久人妻| 极品少妇高潮喷水抽搐| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| www.av在线官网国产| 国产成人freesex在线| 九九在线视频观看精品| 免费人妻精品一区二区三区视频| 国产精品无大码| 日韩大片免费观看网站| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 十分钟在线观看高清视频www | videossex国产| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 精品人妻熟女av久视频| 欧美 日韩 精品 国产| 国产成人精品一,二区| 国产精品不卡视频一区二区| h日本视频在线播放| 日韩av不卡免费在线播放| 精华霜和精华液先用哪个| 少妇人妻久久综合中文| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| av一本久久久久| 国产免费视频播放在线视频| 春色校园在线视频观看| 老司机影院成人| 少妇 在线观看| 乱码一卡2卡4卡精品| 91精品一卡2卡3卡4卡| 国产av精品麻豆| 国产黄色免费在线视频| 日本vs欧美在线观看视频 | 国产精品伦人一区二区| 午夜影院在线不卡| 欧美+日韩+精品| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 69精品国产乱码久久久| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 国产亚洲欧美精品永久| 久久久久久久精品精品| 在线观看免费高清a一片| 亚洲欧美清纯卡通| 色视频www国产| 极品少妇高潮喷水抽搐| 伦精品一区二区三区| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 欧美日韩在线观看h| 国产极品粉嫩免费观看在线 | 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 婷婷色麻豆天堂久久| 精品久久久久久电影网| 精品午夜福利在线看| 久久午夜综合久久蜜桃| 亚洲精品国产av成人精品| 99热这里只有是精品在线观看| av线在线观看网站| 久久毛片免费看一区二区三区| 麻豆成人av视频| 欧美三级亚洲精品| 一区在线观看完整版| www.色视频.com| 日韩中文字幕视频在线看片| 2018国产大陆天天弄谢| 国精品久久久久久国模美| 在线观看免费高清a一片| 午夜激情福利司机影院| 三级国产精品片| 老熟女久久久| 国产毛片在线视频| .国产精品久久| 久久免费观看电影| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 国产日韩一区二区三区精品不卡 | 久久久久精品久久久久真实原创| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 日日摸夜夜添夜夜爱| 99久国产av精品国产电影| 三上悠亚av全集在线观看 | 久久久国产一区二区| 国产高清国产精品国产三级| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 国产免费一区二区三区四区乱码| 99热这里只有精品一区| 成年av动漫网址| 精品一品国产午夜福利视频| 亚洲成色77777| 成人毛片a级毛片在线播放| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 国产综合精华液| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 人妻人人澡人人爽人人| 免费在线观看成人毛片| 国产一区有黄有色的免费视频| 尾随美女入室| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 日本与韩国留学比较| 黑人猛操日本美女一级片| 一级毛片电影观看| 久久国产亚洲av麻豆专区| 国产精品久久久久成人av| 丝袜脚勾引网站| 欧美成人精品欧美一级黄| 美女中出高潮动态图| 亚洲欧美成人精品一区二区| 中文资源天堂在线| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 国产一区二区三区av在线| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 春色校园在线视频观看| 极品教师在线视频| 久久久精品免费免费高清| 少妇高潮的动态图| 免费高清在线观看视频在线观看| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 久久久久久伊人网av| 日韩中文字幕视频在线看片| 能在线免费看毛片的网站| 中文字幕免费在线视频6| 亚洲性久久影院| 在现免费观看毛片| 啦啦啦啦在线视频资源| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃 | 如日韩欧美国产精品一区二区三区 | 亚洲,欧美,日韩| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 亚洲精品视频女| 亚洲精品,欧美精品| av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产高清有码在线观看视频| 曰老女人黄片| 午夜精品国产一区二区电影| 亚洲第一av免费看| 熟女电影av网| 日韩av在线免费看完整版不卡| 97在线视频观看| 国产片特级美女逼逼视频| 亚洲国产精品国产精品| 女人久久www免费人成看片| 寂寞人妻少妇视频99o| 观看av在线不卡| 啦啦啦在线观看免费高清www| 国精品久久久久久国模美| 久久精品国产亚洲网站| 一个人免费看片子| 一个人看视频在线观看www免费| 欧美日韩综合久久久久久| 只有这里有精品99| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 午夜免费鲁丝| 国产日韩欧美视频二区| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 一区二区三区四区激情视频| 亚洲国产色片| av黄色大香蕉| 夫妻性生交免费视频一级片| 婷婷色综合大香蕉| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 乱系列少妇在线播放| 日日啪夜夜爽| 欧美最新免费一区二区三区| 草草在线视频免费看| 欧美性感艳星| 国产老妇伦熟女老妇高清| 涩涩av久久男人的天堂| 久久久久久久久久成人| 一区二区三区精品91| 精品久久久久久久久av| 一本大道久久a久久精品| 一级av片app| 青春草视频在线免费观看| 99国产精品免费福利视频| 久久久久久久久久久久大奶| 爱豆传媒免费全集在线观看| 最近中文字幕高清免费大全6| 免费在线观看成人毛片| a级一级毛片免费在线观看| 成人毛片60女人毛片免费| 观看av在线不卡| 国产av国产精品国产| 丰满饥渴人妻一区二区三| 97超碰精品成人国产| 波野结衣二区三区在线| 日本-黄色视频高清免费观看| 亚洲精品,欧美精品| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91 | 99久久精品一区二区三区| 亚洲精品一二三| 国产熟女欧美一区二区| 日本色播在线视频| 日韩免费高清中文字幕av| 国产精品久久久久成人av| 亚洲av不卡在线观看| 精品少妇黑人巨大在线播放| 最黄视频免费看| 亚洲国产欧美在线一区| 最近中文字幕高清免费大全6| 人妻系列 视频| 在线观看免费视频网站a站| 蜜桃在线观看..| 亚洲一区二区三区欧美精品| 日韩中文字幕视频在线看片| 男人和女人高潮做爰伦理| 一级av片app| 99国产精品免费福利视频| 精华霜和精华液先用哪个| av国产精品久久久久影院| 男人狂女人下面高潮的视频| 女性生殖器流出的白浆| 国内揄拍国产精品人妻在线| 能在线免费看毛片的网站| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 老司机影院毛片| 日本vs欧美在线观看视频 | 麻豆成人av视频| 久久精品国产自在天天线| 欧美国产精品一级二级三级 | 欧美精品人与动牲交sv欧美| av又黄又爽大尺度在线免费看| 免费大片18禁| 亚洲精品日本国产第一区| 一级毛片aaaaaa免费看小| 欧美最新免费一区二区三区| 日日撸夜夜添| av不卡在线播放| 水蜜桃什么品种好| 久久精品国产亚洲网站| 午夜福利,免费看| 欧美日韩视频精品一区| 国产综合精华液| 51国产日韩欧美| 夜夜爽夜夜爽视频| 精品熟女少妇av免费看| 丰满人妻一区二区三区视频av| 一二三四中文在线观看免费高清| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 91精品一卡2卡3卡4卡| 欧美变态另类bdsm刘玥| 三级国产精品欧美在线观看| 啦啦啦在线观看免费高清www| 好男人视频免费观看在线| 国产乱人偷精品视频| 亚洲欧美精品自产自拍| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 嫩草影院新地址| 国产精品久久久久久久久免| 国产精品人妻久久久久久| 亚洲精品自拍成人| 青青草视频在线视频观看| 久久精品国产亚洲网站| 人妻一区二区av| av播播在线观看一区| 天美传媒精品一区二区| 国产精品伦人一区二区| 夫妻性生交免费视频一级片| 亚洲国产精品专区欧美| 午夜老司机福利剧场| av在线老鸭窝| 日韩成人伦理影院| 日韩av不卡免费在线播放| 亚洲精品国产色婷婷电影| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 成人二区视频| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 2022亚洲国产成人精品| 日韩强制内射视频| 欧美 日韩 精品 国产| .国产精品久久| 美女主播在线视频| 精品国产国语对白av| 国产日韩欧美在线精品| 亚洲第一区二区三区不卡| 久久久久久伊人网av| 久久久久精品性色| 亚洲人成网站在线观看播放| 欧美日韩精品成人综合77777| 人妻人人澡人人爽人人| 午夜精品国产一区二区电影| 日本-黄色视频高清免费观看| 国产综合精华液| 99热这里只有精品一区| 欧美xxⅹ黑人| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 亚洲国产色片| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 又大又黄又爽视频免费| 一区二区三区乱码不卡18| 久久狼人影院| 国产av码专区亚洲av| 国产亚洲91精品色在线| 亚洲国产色片| 国产精品人妻久久久久久| 国产 一区精品| 日本爱情动作片www.在线观看| 涩涩av久久男人的天堂| 欧美xxⅹ黑人| 激情五月婷婷亚洲| 国产精品一二三区在线看| av天堂中文字幕网| 搡女人真爽免费视频火全软件| av不卡在线播放| 久久婷婷青草| 男人舔奶头视频| 中国国产av一级| 特大巨黑吊av在线直播| 成年美女黄网站色视频大全免费 | 国产一区二区在线观看av| 人妻人人澡人人爽人人| 日本欧美视频一区| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 18禁在线播放成人免费| 国产精品一二三区在线看| 国产欧美日韩精品一区二区| 亚洲美女黄色视频免费看| 天美传媒精品一区二区| 免费黄网站久久成人精品| 搡老乐熟女国产| 简卡轻食公司| 99久久精品一区二区三区| 免费看日本二区| 亚洲欧美日韩东京热| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 欧美日韩亚洲高清精品| 五月开心婷婷网| 国产精品国产三级专区第一集| 有码 亚洲区| 久久人人爽人人片av| 久久国产精品大桥未久av | 日本欧美视频一区| 成人黄色视频免费在线看| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 国产探花极品一区二区| 精品酒店卫生间| 高清av免费在线| 亚洲av综合色区一区| 国产乱人偷精品视频| 免费人妻精品一区二区三区视频| 精品久久久精品久久久| 99久久精品一区二区三区| 中国三级夫妇交换| 少妇的逼好多水| a 毛片基地| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 91久久精品国产一区二区三区| 伊人久久国产一区二区| 欧美日韩视频精品一区| 老司机亚洲免费影院| 赤兔流量卡办理| 成人国产av品久久久| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 91精品国产国语对白视频| 久久久久久伊人网av| 欧美日韩亚洲高清精品| 日本免费在线观看一区| 男人舔奶头视频| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 极品教师在线视频| 波野结衣二区三区在线| a级毛片免费高清观看在线播放| 三上悠亚av全集在线观看 | 国产精品99久久99久久久不卡 | 久久久a久久爽久久v久久| 欧美精品一区二区大全| 国产欧美日韩综合在线一区二区 | kizo精华| 色吧在线观看| av女优亚洲男人天堂| 中文资源天堂在线| 少妇人妻久久综合中文| 五月天丁香电影| 精品视频人人做人人爽| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 国产免费视频播放在线视频| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 亚洲激情五月婷婷啪啪| videossex国产| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 精品午夜福利在线看| 欧美丝袜亚洲另类| 久久99一区二区三区| 久久 成人 亚洲| 青春草视频在线免费观看| 一区二区三区精品91| 最近手机中文字幕大全| 日韩视频在线欧美| 久久99精品国语久久久| 久久 成人 亚洲| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 一级毛片 在线播放| 最近的中文字幕免费完整| 全区人妻精品视频| 观看美女的网站| 色视频www国产| 欧美人与善性xxx| 一本色道久久久久久精品综合| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 观看美女的网站| av专区在线播放| 日韩大片免费观看网站| 日本黄色片子视频| 国产永久视频网站| 亚洲精品国产av成人精品| 国产黄片美女视频| 一边亲一边摸免费视频| 久久久久久久大尺度免费视频| 看免费成人av毛片| 亚洲精品色激情综合| 热99国产精品久久久久久7| 看免费成人av毛片| 91久久精品国产一区二区三区| 夜夜爽夜夜爽视频| 99热网站在线观看| 成人二区视频| 2022亚洲国产成人精品| 亚洲国产色片| 久久女婷五月综合色啪小说| 激情五月婷婷亚洲| 国产日韩欧美亚洲二区| 美女主播在线视频| 另类精品久久| 国产亚洲5aaaaa淫片| 国产精品一区www在线观看| 99视频精品全部免费 在线| 国产av国产精品国产| a级片在线免费高清观看视频| 欧美日韩在线观看h| 男人爽女人下面视频在线观看| 国产av码专区亚洲av| 免费大片18禁| av视频免费观看在线观看| 国产精品人妻久久久影院| 亚洲av综合色区一区| 国产片特级美女逼逼视频| 赤兔流量卡办理| 亚洲av福利一区| 亚洲精品国产av蜜桃| 日韩av不卡免费在线播放| 免费观看的影片在线观看| 最近中文字幕高清免费大全6| 黄色欧美视频在线观看| 亚洲综合色惰| 高清毛片免费看| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 韩国av在线不卡| 中文字幕人妻丝袜制服| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 午夜福利,免费看| 99九九线精品视频在线观看视频| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 九色成人免费人妻av| 免费看日本二区| av播播在线观看一区| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 免费av不卡在线播放| 欧美少妇被猛烈插入视频| 久热这里只有精品99| 国产男人的电影天堂91| 久久久久久人妻| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 青春草国产在线视频| 久久这里有精品视频免费| 亚洲精品乱久久久久久| 欧美日韩亚洲高清精品| 男女啪啪激烈高潮av片| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 国产欧美亚洲国产| 亚洲,一卡二卡三卡| 国产毛片在线视频| 成人漫画全彩无遮挡| 日韩成人伦理影院| 一级二级三级毛片免费看| av视频免费观看在线观看| 啦啦啦在线观看免费高清www| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 亚洲国产欧美日韩在线播放 | 精品一区二区免费观看| 日本黄色片子视频| 亚洲美女黄色视频免费看| 亚洲国产欧美日韩在线播放 | 特大巨黑吊av在线直播| 3wmmmm亚洲av在线观看| 亚洲精品456在线播放app| 熟女av电影| 久久综合国产亚洲精品| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 校园人妻丝袜中文字幕| 日本黄色日本黄色录像| 91精品国产国语对白视频| 免费大片黄手机在线观看| 久久国产亚洲av麻豆专区| 欧美最新免费一区二区三区| 一区二区三区免费毛片| 免费av不卡在线播放| 免费观看的影片在线观看| 国产成人精品无人区| 国产精品99久久99久久久不卡 | 精品少妇黑人巨大在线播放| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 尾随美女入室| 久久综合国产亚洲精品| 99国产精品免费福利视频| 一区二区三区四区激情视频| 成年人免费黄色播放视频 | 亚洲美女搞黄在线观看| 国产一区二区在线观看日韩| 免费看av在线观看网站| 26uuu在线亚洲综合色| av黄色大香蕉| 丰满人妻一区二区三区视频av| 精品久久久噜噜| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91 | 午夜久久久在线观看| 一级毛片aaaaaa免费看小| 一边亲一边摸免费视频| 美女中出高潮动态图| 大片电影免费在线观看免费| 免费少妇av软件| 日韩av免费高清视频| 日韩视频在线欧美| 一级毛片电影观看| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 人妻 亚洲 视频| 日本色播在线视频| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 99久久精品热视频| 内地一区二区视频在线| 人人妻人人澡人人看| 妹子高潮喷水视频| 一区在线观看完整版| 成年av动漫网址| 色吧在线观看| 美女中出高潮动态图| av天堂久久9| 亚洲无线观看免费| 亚洲色图综合在线观看| 九草在线视频观看| 91精品伊人久久大香线蕉| 久久国产精品大桥未久av | 日本黄色日本黄色录像| 久久久久久久精品精品| 性高湖久久久久久久久免费观看| 大片免费播放器 马上看| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 免费观看的影片在线观看| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 大香蕉97超碰在线| 全区人妻精品视频| 一本大道久久a久久精品| 天堂中文最新版在线下载| 亚洲精品国产av成人精品| 午夜福利网站1000一区二区三区| 国产 精品1| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 亚洲国产成人一精品久久久| 搡女人真爽免费视频火全软件| av在线app专区| 在线观看三级黄色| 成人美女网站在线观看视频| 一边亲一边摸免费视频| 久久亚洲国产成人精品v| 国产成人免费无遮挡视频| 黄色日韩在线| av不卡在线播放| 久久久久久久久久久久大奶| 国产69精品久久久久777片| 日本色播在线视频| 久久久久久久久久久丰满| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 人人妻人人看人人澡| 天美传媒精品一区二区| 老司机影院毛片| 99九九在线精品视频 | 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 男女免费视频国产| 韩国高清视频一区二区三区| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 中文在线观看免费www的网站| 国产亚洲欧美精品永久| 少妇被粗大的猛进出69影院 | 国产淫语在线视频|