一類新的預(yù)條件Gauss-Seide迭代法

高樹玲 ,曾京玲

(1.周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南周口466001;2.渭南師范學(xué)院教務(wù)處,陜西渭南714000)

本文討論線性方程組

在一種新的預(yù)條件因子下迭代法的收斂性。其中A=(aij)∈RnXn非奇異,X,b∈Rn。

不失一般性,假定A的對角線元素全是1,設(shè)A=I-L-U,其中-L和-U分別為A的嚴(yán)格下三角和嚴(yán)格上三角矩陣。

考慮預(yù)條件系統(tǒng)PAX=Pb,其中P∈RnXn為非奇異矩陣。常見的預(yù)條件矩陣有P=I+S和P=I+R。對M-矩陣來說,它們都能加快Gauss-Seide迭代法的收斂速度。其中

I是單位矩陣,aij是(aij)nXn對應(yīng)位置上的元素。另外還有其他的一些預(yù)條件矩陣等。本文考慮一種新的預(yù)條件因子

其中

在一定條件下該預(yù)條件Gauss-Seide迭代法為收斂的。古典和該預(yù)條件后Gauss-Seide迭代矩陣分別記為M-1N,MND。

其中M=I-L,N=U,MD=I-ID-(L-DL+LD),N=U-DU+UD,DL,DU表示D的嚴(yán)格下和上三角陣,ID,LD,UD分別表示D(L+U)的對角陣和嚴(yán)格下和上三角陣。

1 相關(guān)的定義和引理

定義1[1]設(shè)A=(aij)∈RnXn。若A可表示為A=sI-B,其中B≥0,則當(dāng)s>ρ(B)時,稱A為非奇異的M-矩陣,簡稱M-矩陣;若A滿足aij≤0,1≤i≠j≤n,aii>0,i=1,2,…,n,則稱A為L矩陣。其中ρ(B)為矩陣B的譜半徑。

定義2[2]若M是非奇異nXn階矩陣,稱A=M-N是A的分裂,若ρ(M-1N)<1,則稱分裂A= M-N是收斂的;若M-1≥0,N≥0,則稱分裂A=M-N是正規(guī)的;若M-1≥0,M-1N>0,則稱分裂A=M-N是弱正規(guī)的;若M是非奇異的M-矩陣,且N>0,則稱分裂A=M-N是M-分裂。

定義3[2]如果一個nXn矩陣A=(aij)滿足:i≠j時,aij≤0,A是非奇異的且A-1≥0,則稱A為非奇異的M-矩陣。

引理1[2]設(shè)A=M-N是A的正規(guī)或弱正規(guī)分裂,則ρ(M-1N)<1的充要條件為A-1≥0。

引理2[2]如果A為非負(fù)矩陣,則

1 )ρ(A)為A的非負(fù)特征值;

2 )A有一非負(fù)的特征向量x≠0與ρ(A)相對應(yīng);

3 )A的任意元素增加時ρ(A)不減。

引理3[3]設(shè)A=M1-N1=M2-N2是A的兩個弱正規(guī)分裂,如果A-1≥0,并且下列條件之一成立:

1 )N1≤N2;

引理4[4]若A是非負(fù)矩陣,則

1 )若αx≤Ax對某一非負(fù)向量x且x≠0成立,則有α≤ρ(A);

2 )若Ax≤βx對某一正向量x成立,則ρ(A)≤β。進(jìn)一步,如果A是不可約矩陣且有0≠αx≤Ax≤βx,αx≠Ax,Ax≠βx對某一非負(fù)向量x成立,則α<ρ(A)<β且x是一正向量。

2 主要結(jié)論和證明

定理1 如果線性方程組(1)的系數(shù)矩陣A為非奇異的M-矩陣,且滿足:

用ρ(GSS),ρ(GSR),ρ(GSD)分別表示在本文引言中提到的預(yù)條件P=I+S,P=I+R,及本文引言中提到的新的預(yù)條件P=I+D下G-S迭代矩陣的譜半徑,它們的大小比較如表1。

表1 ρ(GSS),ρ(GSR)和ρ(GSD)的大小比較

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