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    不含特殊短圈平面圖的無圈邊染色*

    2012-12-17 09:42:38鄭麗娜
    關鍵詞:鄰點雙色平面圖

    鄭麗娜

    (浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院,浙江金華 321004)

    0 引言

    本文僅考慮有限簡單圖.給定一個圖G,用V(G),E(G),Δ(G),δ(G)分別表示它的頂點集、邊集、最大度、最小度.若uv∈E(G),則稱點u為點v的鄰點,并用N(v)表示點v的鄰點集合.點 v的度d(v)=|N(v)|;k-點(k+-點,k--點)表示度是k(至少為k,至多為k)的頂點.若能將圖G畫在平面上,使得它的邊僅在端點處相交,則稱G是可平面圖.圖的這種平面圖上的畫法稱為圖的平面嵌入,或稱為平面圖.

    圖G的正常k-邊染色是指映射c:E(G)→{1,2,…,k}使得相鄰的邊染不同的顏色;若G有一個k-邊染色,則稱圖G是k-邊可染的;無圈k-邊染色是指圖G的一個正常的k-邊染色,使其不產(chǎn)生雙色圈;無圈邊色數(shù)a'(G)是指使得圖G有一個無圈k-邊染色的最小整數(shù)k.

    無圈邊染色的概念最早是由 Fiamcˇík[1]提出的.Alon 等[2]證明了:對任何圖 G 有 a'(G)≤64Δ(G);Molloy和 Reed[3]將這個界改進到 a'(G)≤16Δ(G);2005 年,Muthu等[4]證明了當 g(G)≥220 時,a'(G)≤4.52Δ(G).2001 年,Alon 等[5]提出了如下著名的無圈邊染色猜想:

    猜想1 對任意圖G,有a'(G)≤Δ(G)+2.

    猜想1至今還未得到證實,僅知道一些特殊圖類滿足猜想1.Alon等[6]證明了確定任意圖G的無圈邊色數(shù)是一個NP-問題.Cohen等[7]還提出了如下猜想:

    猜想2 設G是一個平面圖,則存在一個整數(shù)Δ0,使得當Δ(G)≥Δ0時,就有a'(G)=Δ(G).

    對于不含特殊短圈的平面圖,文獻[8]證明了:若G不含4到8-圈,則a'(G)≤Δ(G)+2;文獻[9]證明了:若G不含4-圈,5-圈或G不含4-圈,6-圈,則a'(G)≤Δ(G)+2;文獻[10]證明了:若G不含4到11-圈且Δ(G)≥10或G不含4到9-圈且Δ(G)≥11,則a'(G)≤Δ(G)+1.

    本文主要研究了不含特殊短圈平面圖的無圈邊染色問題,得到了以下結果:

    定理1 設G是一個平面圖,如果G不含4到8-圈,那么a'(G)≤Δ(G)+1.

    1 結構引理

    本節(jié)討論的全部是平面圖,且假設它們已經(jīng)嵌入到平面上.設圖G是平面圖,通常用F(G)表示面集;對于f∈F,用d(f)表示面 f的度數(shù);若一個k-面沿著某個方向的點依次為u1,u2,…,uk,則稱這個面為(d(u1),d(u2),…,d(uk))-面;k-面(k+-面,k--面)表示度是 k(至少為 k,至多為 k)的面;(i,j,k+)-面表示i-點,j-點和 k+-點相連的3-面,其中i≤j≤k;對G的一個邊染色c和頂點v∈V(G),設 C(v)={c(uv)|u∈N(v)}.

    設圖G是滿足定理1條件的一個邊數(shù)極小反例,那么G是2-連通的.否則,設v是G的一個割點,G1,G2,…,Gt(t≥2)是 Gv的連通分支.由 G 的極小性知,對任意1≤i≤t,G'i=Gi∪{v}都有無圈 k-邊染色ci.若點v相關聯(lián)的邊出現(xiàn)相同顏色,則通過每個ci進行色置換,使得點v相關聯(lián)的邊染不同色,從而可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.

    設 k=Δ(G)+1,為方便討論,令顏色集 C={1,2,…,k}.此外,簡記 Δ =Δ(G).

    首先給出一些定理1證明中需要用到的引理.

    引理1 若d(v)=2,則v不與3--點相鄰.

    證明 假設v與一個3--點u相鄰.設w≠u是v的另一鄰點,G'=G-uv.由G的極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k},不妨設 c(vw)=1.

    1)若1?C(u),則用a0∈C(C(u)∪{1})染 uv.因|C(C(u)∪{1})|≥k-3≥1,故這樣的顏色a0存在,且染色c仍是無圈的.

    2)1∈C(u).若存在 a1∈C(C(u)∪C(w)),則用 a1染 uv.否則,設 d(u)=3,u1≠v,u2≠v是 u 的另外 2 個鄰點,c(uu1)=1,c(uu2)=2,A1=C{1,2}.若存在 b0∈A1,使得 G'中不含(1,b0)(u1,w)-雙色路,則用 b0染 uv.否則,假設對于任意 i∈A1,G'中均有(1,i)(u1,w)-雙色路,則 A1?C(w)∩C(u1).又因d(w)≤Δ,d(u1)≤Δ,故C(w)=C(u1)=C{2},因此可用2改染vw.與前面討論類似,可設對于任意i∈A1,G'中均有(2,i)(u2,w)-雙色路且 C(u2)=C{1}.此時交換 uu1和 uu2所染的色,再用 3 染 uv,從而可得G的一個無圈 k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,v不與3--點相鄰.引理1證畢.

    引理2 若d(v)=d≥4,則v至多與d-2個2-點相鄰.

    證明 假設存在一個 d-點v與d-1 個2-點相鄰.設N(v)={u1,u2,…,ud},d(ui)=2,N(ui)={v,wi},i=1,2,…,d-1,G'=G-u1v.由 G 的極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k},不妨設 c(uiv)=i,i=2,3,…,d.

    1)若 c(u1w1)?{2,3,…,d},則用 a2∈C({2,3,…,d}∪{c(u1w1)})染 u1v.因|C({2,3,…,d}∪{c(u1w1)})|≥k-d≥1,故這樣的顏色a2存在,且染色c仍是無圈的.

    2)若 c(u1w1)∈{2,3,…,d-1},不妨設 c(u1w1)=2,則用 a3∈C({2,3,…,d}∪{c(u2w2)})染u1v.因|C({2,3,…,d}∪{c(u2w2)})|≥k-d≥1,故這樣的顏色 a3存在,且染色 c仍是無圈的.

    3)c(u1w1)=d.若存在 a4∈{1,d+1,d+2,…,k}C(w1),則用 a4染 u1v.否則,{1,d+1,d+2,…,k}?C(w1).又因為 d(w1)≤Δ 且 d∈C(w1),所以至少存在1個顏色 j∈{2,3,…,d-1}C(w1).此時,用 j改染u1w1,用a5∈C({2,3,…,d}∪{c(ujwj)})染u1v,可得G 的一個無圈k-邊染色,與G 的極小性矛盾.所以,v至多與d-2個2-點相鄰.引理2證畢.

    引理3 在3-面的邊界上沒有2-點與4-點相鄰.

    證明 假設一個2-點u與一個4-點v相鄰在一個3-面uvw的邊界上,G'=G-uv.由G的極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k},不妨設 c(uw)=1,c(vw)=2.

    1)若1?C(v),則用 a6∈C(C(v)∪{1})染 uv.因|C(C(v)∪{1})|≥k-4≥1,故這樣的顏色 a6存在,且染色c仍是無圈的.

    2)1∈C(v).設 v1,v3是 v的另外2 個鄰點,c(vv1)=1,c(vv3)=3,A3=C{1,2,3}.若存在 b1∈A3,使得 G'中不含(1,b1)(v1,w)-雙色路,則用 b1染 uv.否則,假設對于任意 j∈A3,G'中均有(1,j)(v1,w)-雙色路,則 A3?C(w)∩C(v1).又因 d(w)≤Δ,故 C(w)=C{3}.進一步,可假設對于任意 j∈A3,G'中均有(3,j)(v3,w)-雙色路,則 A3?C(w)∩C(v3).

    只需考慮 d(v1)=d(v3)=Δ.顯然有|{1,2,3}∩C(vi)|=2,i=1,3.此時,先抹去 uw 的色.

    ①若2∈C(v1)∩C(v3),則交換vv1與 vv3所染的色,用3染uw,再用4染uv.

    ②若2?C(vi),i∈{1,3},即 3∈c(vv1),1∈c(vv3),則 C(v1)=C(v3)=C{2}.若 w 到 v1無(2,4)-雙色路,則分別用 2,1 改染 vv1,vw,用3 染 uw,再用4 染uv.若 w 到v1有(2,4)-雙色路,則分別用2,1改染vv3,vw,用3染uw,再用4染uv.由雙色路的唯一性知,w到v3無(2,4)-雙色路.

    ③若2∈C(v1),且2?C(v3),則分別用 3,2,1 改染 vv1,vv3,vw,用3 染 uw,再用 4 染 uv.

    綜上,可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,在3-面的邊界上沒有2-點與4-點相鄰.引理3證畢.

    引理4 若d(v)=4且v相鄰2個2-點,則v不會關聯(lián)3-面.

    證明 假設v關聯(lián)一個3-面uvw.設x,y是與 v相鄰的2個2-點,x1,y1分別是2-點 x,y的另一鄰點,G'=G-vx.由 G 極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k}.

    1)若 c(xx1)?C(v),則用 a7∈C(C(v)∪{c(xx1)})染 vx.因|C(C(v)∪{c(xx1)})|≥k-4≥1,故這樣的顏色a7存在,且染色c仍是無圈的.

    2)c(xx1)∈C(v),不妨設 c(vy)=1,c(vw)=2,c(uv)=3,A4=C{1,2,3}.考慮到 u,w 的對稱性,故只需考慮以下2種情形:

    ①若 c(xx1)=1,則用 a8∈C(C(v)∪{c(yy1)})染 vx.因|C(C(v)∪{c(yy1)})|≥k-4≥1,故這樣的顏色a8存在,且染色c仍是無圈的.

    ②c(xx1)=2.若存在a9∈C(C(v)∪C(w)),則用a9染vx.否則,可斷言對于A4中的任一個顏色i都有x1到w的(2,i)-雙色路,故A4?C(w)∩C(x1).進一步,若1?C(x1),則用1改染 xx1,轉至情形①.若1∈C(x1),C(x1)=C{3},則可假設對于A4中的任一個顏色i都有x1到u的(3,i)-雙色路,故A4?C(u)∩C(x1).考慮uw邊的染色情況,可分以下2種情況加以討論:

    i)當c(uw)=1時,C(w)=C{3},C(u)=C{2},可斷言 x1到 w 和 x1到 u無(2,1)-雙色路.此時,可用 C({1,2,3}∪{c(yy1)})中的某一色改染 vy,再用1染 vx.

    ii)當 c(uw)∈A4時,C(w)=C{1},C(u)=C{1},可斷言 x1到 w 和 x1到 u 無(2,1)-雙色路.此時,可用C({1,2,3}∪{c(yy1)})中的某一色改染vy,再用1染vx,從而可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,v不會關聯(lián)3-面.引理4證畢.

    引理5 在3-面的邊界上沒有2個3-點相鄰.

    證明 假設一個3-點u與一個3-點v相鄰在一個3-面uvw的邊界上.設u1≠w,v1≠w分別是u,v的另一鄰點,G'=G-uv.由 G 的極小性知,G'有無圈 k-邊染色 c,染色集 C={1,2,…,k},設 c(uu1)=1,c(uw)=2.

    1)|C(u)∩C(v)|=0.不妨設 c(vw)=3,c(vv1)=4.

    ①若 Δ≥4,則用a10∈C(C(u)∪C(v))染 uv.因 |C(C(u)∪C(v))|≥k-4≥1,故這樣的顏色a10存在,且染色c仍是無圈的.

    ②下設 Δ =3,w1是 w 的另一鄰點,染色集 C={1,2,3,4}.若3?C(u1),則用3 改染 uu1,再用1 染uv;若2?C(v1),則用2改染vv1,再用4 染uv.設3∈C(u1),2∈C(v1).考慮到c(ww1)的對稱性,不妨設c(ww1)=1.若 u1到 w1無(1,4)-雙色路,則用4 改染 uw,再用 2 染 uv.否則,設 u1到 w1有(1,4)-雙色路,且 4∈C(u1),4∈C(w1),C(u1)=C{2}.此時,用 4 改染 uw,2 改染 uu1,再用1 染 uv.

    2)|C(u)∩C(v)|=1.

    ①c(uu1)=c(vw)或c(vv1)=c(uw).由于這2種情況的證明過程相同,故不妨設c(uu1)=c(vw)=1,c(vv1)=3,A5=C{1,2,3}.可斷言對于 A5中的任一個顏色 i都有 u1到 w 的(1,i)-雙色路,故 A5?C(w)∩C(u1),且 C(w)=C{3}.若 u1到 v1無(1,3)-雙色路,則用3 改染 uw,再用2 染 uv.否則,設 u1到 v1有(1,3)-雙色路,且3∈C(u1),C(u1)=C{2},1∈C(v1).又若 A5C(v1)≠?,不妨設 4?C(v1),則用4改染vv1,再用3染uv.所以設A5?C(v1)=C{2}.此時,用2改染vv1,再用3染uv.

    ②c(uu1)=c(vv1).不妨設 c(uu1)=c(vv1)=1,c(vw)=3,A5=C{1,2,3}.可斷言對于 A5中的任一個顏色i都有u1到v1的(1,i)-雙色路,故A5?C(u1)∩C(v1).若3?C(u1),則用3改染uu1,轉化至情形①.因此,3∈C(u1),C(u1)=C{2}.若2?C(v1),則用 2 改染 vv1,轉化至情形①.因此,2∈C(v1),C(v1)=C{3}.又若 A5C(w)≠?,不妨設4?C(w),則用4改染 vw,再用3染 uv.所以下設 A5?C(w)=C{1}.此時,用3改染vv1,用1改染vw,再用4染 uv.

    3)|C(u)∩C(v)|=2.若 c(uu1)=c(uw),c(vv1)=c(vw),不妨設 c(uu1)=c(uw)=1,c(vv1)=c(vw)=2,則用a11∈CC(w)染uv,從而可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,在3-面的邊界上沒有2個3-點相鄰.引理5證畢.

    引理6 若d(v)=5且v相鄰3個2-點,則v不與2-點關聯(lián)在一個3-面中.

    證明 假設v與一個2-點u關聯(lián)在一個3-面uvw中.設x,y是與v相鄰的其他的2個2-點,z是v的另一個鄰點,x1,y1分別是2-點x,y的另一鄰點,G'=G-uv.由G 極小性知,G'有無圈k-邊染色c,染色集C={1,2,…,k}.若 c(uw)?C(v),則用 a12∈C(C(v)∪{c(uw)})染 uv.否則,c(uw)∈C(v),不妨設c(vx)=1,c(vy)=2,c(vz)=3,c(vw)=4.

    1)若 c(uw)=1,則用 a13∈C(C(v)∪{c(xx1)})染 uv.2)若 c(uw)=2,則用 a14∈C(C(v)∪{c(yy1)})染 uv.3)c(uw)=3.因 d(w)≤Δ,故可記 C(w)中未出現(xiàn)的色為 c0,c0∈C{3,4}.當 c0=1時,用1改染uw,轉至情形1);當c0=2時,用2改染uw,轉至情形2);當c0∈CC(v)時,直接將c0染uv,從而可得G的一個無圈k-邊染色,與G的極小性矛盾.所以,v不與2-點關聯(lián)在一個3-面中.引理6證畢.

    2 定理1的證明

    設圖G是滿足定理1條件的一個邊數(shù)極小反例.以下將運用Discharging方法導出完成定理1證明所需要的矛盾.

    對任意 x∈V(G)∪F(G),構造一個權函數(shù) ω(x).其中:當 v∈V(G)時,ω(v)=2d(v)-6;當 f∈F(G)時,ω(f)=d(f)-6.通過權轉移,得到一個新的權函數(shù)ω'(x),使得總的權和不變.但對任意的x∈V(G)∪F(G),有ω'(x)≥0.因此得到-12≥0,即得到了證明定理1所需要的矛盾..

    設v∈V(G),n2(v)表示與點v相鄰的2-點個數(shù),f3(v)表示點v關聯(lián)的3-面?zhèn)€數(shù).

    權轉移規(guī)則如下:

    首先驗證 ω'(v)≥0,v∈V(G).

    情形1 v為2-點.由引理1和(R1)知,ω'(v)=2×2-6+1×2=0.

    情形2 v為3-點.由權轉移規(guī)則知v既不轉出權也不接受權,故ω'(v)=2×3-6=0.

    其次驗證 ω'(f)≥0,f∈F(G).

    [1]Fiamcˇík I.The acyclic chromatic class of a graph[J].Math Slovaca,1978,28(3):139-145.

    [2]Alon N,McDiarmid C,Reed B.Acyclic coloring of graphs[J].Random Structures Algorithms,1991,2(3):277-288.

    [3]Molloy M,Reed B.Further algorithmic aspects of Lovász local lemma[C]//Proceedings of the 30th Annual ACM Symposium on Theory of Computing held in Dallas.Dallas:ACM,1998:524-529.

    [4]Muthu R,Narayanan N,Subramanian C R.Improved bounds on acyclic edge coloring[J].Discrete Math,2007,307(23):3063-3069.

    [5]Alon N,Sudakov B,Zaks A.Acyclic edge colorings of graphs[J].Graph Theory,2001,37(3):157-167.

    [6]Alon N,Zaks A.Algorithmic aspects of acyclic edge coloring[J].Algorithmica,2002,32(4):611-614.

    [7]Cohen N,Havet F,Müller T.Acyclic edge-colouring of planar graphs,Extended abstract[J].Eletronic Notes in Discrete Math,2009,34(5):417-421.

    [8]Sun Xiangyong,Wu Jianliang.Acyclic edge colorings of planar graphs without short cycles[C]//Proceedings of the 7th International Symposium on Operations Research and Its Applications held in Lijiang.Lijiang:APORC&CAS,2008:325-329.

    [9]Hou Jianfeng,Liu Guizhen,Wu Jianliang.Acyclic edge coloring of planar graphs without small cycles[J].Graphs andCombinatorics,2011:10.1007/s00373-011-1043-0.

    [10]Gao Yunshu,Yu Dongxiao.Acyclic edge coloring of planar graphs without cycles of specific lengths[J].Appl Math Comput,2011,37(2):533-540.

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