等離子體模型中Poisson方程解的存在唯一性*

耿金波

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

文獻(xiàn)［1-4］對(duì)Euler-Poisson方程組的模型來源都有詳細(xì)的介紹．本文考慮一維雙極型Euler-Poisson方程組

式(1)中：x∈R3;u(x)∈R3;ρ是粒子密度;u為粒子速度;λ為德拜常數(shù);C(x)為雜質(zhì)的密度;Φ為電勢(shì)．

彭躍軍在文獻(xiàn)［5］中利用Lax-Friedrichs格式和Godunov格式得到了方程組(1)的全局弱熵解的存在性;Natalini在文獻(xiàn)［6］中得到了方程組(1)弱熵解的存在性;文獻(xiàn)［7］研究了方程組含有松弛時(shí)間的雙極型等熵Euler-Poisson方程組解的存在性及零松弛時(shí)間的極限．

本文運(yùn)用壓縮映像原理得到方程組(1)中的Poisson方程的解的存在性，使Euler-Poisson方程組化為雙曲守恒律方程組，其主要結(jié)果為：

定理1 方程組(1)中的Poisson方程的邊值問題

的解存在并且唯一．

1 引理

為了研究的方便，不妨假設(shè)方程組(1)中的λ=1，C(x)=1．

首先考慮下面的邊值問題：

令

其中，g∈L1∩BV．可驗(yàn)證T0(g)(x)是問題(3)的解．為了得到本文結(jié)論，需要下面幾個(gè)引理．

引理1 設(shè)g∈L1∩BV，則

其中，常數(shù)C0與g無關(guān)．

證明 由g∈L1∩BV知

所以由控制收斂定理知

顯然，

進(jìn)而得到

由式(4)和式(5)可得引理1的結(jié)論．引理1證畢．

下面考慮非線性映射

并記

其中，C0由引理1給出．

引理2 存在 δ0＞0，使得當(dāng)0 ＜δ＜δ0時(shí)，TXδ?Xδ．

證明 任取Ψ∈Xδ，由嵌入定理［8］知：存在與Ψ無關(guān)的常數(shù)C1，滿足

于是由引理1知

注意到f(Ψ)－Ψ=O(1)Ψ2，從而 limx→±∞T(Ψ)(x)=0．最后，在式(6)中取 δ充分小，使得 TXδ?Xδ．引理2證畢．

引理3 存在 δ0＞0，使得當(dāng)0 ＜ δ＜ δ0時(shí)，T 在(Xδ，‖·‖W1，1)上為壓縮映射．

證明 任取 Ψ1，Ψ2∈Xδ，有

應(yīng)用引理1，可得

于是，在式(8)中取適當(dāng)?shù)摩模憧傻玫浇Y(jié)論．引理3證畢．

大陸村到古辣鎮(zhèn)上只用40分鐘的車程，交通條件的改善，將為大陸村信息、物資的流通奠定良好的基礎(chǔ)，便于人口的集聚，有利于旅游地產(chǎn)的發(fā)展。

引理4 存在 δ0＞0，使得當(dāng)0＜δ＜δ0時(shí)，存在唯一的 Φ ∈Xδ，有TΦ=Φ．進(jìn)一步

證明 顯然，由Banach壓縮映像原理可以得到Φ的存在性．下面證明式(9)成立．由引理1可知

再次利用引理1得

同理

上述2個(gè)估計(jì)需要用到如下不等式：

于是在式(11)和式(12)中取適當(dāng)?shù)摩?，使得O(1)δ＜1，得到

引理4證畢．

2 定理1的證明

由引理4知，Φ=TΦ，Φ∈Xδ給出了方程組

在Xδ上的唯一解．定理1證畢．

3 結(jié)語

定理1的證明是運(yùn)用古典的壓縮映像原理，對(duì)等離子體模型中的橢圓型方程解的存在性和唯一性進(jìn)行了研究，它為進(jìn)一步研究等離子體模型方程奠定了理論基礎(chǔ)．

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