Banach 空間中含(A，η，m)-增生算子的一類新廣義非線性集值變分包含組*

祝 聰， 倪仁興

(1．浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004;2．紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，浙江 紹興312000)

0 引言

1970年，Brezis［1］在討論變分不等式問題時(shí)最先提出了“預(yù)解算子”的概念;隨后，Hassouni和Moudafi［2］將它作了改進(jìn)和完善．Noor［3］在預(yù)解算子的基礎(chǔ)上又提出了預(yù)解方程并建立了它和混合變分不等式之間的等價(jià)關(guān)系．近幾年來，預(yù)解算子技術(shù)在發(fā)展不同類型的變分不等式(或變分包含)的迭代算法和研究解的存在性受到了國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的興趣［4-15］．例如：2006年，Lan等［8］引進(jìn)了(A，η)-增生映射的概念及含(A，η)-增生映射的預(yù)解算子的定義，同時(shí)使用該類預(yù)解算子解決了一類變分包含問題;2007年，Xia等［9］引入了廣義H-單調(diào)算子，并在Banach空間中研究了帶有廣義H-單調(diào)算子的變分包含問題;特別地，2009年，Yang等［14］在Banach空間中研究了如下一類廣義非線性集值變分包含系統(tǒng)：對(duì) i=1，2，設(shè) s，p，g，Ai：X→X 為單值映射，Ni，ηi：X × X→X 為單值映射，T，Q：X→2X為集值映射，Mi：X→X 為(Ai，ηi)-增生映射．尋找 x，y∈X，使得 g(x)∈dom(M1)且

他們證明了所構(gòu)造的算法強(qiáng)收斂于該類廣義非線性集值變分包含的解．

受上述結(jié)果的啟發(fā)，本文在一般Banach空間框架中，對(duì)廣義預(yù)解算子，通過構(gòu)造新的更為廣泛的變分包含系統(tǒng)，且在假定它的解存在的情況下，在適當(dāng)?shù)臈l件下給出了迭代序列強(qiáng)收斂的新結(jié)果．

1 預(yù)備知識(shí)

全文均設(shè)X是實(shí)Banach空間，X*為X的對(duì)偶空間，〈u，v〉是u∈X*與v∈X間的對(duì)偶對(duì)．R+為正實(shí)數(shù)集．廣義對(duì)偶映射 Jq：X→2X*定義如下：Jq(x)={f*∈X*：〈x，f*〉=‖x‖q，‖f*‖ =‖x‖*}，?x∈X．其中q＞1為常數(shù)．特別地，J2為正規(guī)對(duì)偶映射．顯然，Jq(x)=‖x‖q－2J2(x)對(duì)所有x≠0成立．如果X=H是Hilbert空間，那么，J2就是恒等映射I．

X 的光滑模 ρX：［0，∞)→［0，∞)定義為

引理1［16］設(shè)X是一致光滑實(shí)的Banach空間，則X是q-一致光滑的充要條件是：存在常數(shù)Cq＞0，使得

式(1)中：λ1，λ2∈R+是固定參量;β∈［0，1)．以下是問題(1)的特殊情況：

1)若 p2=0，Ni(·，·，·)=Ni(·，·)，Mi(·，·)=Mi(·)，gi(·，·)=gi(·)(i=1，2)，g2=I，β =0，則問題(1)等價(jià)于尋找 x，y∈X，滿足

問題(2)即為文獻(xiàn)［14］中的一類新廣義非線性集值變分包含系統(tǒng)．

2)若 X=H 是 Hilbert空間，Mi(·，·)=Mi(·)是(Hi，ηi)-單調(diào)算子，g1=I，則問題(2)等價(jià)于尋找 x1，x2∈H，滿足

定義1［8］設(shè)S：X→X，N：X×X×R+→X都是單值映射．稱單值映射N為：

1)對(duì)第1個(gè)變?cè)P(guān)于映射S是(a，b)-松弛余強(qiáng)制，如果存在常數(shù)a，b＞0，使得

定義2［8］若 η：X ×X→X，A：X→X 為單值映射，則稱集值映射M：X→2X為：

1)r-強(qiáng) η-增生，如果存在常數(shù) r＞0，對(duì)任意 x，y∈X，u∈M(x)，v∈M(y)，有

2)m-松弛 η-增生，如果存在常數(shù) m ＞0，對(duì)任意 x，y∈X，u∈M(x)，v∈M(y)，有

3)(A，η，m)-增生，如果 M 是 m-松弛 η-增生且(A+ρM)(X)=X，?ρ＞0．

其中，λ＞0是常數(shù)．

2 主要結(jié)果

在假定問題(1)有解的前提下，對(duì)(A，η，m)-增生映射，運(yùn)用廣義預(yù)解算子技術(shù)，探討問題(1)解的迭代逼近問題．

引理4 對(duì)任意給定的x，y∈X，(x，y)是問題(1)的解等價(jià)于

受上述方程的啟發(fā)，構(gòu)造以下Ishikawa型迭代算法：

算法1 對(duì)任給x0∈X，記

算法2 對(duì)任給x0∈X，記

算法2即為文獻(xiàn)［14］所討論的迭代算法，其收斂性問題Yang等［14］已作過仔細(xì)的研究和探討．

若X=H是Hilbert空間，Mi(·，·)=Mi(·)，g1=I，則算法2等價(jià)于下面的算法3，可解決問題(3)：

算法3 對(duì)任給x0∈X，記

定理1 設(shè) X 是 q-一致光滑實(shí) Banach空間．對(duì) i=1，2，gi－pi：X ×R+→X 為(ai，bi)-松弛余強(qiáng)制且γi-Lipschitz連續(xù)，s，p：X→X 為 μ，κ-Lipschitz連續(xù)，T，Q，E，G：X→CB(X)分別為 θ，δ，ξ，ζ-H-Lipschitz連續(xù)，N1：X×X×R+→X關(guān)于第1元和第2元分別為 μ1，β-Lipschitz連續(xù)且相對(duì)于第1元關(guān)于s是(α1，β1)-松弛余強(qiáng)制，N2：X×X×R+→X關(guān)于第1元和第2元分別為μ2，β'-Lipschitz連續(xù)且相對(duì)于第1元關(guān)于 p 是(α2，β2)-松弛余強(qiáng)制，ηi：X × X→X 是 τi-Lipschitz 連續(xù)，Ai：X→X 為 ri-強(qiáng) ηi-增生，Mi：X × X ×R+→2X為(Ai，ηi，mi)-增生映射，且?υ1，υ2＞ 0，使得

假設(shè)問題(1)有解，那么由算法1定義的迭代序列{xn}，{yn}強(qiáng)收斂于問題(1)的解．證明 設(shè)(x*，y*)是問題(1)的解，則由引理4有

由于 T(yn)，T(y*)，E(yn)，E(y*)，Q(yn)，Q(x*)，G(xn)，G(x*)∈CB(X)，?n≥0，則對(duì)任給的 ε ＞0，由 Nadler引理知，?vn∈T(yn)，un∈Q(xn)，zn∈E(yn)，wn∈G(xn)，有

則由算法1和引理2有

而由引理1知，g1－p1為(a1，b1)-松弛余強(qiáng)制和 γ1-Lipschitz連續(xù)，得

另外，

再次利用了引理1，N1的Lipschitz連續(xù)和關(guān)于第1元是(α1，β1)-松弛余強(qiáng)制的，得

把式(6)～式(8)代入式(5)，得

式(9)中：

由于{βn}為一實(shí)數(shù)序列，且 βn∈［0，1)，故類似可得

故

其中：

把式(10)代入式(9)并整理得

則

根據(jù)條件 βn∈［0，1)，0 ＜t1=l'+h2＜1，得

定理1 中若 pi=0，Ni(·，·，·)=Ni(·，·)，Mi(·，·)=Mi(·)，gi(·，·)=gi(·)(i=1，2)，g2=I，β =0，即得文獻(xiàn)［14］中的定理3．1;進(jìn)一步，若 g1=I，則得文獻(xiàn)［14］中的定理3．2．

推論1 設(shè) X=H 是實(shí) Hilbert空間．對(duì) i=1，2，s，p：H→H 為 μ，κ-Lipschitz連續(xù)，T，Q：H→CB(H)分別為θ，δ-H-Lipschitz連續(xù)，N1：H×H→H關(guān)于第1元和第2元分別為 μ1，β-Lipschitz連續(xù)且相對(duì)于第1元關(guān)于 s是(α1，β1)-松弛余強(qiáng)制，N2：H ×H→H 關(guān)于第1元和第2 元分別為 μ2，β'-Lipschitz連續(xù)且相對(duì)于第1 元關(guān)于 p 是(α2，β2)-松弛余強(qiáng)制，ηi：H × H→H 是 τi-Lipschitz連續(xù)，Ai：H→H 為 ri-強(qiáng) ηi-單調(diào)，Mi：H→2H為(Hi，ηi)-單調(diào)算子，若存在常數(shù) ρ＞0，■ ＞ 0，滿足

假設(shè)問題(3)有解，那么由算法3定義的迭代序列{xn}，{yn}強(qiáng)收斂于問題(3)的解．

定義4［19］若 η：H×H→H，T：H→H為2個(gè)單值映射，φ：H→R∪{+∞}為具 η-次微分的真函數(shù)，若對(duì)任意 x∈H，ρ＞0，存在唯一點(diǎn) u∈H 滿足〈Tu，η(y，u)〉≥ρφ(u) －ρφ(y)，?y∈H，那么映射x→u 定

引理5［21］若 T：H→H 為 γ-強(qiáng) η-單調(diào)，η：H × H→H 為 σ-Lipschitz連續(xù)，滿足?x，y∈H，η(x，y)=－η(y，x)，并且對(duì)任給的 x∈H，函數(shù) h(y，u)=〈x－ Tu，η(y，u)〉關(guān)于 y是 0-對(duì)角擬凹的，φ：H→R∪{+ ∞}為具 η-次微分的真函數(shù)，那么?ηφ 是(T，η)-單調(diào)的．

算法4 對(duì)任給x0∈X，記

推論2 設(shè) X=H 是實(shí) Hilbert空間．對(duì) i=1，2，ηi：H ×H→H 是 τi-Lipschitz連續(xù)，Hi：H→H 為 ri-強(qiáng)ηi-單調(diào)，滿足?xi，yi∈H，ηi(xi，yi)= － η(yi，xi)，并且對(duì)任給的 xi∈H，函數(shù) hi(yi，ui)=〈xi－ Hiui，ηi(yi，ui)〉關(guān)于 yi是0-對(duì)角擬凹的，φi：H→R∪{+∞}為 ηi-次微分函數(shù)，s，p：H→H 為 μ，κ-Lipschitz連續(xù)，T，Q：H→CB(H)分別為 θ，δ-H-Lipschitz連續(xù)，N1：H ×H→H 關(guān)于第 1 元和第 2 元分別為 μ1，β-Lipschitz連續(xù)且相對(duì)于第1元關(guān)于s是(α1，β1)-松弛余強(qiáng)制，N2：H×H→H關(guān)于第1元和第2元分別為μ2，β'-Lipschitz連續(xù)且相對(duì)于第 1 元關(guān)于 p 是(α2，β2)-松弛余強(qiáng)制，ηi：H × H→H 是 τi-Lipschitz連續(xù)，Ai：H→H為 ri-強(qiáng) ηi-單調(diào)，Mi：H→2H為(Hi，ηi)-單調(diào)算子，若存在常數(shù)，滿足

假設(shè)問題(4)有解，那么由算法4定義的迭代序列{xn}，{yn}強(qiáng)收斂于問題(4)的解．

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