Banach空間中向量均衡問(wèn)題近似解的最優(yōu)性條件*

鮑玲玲， 仇秋生

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

向量均衡問(wèn)題是優(yōu)化理論的重要組成部分，向量變分不等式、向量?jī)?yōu)化、向量Nash平衡及向量互補(bǔ)性問(wèn)題等都是向量均衡問(wèn)題的特例．近20多年來(lái)，許多學(xué)者研究了向量均衡問(wèn)題解的存在性和解的性質(zhì)［1-9］，但關(guān)于向量均衡問(wèn)題解的最優(yōu)性條件的研究比較少．Giannessi等［3］在有限維空間中把帶約束的向量變分不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束的向量變分不等式問(wèn)題，并給出了有效解與弱有效解的充分條件;Morgan等［10］應(yīng)用次微分的概念，在Hilbert空間中給出了向量廣義擬變分不等式問(wèn)題的弱有效解的標(biāo)量化及K-T條件;龔循華［11］在局部凸空間中給出了帶約束的錐凸向量均衡問(wèn)題解的最優(yōu)性條件;仇秋生［12］獲得了廣義凸向量均衡問(wèn)題弱有效解的充分與必要條件;戎衛(wèi)東等［13］引進(jìn)了向量均衡問(wèn)題的ε-弱有效解的概念，給出了集值向量均衡問(wèn)題的ε-弱有效解的存在性結(jié)果;楊曉奇等［14］引進(jìn)了向量變分不等式問(wèn)題的ε-近似解的概念，得到了Banach空間中向量變分不等式問(wèn)題的ε-有效解的最優(yōu)性條件;Gutierrez等［15］研究了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的Tanaka近似解的性質(zhì)，通過(guò)標(biāo)量化給出了近似解的充分與必要條件;龔循華等［16］獲得了Banach空間中無(wú)約束向量均衡問(wèn)題的ε-解的最優(yōu)性條件．本文在文獻(xiàn)［11-16］的基礎(chǔ)上，首先討論了向量均衡問(wèn)題近似解的一些性質(zhì);其次，引進(jìn)了帶約束向量均衡問(wèn)題的ε-有效解、ε-弱有效解的概念，研究了帶約束向量均衡問(wèn)題的ε-有效解、ε-弱有效解的充分與必要條件，改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)［14，16］的主要結(jié)果．

1 定義與引理

若無(wú)特別申明，以下總假設(shè)X，Y，Z為Banach空間，X*為X的共軛空間，D為X的非空子集，0為Y的零元，U為 Y中的閉單位球，C?Y和 K?Z為2個(gè)點(diǎn)凸錐．設(shè) g：D→Z，F(xiàn)：D×D→Y，且?x∈D，

設(shè)S為X的任意一個(gè)非空子集，用cl S，int S分別表示S的閉包和內(nèi)部．C的共軛錐用C*表示，即

其中，P∪{0}為Y中的凸錐．

2)映射 f：D→Y 在 D 上稱(chēng)為 C-次類(lèi)凸的，若存在 θ∈int C，使得?x1，x2∈D，?λ∈［0，1］，?ε ＞0，存在 x3∈D，有 εθ+f(x1)+(1-λ)f(x2)-f(x3)∈C．

注1［17］1)f是C-類(lèi)凸的當(dāng)且僅當(dāng) f(D)+C是凸集;f是C-次類(lèi)凸的當(dāng)且僅當(dāng) f(D)+int C是凸集．

2)若f是C-類(lèi)凸的，則一定是C-次類(lèi)凸的;反之一般不成立．

引理1［14］令M={y∈Y：y+U?-int C}，且r0=d(0，M)，則 M 是一個(gè)內(nèi)部非空的凸集且r0≥1．

引理2［18］設(shè)C?Y為內(nèi)部非空的點(diǎn)凸錐．

1)若 c*∈C*{0}，c∈int C，則〈c*，c〉＞0;

2)若 c*∈int C*，c∈C{0}，則〈c*，c〉＞0．

2 向量均衡問(wèn)題近似解的一些性質(zhì)

把所有(VEPC)的有效解、弱有效解、ε-有效解、ε-弱有效解組成的集合分別記作 E(F，A，C)，WE(F，A，C)，AE(F，A，C，ε)和 WAE(F，A，C，ε)．

注2 由定義1 和定義2 易得：1)若 int C≠?，則 AE(F，A，C，ε)?WAE(F，A，C，ε);

2)若0≤ε1≤ε2，則 AE(F，A，C，ε1)?AE(F，A，C，ε2);

3)若 ε =0，則 AE(F，A，C，0)=E(F，A，C)，WAE(F，A，C，0)=WE(F，A，C)．

定理1 設(shè)：1)ε≥0，{εn}?R+，且 εn→ε;2)對(duì)?y∈A，F(xiàn)(x，y)關(guān)于 x 在 A 上連續(xù)．則

其中，lim supWAE(F，A，C，εn)={x∈A ：存在序列{xn}，使得 xn∈WAE(F，A，C，εn)，xn→x}．

證明 假設(shè)結(jié)論不成立，則存在 x0∈lim supWAE(F，A，C，εn)，但 x0?WAE(F，A，C，ε)．于是，存在 y0∈A，使得

由 x0∈lim supWAE(F，A，C，εn) 知，存在 xn∈WAE(F，A，C，εn)且 xn→x0，從而

又由y0∈A得

而 F(x，y0)關(guān)于 x在 A上連續(xù)，Y(-int C)為閉集，且 εn→ε 和 xn→x0，故結(jié)合式(2)有 F(x0，y0)+εb∈Y(-int C)，?b∈U，即 F(x0，y0)+εU?Y(-int C)．這與式(1)矛盾．定理1 證畢．

由定理1可以得到下面的推論：

推論1 設(shè) A 為閉子集，?y∈A，F(xiàn)(x，y)關(guān)于 x在 A 上連續(xù)，則 WAE(F，A，C，ε)為閉集．

推論2 設(shè)：1)y∈A，F(xiàn)(x，y)關(guān)于 x 在 x0處連續(xù);2){εn}?R+，{xn}?A 且 ε↓0，xn→x0．若對(duì)每個(gè)n，xn∈WAE(F，A，C，εn)，則 x0∈WE(F，A，C)．

定理2 設(shè)：1)x0∈A，?y∈A，F(xiàn)(x，y)關(guān)于 x 在 x0處連續(xù);2){εn}?R+，{xn}?A 且 εn↓0，xn→x0;3){F(xn，y)}為單調(diào)增序列(即?m ＞ n，F(xiàn)(xn，y)∈F(xm，y)-C)，且 C 為閉集．若對(duì)每個(gè) n，xn∈AE(F，A，C，εn)，則 x0∈E(F，A，C)．

證明 假設(shè) x0?E(F，A，C)，則存在 y∈A，使得 F(x0，y)∈ -C{0}，即

由{F(xn，y)}為單調(diào)增序列知，對(duì)?m＞n有

又對(duì) y∈A，F(xiàn)(x，y)關(guān)于 x在 x0處連續(xù)和 xm→x0知

由式(5)及 C 為閉集，在式(4)中令 m→∞，有 F(x0，y)∈F(xn，y)+C，?n∈N，從而

而 xn∈AE(F，A，C，εn)，即 F(xn，A)?Y((-C){0})+εnU，也就是

于是，(F(xn，A)-εnU)∩(-C)={0}．由式(6)知

從而 F(xn，y)={0}，由式(5)有 F(x0，y)=0．這與式(3)矛盾．定理 2 證畢．

3 最優(yōu)性條件

又A?D，由式(8)可知，

證明 若ε=0，則由式(11)有

又A?D，由式(12)可知

從而，由‖c*‖=1及式(15)可知

式(16)中，r0如引理1的定義．

從而

結(jié)合C，K為凸錐，得

由式(19)及式(20)知

令λ→∞，有

同式(19)的證明可得

結(jié)合式(29)及〈k*，-int K〉≤0，可知式(16)成立．定理5證畢．

注3 定理5將文獻(xiàn)［16］的定理2．2作了以下推廣：

1)將無(wú)約束向量均衡問(wèn)題推廣為帶約束向量均衡問(wèn)題;

2)將目標(biāo)函數(shù)由類(lèi)凸映射推廣為次類(lèi)凸映射．

［1］Ansari Q H，Oettli W，Schl?ger D．A generalization of vectorial equilibria［J］．Mathematical Methods of Operation Research，1997，46(2)：147-152．

［2］Bianchi M，Hadjisavvas N，Schaible S．Vector equilibrium problems with generalized monotone bifunctions［J］．J Optim Theory Appl，1997，92(3)：527-542．

［3］Giannessi F，Mastroeni G，Pellegrini L．On the theory of vector optimization and variational inequalities．Image space analysis and separation［C］//Giannessi F．Vector variational inequalities and vector equilibria：mathematical theories．Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2000：153-215．

［4］Ansari Q H，Konnov I V，Yao J C．Characterizations of solutions for vector equilibrium problems［J］．J Optim Theory Appl，2002，113(3)：435-477．

［5］Fu J．Simultaneous vector variational inequalities and vector implicit complementarity problems［J］．J Optim Theory Appl，1997，93(1)：141-151．

［6］Gong X H．Connectedness of the solution sets and scalarization for vector equilibrium problems［J］．J Optim Theory Appl，2007，133(2)：151-161．

［7］Gong X H．Efficiency and henig efficiency for vector equilibrium problems［J］．J Optim Theory Appl，2001，108(1)：139-154．

［8］Hadjisavvas N，Schaible S．From scalar to vector equilibrium problems in the quasimonotone case［J］．J Optim Theory Appl，1998，96(2)：297-309．

［9］Kimura K，Yao J C．Sensitivity analysis of vector equilibrium problems［J］．Taiwanese Journal of Mathematics，2008，12(3)：649-669．

［10］Morgan J，Romaniello M．Scalarization and Kuhn-Tucker-like conditions for weak vector generalized quasivariational inequalities［J］．J Optim Theory Appl，2006，130(2)：309-316．

［11］Gong Xunhua．Optimality conditions for vector equilibrium problems［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2008，342(2)：1455-1466．

［12］Qiu Qiusheng．Optimality conditions for vector equilibrium problems with constraints［J］．Journal of Industrial and Management Optimization，2009，5(4)：783-790．

［13］Rong W D，Jia Y Z，Du Z J．Topological properties of ε-solutions sets for vectorial equilibria［J］．OR Transactions，2001，5(2)：1-11．

［14］Yang X Q，Zheng X Y．Approximate solutions and optimality conditions of vector variational inequalities in Banach spaces［J］．J Glob Optim，2008，40(1/2/3)：455-462．

［15］Gutierrez C，Jimenez B，Novo V．Optimality conditions for metrically consistent approximate solutions in vector optimization［J］．J Optim Throry Appl，2007，133(1)：49-64．

［16］龔循華，熊淑群．Banach空間中向量均衡問(wèn)題的近似解的最優(yōu)性條件［J］．南昌大學(xué)學(xué)報(bào)：理科版，2010，34(2)：103-107．

［17］Jeyakumar V．A generalization of a minimax theorem of fan via a theorem of the alternative［J］．J Optim Theory Appl，1986，48(3)：525-533．

［18］Jahn J．Mathematical vector optimization in partially ordered linear spaces［M］．Frankfurt：Verlag Peter Lang，1986．