GIS圖斑面積量算方法及其拓撲判斷

嚴泰來，陳亞婷，劉 哲

(中國農(nóng)業(yè)大學，北京100083)

一、GIS圖斑面積量算方法

在地圖上，一個用曲線勾劃的封閉區(qū)域就稱為圖斑(parcel)，即一個地塊。每一個縣、鄉(xiāng)或村都有邊界，用邊界圍成一個區(qū)域就是圖斑。對于圖斑，人們首先關(guān)心其面積，這是任何一個圖斑最為基本的地理信息之一。

GIS表現(xiàn)地圖的地理信息有兩種基本資料數(shù)據(jù)格式(data format)，即網(wǎng)格格式(grid)和矢量格式(vector)，如圖1所示。

圖1 數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)的網(wǎng)格格式和矢量格式

圖1(a)為數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)的網(wǎng)格格式，所謂網(wǎng)格格式是指用透明、細密、均勻的方格網(wǎng)“覆蓋”在地圖上，網(wǎng)格有具體的尺寸，網(wǎng)上的每一方格在地圖上覆蓋的部位具有某一屬性，如網(wǎng)格格式表達行政區(qū)劃圖，則各個網(wǎng)格就被賦予對應地圖部位的行政編碼。當然，有一些網(wǎng)格可能處于兩個或三個地塊的交界處，此種網(wǎng)格的屬性就以分割出最大地塊的屬性為準。顯然，此時圖斑的面積A即為屬于該圖斑的網(wǎng)格數(shù)目n乘以一個網(wǎng)格的面積a，即

這種方法簡單，但是在GIS中并不常用，原因有兩點：①GIS空間數(shù)據(jù)庫基本用矢量格式，網(wǎng)格格式的空間數(shù)據(jù)庫并不多見;②網(wǎng)格格式的精度受制于空間數(shù)據(jù)庫存儲量的限制，不能將網(wǎng)格設置過小，所以用這種方法量測圖斑面積的精度不高，難以滿足實際需要。

圖1(b)即為數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)的矢量格式，所謂矢量格式是指用首尾相接的多條線段鏈接起來的折線，每一個線段都有方向，用折線逼近曲線的數(shù)據(jù)表達格式。如果這種折線圍成一個封閉區(qū)域，就構(gòu)成一個圖斑，于是圖斑就變?yōu)橛糜邢迋€線段鏈接起來的多邊形，n個線段鏈接起來就成為n邊形，有n個頂點，每個頂點都有其坐標值(xi，yi)，這里i=1，2，…n。對于這樣的多邊形，其面積可以用辛普森求積公式計算，見式(2)。

式(2)是用高等數(shù)學環(huán)積分的思想推導得到，見圖2，圖2(a)中的陰影部分就是積分的積分單元，是一條線段向y軸投影的面積。這個單元是一個梯形，在已知點(xi，yi)和點(xi+1，yi+1)坐標情況下，該梯形面積可計算，然后將各線段對應的面積單元累加得到積分單元面積的代數(shù)和、并經(jīng)過整理可得到如式(2)所示的辛普森公式，式中用到絕對值符號，這是因為面積沒有負值。請注意公式最右端對于y0與yn+1的注解，因為已知點中并沒有(x0，y0)與(xn+1，yn+1)這兩點。

任何圖斑都是一個邊界封閉的圖形，任何一段線段向y坐標軸的投影總會與另一條或多條線段向y坐標軸的投影重疊，而且單元面積的代數(shù)和就留下圖斑這一線段條帶在圖斑內(nèi)的面積，以圖2(b)為例，在d－d+條帶中，就有6個線段陰影條帶重疊，其代數(shù)和就留下多邊形內(nèi)部的區(qū)域。這樣，所有線段向y坐標軸的投影的陰影面積代數(shù)和就構(gòu)成了待測多邊形的面積。

在GIS矢量格式空間數(shù)據(jù)庫中，對于每個圖斑邊界的每個頂點都按照一定順序存儲坐標數(shù)據(jù)，因此，GIS軟件在此基礎上能夠快速、準確地按照式(2)計算每個圖斑的面積。

圖2 辛普森求積公式原理圖

二、GIS基于矢量格式數(shù)據(jù)測算圖斑面積誤差的估計

如果一個閉合區(qū)域確實是一個真正的多邊形，即區(qū)域邊界是由直線段組成，而且該多邊形頂點的坐標資料完全準確，用式(2)計算其面積是沒有誤差的，因為式(2)是經(jīng)過嚴格數(shù)學證明的。但是基于矢量格式數(shù)據(jù)用式(2)測算圖斑面積存在誤差，問題在于采集用光滑曲線圍成的閉合區(qū)域坐標存在誤差，這里有兩種采集誤差。

1)布點誤差。如圖3所示，一般閉合區(qū)域邊界是一條平滑、自然隨機彎曲的曲線，而在這種曲線上采集有限個點，用折線逼近曲線，一定會有誤差。比如，在A點處，因布點原因，形成的多邊形在這里面積減少了;而在B點處，因布點原因，形成的多邊形在這里面積增加了。對于整個區(qū)域，因布點帶來的正負誤差不能完全抵消，就使面積測算最終結(jié)果有誤差。

圖3 圖斑邊界采集布點誤差示意圖

2)采點坐標誤差。區(qū)域邊界嚴格意義上是沒有寬度的，但是實際地圖上區(qū)域邊界總是有寬度的，夸大一點說是一個條帶。對地圖上區(qū)域邊界采點，理想位置應當在邊界條帶的中軸線上，但是人工采點是難以做到的，總會偏離理想位置，這就產(chǎn)生誤差。

以上布點誤差與采點誤差，不可避免地致使測算圖斑面積存在誤差，相對誤差可由式(3)估計

式中，r為面積計算的相對誤差;m為多邊形邊界坐標采點的方差;L為多邊形周長;A為多邊形面積;n為多邊形邊界坐標采點的數(shù)目。

由式(3)可以看出，面積測算的相對誤差與多邊形邊界坐標采點的方差成正比;與多邊形的周長面積比成正比;與采點數(shù)目的平方根成反比。這里“周長面積比”這一新概念值得注意，事實上如果一個圖形的周長很長、而面積相對很小，自然地表物件，如大壩在河流攔截形成的水庫，常常具有這樣的特點。由此說明物件圖形形狀越復雜，面積測算誤差就越大。此外，多邊形邊界坐標采點的數(shù)目對面積測算也有重要影響，采點數(shù)目越多，面積測算相對誤差越小，這是因為隨著采點數(shù)目的增加，面積測算正負誤差相互補償?shù)母怕室苍谠黾樱率瓜鄬φ`差減少。

式(3)適用于估算一個多邊形面積的測算誤差，也適用于估算一幅數(shù)字化地圖測算各圖斑面積的總體相對誤差，此時，L取地圖中各多邊形周長的平均值;A取各多邊形面積的平均值;m經(jīng)試驗得到，通常有一個經(jīng)驗值;n取各多邊形邊界坐標采點數(shù)目的平均值，在GIS軟件支持下獲取以上數(shù)據(jù)是不困難的。由此可以看出，地圖的圖形越復雜，測算各圖斑面積的總體誤差也就越大。

三、辛普森求積公式法判斷點與矢量線的拓撲關(guān)系

式(2)所示的辛普森公式有絕對值符號，如果將絕對值符號去掉，由圖2可知，在左手坐標系(Y坐標軸橫向，向右為正;X坐標軸縱向，向上為正)條件下，多邊形頂點坐標按順時針(如圖2所示)排列，則公式計算值為正值;反之，多邊形頂點坐標按逆時針排列，則公式計算值為負值。這個性質(zhì)可以在GIS拓撲判斷中使用，如圖4所示。辛普森公式適用于計算三角形面積，如圖4中的△ABP，計算其面積將頂點坐標代入式(2)則有

圖4 拓撲判斷原理圖

對于A值有3種可能：即A＞0，則△ABP按順時針方向排列，即點 P在矢量 AB的右面，如圖4(a)實線所示;A＜0，則點P'在矢量AB的左面，如圖4(a)虛線所示;A=0，則點P在矢量AB的線上。又分以下三種情況：即點P在矢量AB的線段上，如圖4(b);點 P在矢量 AB的延長線上，如圖4(c);點 P在矢量 AB的反向延長線上，如圖4(d)。3種情況歸于哪一種，由3點坐標數(shù)值關(guān)系決定。

這里提到的拓撲(Topology)關(guān)系是指空間幾何體，包括點與點、線與線、點與線、面與面、點與面、面與線等相互之間的方位關(guān)系，在GIS軟體運行工作中，有大批量的空間資料需要判斷其空間拓撲關(guān)系。

四、拓撲判斷用于圖形特征的提取

多邊形在形狀上有多種特征，計算機軟體可以自動提取這些特征，為識別多邊形對應的物件提供線索。這里給出多邊形形狀特征的一種判斷表達方法，見圖5。圖5所示的多邊形是一個凹多邊形，其頂點按逆時針方向排列，這可以用以上介紹的辛普森公式

圖5 多邊形的一種空間特征提取方法

計算面積是負值的結(jié)果判斷出來。進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，連續(xù)取多邊形3個頂點組成三角形，其中，△ABC、△BCD、△CDE、△HIJ、△KLA、△LAB 是逆時針方向排列;而△EFG、△IJK、△JKL 3個三角形是順時針排列，與整個多邊形頂點排列方向逆向。整個多邊形的面積可以計算，逆向排列的三角形面積累加和也可計算，兩者之比可以作為一個多邊形的特征加以定量計算，這個比稱之為圖形邊界的凹凸比。圖形邊界的凹凸比作為圖形特征的一個參數(shù)具有實際意義，因為一個物件的影像中難以避免因投影、物件呈現(xiàn)的姿態(tài)等多種原因產(chǎn)生種種變形，而物件對應圖形邊界的凹凸比卻變化很小，利用這一特征參數(shù)就可能為識別這一物件提供依據(jù)。圖6顯示圖形凹凸比特征在昆蟲識別中的一個應用。

仔細觀察圖6可以發(fā)現(xiàn)，圖6左邊蝴蝶包括翅膀在內(nèi)的身體輪廓凹陷點較少，凹陷較淺，但是左右副翼下面各有一個黑色凸出條帶，致使總體上邊界的凹凸比指數(shù)較大;而右邊蝴蝶包括主翼瘦窄，上下主、副翼之間裂隙較深，但是左右副翼邊界平滑，沒有凸出條帶，致使總體上邊界的凹凸比指數(shù)較小。此外，兩個蝴蝶的顏色差異較大，用色度學(Chromatics)原理進行分析，又會發(fā)現(xiàn)更多的不同。除了物種形體邊界的凹凸比特征指數(shù)外，周長面積比也是一個特征指數(shù)，經(jīng)研究還有更多的特征指數(shù)，用計算機軟體都可以計算提取。

如果在計算機信息系統(tǒng)中帶有儲存各種昆蟲物種的特征指數(shù)數(shù)據(jù)庫，對于實際工作采集來的昆蟲影像樣品計算其形體特征及色調(diào)特征，并且與特征指數(shù)數(shù)據(jù)庫的資料數(shù)據(jù)逐一加以比對，就可以判斷待判斷昆蟲物種的歸屬。對于國家邊境口岸的海關(guān)人員，識別境外有害昆蟲物種十分重要，因為放過帶有有害昆蟲物種的蔬菜、水果入境，將會造成不可挽回的巨大損失。計算機信息系統(tǒng)輔助判別有害昆蟲物種對于保障國家的生態(tài)安全、農(nóng)產(chǎn)品安全具有重大意義。事實上，采用與以上類似算法發(fā)展的計算機軟件已經(jīng)應用在各個邊防口岸、衛(wèi)生檢疫部門，應用面正在不斷擴大。

圖6 兩種蝴蝶影像圖

(略)