基于粗糙商集的邊坡穩(wěn)定性模糊積分評(píng)價(jià)

方宏偉，李長(zhǎng)洪，方玲玲

(1.北京科技大學(xué) a.金屬礦山高效開(kāi)采與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083;2.蘇州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇蘇州 215006)

1 研究背景

邊坡穩(wěn)定性分析方法有很多種，由于其影響因素的數(shù)據(jù)難以精確確定，故基于非確定性理論的一類(lèi)理論模型［1］是較合理的。如李文秀［2］提出了礦山邊坡的模糊數(shù)學(xué)方法。王艷霞［3］認(rèn)為對(duì)邊坡穩(wěn)定分析這一不確定性問(wèn)題，采用模糊數(shù)學(xué)方法更符合客觀實(shí)際，選取反映問(wèn)題實(shí)質(zhì)的隸屬函數(shù)是亟需解決和重點(diǎn)研究的問(wèn)題;并提出最穩(wěn)妥的確定方法應(yīng)該是模糊統(tǒng)計(jì)，而權(quán)重直接影響決策，目前多憑主觀經(jīng)驗(yàn)獲取，會(huì)導(dǎo)致失真，層次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)為解決問(wèn)題的一個(gè)途徑。黃飄［4］認(rèn)為模糊綜合評(píng)判是其中一種廣泛使用方法，但方法本身無(wú)突破性進(jìn)展，而精確的隸屬函數(shù)應(yīng)采用模糊統(tǒng)計(jì)法建立，AHP法的難點(diǎn)在于判斷矩陣的確定。蘇永華［5］也認(rèn)為模糊統(tǒng)計(jì)方法確定隸屬函數(shù)具有較大的準(zhǔn)確性，指出困難在于大量樣本的實(shí)現(xiàn)?？梢?jiàn)應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法評(píng)價(jià)邊坡穩(wěn)定性的難點(diǎn)是隸屬度和權(quán)重的計(jì)算。

粗糙集理論［6］具有處理不確定性問(wèn)題時(shí)不需要數(shù)據(jù)之外任何先驗(yàn)信息的優(yōu)點(diǎn)，因此本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上提出了對(duì)粗糙集理論中的屬性商集作模糊統(tǒng)計(jì)，求解模糊隸屬度的集值統(tǒng)計(jì)方法(這里將邊坡?tīng)顟B(tài)作為決策屬性而其它因素作為條件屬性)。其特點(diǎn)是以邊坡穩(wěn)定狀態(tài)為內(nèi)涵，以其它因素為外延，使其結(jié)果更符合樣本實(shí)際，降低求解過(guò)程中人為主觀因素，可與已有的研究成果來(lái)驗(yàn)證其可靠性。同時(shí)，以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正交試驗(yàn)［7］求得的各因素對(duì)穩(wěn)定性影響級(jí)差之差為依據(jù)，構(gòu)建AHP判斷矩陣來(lái)計(jì)算權(quán)重［8］，并與該試驗(yàn)結(jié)論作對(duì)比分析。相對(duì)于其它模糊數(shù)學(xué)方法，模糊積分(Sugeno積分)特別適合于度量和決策問(wèn)題［9］，可用其評(píng)價(jià)邊坡穩(wěn)定性，由邊坡樣本數(shù)據(jù)的回判及與其它理論方法結(jié)果和工程實(shí)際來(lái)驗(yàn)證其可行性。

2 邊坡穩(wěn)定性影響因素模糊隸屬度的求解

2.1 樣本數(shù)據(jù)離散和屬性商集的求解

本文搜集了邊坡樣本共121個(gè)，按編號(hào)分別來(lái)源于:參考文獻(xiàn)［10］(1-82)(為圓弧破壞)，文獻(xiàn)［11］(83-108)，文獻(xiàn)［12］(109-121);穩(wěn)定性影響因素5個(gè):重度γ(kN/m3)、黏聚力c(kPa)、摩擦角 φ (°)、坡度 α (°)、坡高 H(m);判別因素 1個(gè):安全系數(shù)F;狀態(tài)S:以0表示破壞，1表示穩(wěn)定。說(shuō)明:考慮到其它樣本中相關(guān)因素?cái)?shù)量，僅取文獻(xiàn)［12］中部分樣本，按原文順序排列如下(對(duì)含有子樣本的樣本從上到下再次編號(hào)):13，2，3，41，42，5，6，72，82，92，93，101，11。

為了求屬性商集，首先要對(duì)樣本數(shù)據(jù)離散化，盡管粗糙集理論中的相關(guān)方法很多，但最可靠還是應(yīng)用邊坡穩(wěn)定性分析的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，已有的模糊分析方法中因素的評(píng)判分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)為其提供了幫助，但尚無(wú)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。本文根據(jù)已有的研究成果并依據(jù)樣本數(shù)值范圍，采用表1的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)其進(jìn)行離散化。如前所述，其中條件屬性即為穩(wěn)定性影響因素和判別因素，決策屬性為邊坡?tīng)顟B(tài)S。說(shuō)明:為了克服原參考文獻(xiàn)中邊界值為兩個(gè)級(jí)別的弊端，采取越大越優(yōu)型屬性(γ，c，φ，F(xiàn))大值增大相應(yīng)一個(gè)單位和越小越優(yōu)型屬性(α，H)小值減小相應(yīng)一個(gè)單位來(lái)劃分不同級(jí)別，分級(jí)后的樣本數(shù)據(jù)(部分)見(jiàn)表2。

表1 條件屬性值分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Classification standards of condition attribute values

表2 離散后的樣本數(shù)據(jù)(部分)Table 2 Discrete sample data(portion)

為描述方便，設(shè) Ci(j)=(γ(j)，c(j)，φ(j)，α(j)，H(j)，F(xiàn)(j))，其中 i=1～6表示條件屬性，j=1～5表示級(jí)別。分級(jí)后的樣本是有重復(fù)的，可采用粗糙集軟件Rosetta［6］對(duì)條件屬性求商集后簡(jiǎn)化，剩余84個(gè)相容決策樣本，再對(duì)各級(jí)別屬性求商集U/IND(Ci(j))，計(jì)算界面見(jiàn)圖1。

圖1 Rosetta計(jì)算界面Fig.1 Interface of Rosetta computing

2.2 模糊隸屬度的求解

首先分析用粗糙商集作集值統(tǒng)計(jì)求解隸屬度符合模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)應(yīng)具備的4個(gè)要素［9］:①論域U={Ci(j)}，即條件屬性的集合;②U中一個(gè)固定元素Ci(j)，即一定級(jí)別的條件屬性;③U上一個(gè)模糊概念，即邊坡?tīng)顟B(tài)S(決策屬性)，對(duì)其不確定性統(tǒng)計(jì)形成了條件屬性商集U/IND(Ci(j))與決策屬性商集U/IND(S)的交集，設(shè)A為該交集中的單個(gè)元素(即單個(gè)邊坡樣本)，則A的每次選擇(固定化)就是對(duì)邊坡?tīng)顟B(tài)的一次確切劃分，即該邊坡樣本為何種狀態(tài)(破壞0或穩(wěn)定1)，表現(xiàn)了各因素(外延)對(duì)邊坡?tīng)顟B(tài)(內(nèi)涵)的隸屬關(guān)系;④條件，影響邊坡?tīng)顟B(tài)的因素，制約A的選擇(運(yùn)動(dòng))。

該試驗(yàn)的基本特點(diǎn)是Ci(j)固定，A變化。U/IND(Ci(j))的基即為Ci(j)固定次數(shù)n，可定義為求Ci(j)隸屬度的試驗(yàn)次數(shù)，在以求0或1狀態(tài)的隸屬度為條件選擇A(使A變化)，擊中Ci(j)(或Ci(j)捕捉到A)的次數(shù)為n0或n1，則對(duì)破壞狀態(tài)的隸屬度為μ0(Ci(j))=n0/n，對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)的隸屬度為μ1(Ci(j))=n1/n。定義要求n取無(wú)窮大，實(shí)際一個(gè)邊坡樣本是不同級(jí)別屬性的組合，n是有一定規(guī)模的，這可以從樣本數(shù)據(jù)離散后出現(xiàn)重復(fù)得到驗(yàn)證。下面通過(guò)求γ(3)的隸屬度來(lái)說(shuō)明計(jì)算過(guò)程:由對(duì)應(yīng)商集的基可知道3級(jí)別γ的樣本個(gè)數(shù)n=33，求其與決策屬性商集U/IND(S)的交集，可知樣本中邊坡破壞個(gè)數(shù)n0=14和穩(wěn)定個(gè)數(shù)n1=19，則n0/n表示γ(3)對(duì)破壞狀態(tài)0的隸屬度 μ0(γ(3))=0.42，n1/n表示γ(3)對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)1的隸屬度μ1(γ(3))=0.58。各級(jí)別條件屬性隸屬度計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

2.3 模糊隸屬度的驗(yàn)證

選取安全系數(shù) F的隸屬度進(jìn)行驗(yàn)證，文獻(xiàn)［16-17］已經(jīng)對(duì)其作了深入的研究，方法是依據(jù)已有的安全系數(shù)F與邊坡?tīng)顟B(tài)S物理關(guān)系的研究結(jié)論，從常用的隸屬函數(shù)中選取戒下型嶺形分布函數(shù)，并各自根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)及樣本實(shí)例確定其函數(shù)參數(shù)。需要說(shuō)明的是，文獻(xiàn)［17］的樣本也來(lái)源于文獻(xiàn)［10］，但剔除了安全系數(shù)為1.8的破壞邊坡一例。將F(j)代入文獻(xiàn)中的隸屬函數(shù)求得隸屬度，并與本文結(jié)果相對(duì)比，見(jiàn)表4?？梢?jiàn)本文求得F(1)的隸屬度位于區(qū)間值以?xún)?nèi)，其余均位于區(qū)間值上限，只是在小數(shù)點(diǎn)后的第2位不同，當(dāng)然采用的樣本數(shù)據(jù)不同，計(jì)算結(jié)果不可能完全一致，總體上本文的模糊隸屬度還是可靠。由于其它因素隸屬度是用同樣方法求得，故可認(rèn)為也是合理的。對(duì) γ(1)和 c(2)及α(5)的隸屬度為1的情況，說(shuō)明本文樣本有一定的局限性，也再次表明邊坡?tīng)顟B(tài)是由不同級(jí)別屬性共同作用決定的。

表3 不同級(jí)別條件屬性的隸屬度Table 3 Membership degrees of condition attributes in different levels

表4 安全系數(shù)F隸屬度的對(duì)比驗(yàn)證Table 4 Comparison and verification of membership degree of safety factor F

3 邊坡穩(wěn)定性的模糊積分評(píng)價(jià)

3.1 因素權(quán)重的確定

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正交分析得到的因素對(duì)邊坡穩(wěn)定性影響級(jí) 差 值 為 (0.818(γ)，0.972(c)，1.19(φ)，0.342(α)，0.608(H))，用大值與小值的差值作為AHP判斷矩陣構(gòu)建的依據(jù)，即若級(jí)差之差不超過(guò)0.2標(biāo)度為2(equally to moderately more important)，不超過(guò)0.3標(biāo)度為 3(moderately more important)，不超過(guò)0.4標(biāo)度為 4(moderately to strongly more important)，不超過(guò)0.5標(biāo)度為5(strongly more important)，不超過(guò)0.6標(biāo)度為6(strongly to very strongly more important)，不超過(guò)0.7標(biāo)度為 7(very strongly more important)，超過(guò)0.8標(biāo)度為8(very strongly to extremely more important)，當(dāng)小值與大值比較時(shí)則為相應(yīng)標(biāo)度的倒數(shù)。

采用SD(Super decision)［18］軟件計(jì)算，見(jiàn)圖2。四舍五入得5個(gè)因素權(quán)重向量為ω(Ci)=(0.15，0.24，0.50，0.04，0.07)，這與文獻(xiàn)［7］的結(jié)論是一致的。即邊坡穩(wěn)定性的主要影響因素為φ，c以及γ，其它為次要影響因素;φ的敏感性高于c，γ和α，H;c的敏感性高于γ;γ的敏感性均高于α，H;而H敏感性高于α。F是由以上5個(gè)因素求得的，也是邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)的重要判別因素，其權(quán)重應(yīng)與前5個(gè)因素權(quán)重之和相等，可得6個(gè)因素的權(quán)重向量為ω(Ci，F(xiàn))=(0.08，0.12，0.25，0.02，0.04，0.49)。

圖2 SD計(jì)算因素權(quán)重Fig.2 Interface of the calculated factors’weights in software SD

3.2 模糊積分評(píng)價(jià)方法與應(yīng)用

在模糊積分評(píng)價(jià)前，需按隸屬度大小對(duì)各因素重新排列，如樣本1重排列后各因素的排序見(jiàn)表5。由于本文評(píng)價(jià)因素為6個(gè)，為有限情形下的模糊積分，公式［9］為

式中:E1為評(píng)價(jià)值;u1(i)為因素對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)的隸屬度;為因素權(quán)重累加。如果公式中取u0(i)，則評(píng)價(jià)值為 E0，且 E1+E0=1;因此將0.5作為評(píng)價(jià)臨界值，考慮到臨界狀態(tài)是偏于危險(xiǎn)的，故定義E1＞0.5為穩(wěn)定狀態(tài)1，E0≤0.5為破壞狀態(tài)0。以樣本1為例說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。ωi計(jì)算如下:

ω1=ω(1)=0.25，

ω2=ω(1)+ ω(2)=0.37，

ω3=ω(1)+ ω(2)+ ω(3)=0.39，

ω4=ω(1)+ ω(2)+ ω(3)+ ω(4)=0.43，

ω5=ω(1)+ ω(2)+ ω(3)+ ω(4)+ ω(5)=0.51，

ω6=ω(1)+ ω(2)+ ω(3)+ ω(4)+ ω(5)+ ω(6)=1。

則按模糊積分公式計(jì)算E1=0.37，為破壞狀態(tài)0，與實(shí)際相符。

表5 因素重排列Table 5 Factors re-arranged

為了驗(yàn)證方法的可行性以及因素多少對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果正確率的影響，對(duì)84個(gè)樣本依次按沒(méi)有F和有F進(jìn)行評(píng)價(jià)(兩者區(qū)別在于權(quán)重的不同)，可知:缺少F時(shí)評(píng)價(jià)正確60個(gè)，正確率71.4%;有F時(shí)，正確64個(gè)，正確率76.2%。可見(jiàn)因素的多少對(duì)結(jié)果的正確率有一定的影響，因素越多則評(píng)價(jià)的正確率越高。從樣本的選取也可以證明這一點(diǎn)，文獻(xiàn)［12］有的樣本在本文的6個(gè)因素取值相同的情況下，由于其它因素取值的不同而使其狀態(tài)不同，如前所述即邊坡的穩(wěn)定狀態(tài)是由多種因素共同作用的結(jié)果，不局限于本文6個(gè)因素。由于樣本的限制，本文只能選取6個(gè)因素求隸屬度作模糊積分評(píng)價(jià)。選取樣本以外的5個(gè)邊坡工程實(shí)例作模糊積分評(píng)價(jià)(表6)，可見(jiàn)評(píng)價(jià)結(jié)果可靠。

表6 邊坡工程實(shí)例數(shù)據(jù)和模糊積分評(píng)價(jià)結(jié)果Table 6 Data of real slope engineering examples and results of fuzzy integral evaluation

4 結(jié)論

邊坡穩(wěn)定性影響因素的確定包含很大不確定性，而在應(yīng)用非確定性理論模型，如模糊數(shù)學(xué)方法評(píng)價(jià)時(shí)，存在隸屬度和權(quán)重難以確定的問(wèn)題。

本文提出了對(duì)粗糙集理論中的屬性商集作模糊統(tǒng)計(jì)求解隸屬度的集值統(tǒng)計(jì)算法，降低了人的主觀因素影響;與已有研究成果對(duì)比表明，該方法的結(jié)果是可靠的。以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正交試驗(yàn)分析得到的各因素對(duì)邊坡穩(wěn)定性影響級(jí)差之差作為AHP判斷矩陣建立的依據(jù)來(lái)求權(quán)重，其結(jié)果與該試驗(yàn)的結(jié)論相一致。引進(jìn)了更適合度量和決策的模糊積分理論，對(duì)邊坡樣本的分析表明:模糊積分評(píng)價(jià)結(jié)果正確率與因素多少成正向關(guān)系;與其它理論方法的結(jié)果和工程實(shí)際對(duì)比可知，該方法評(píng)價(jià)結(jié)果可靠，但計(jì)算過(guò)程更方便快捷。另外，進(jìn)一步擴(kuò)充樣本，使所計(jì)算得到的模糊隸屬度更準(zhǔn)確以及與隨機(jī)可靠性相結(jié)合是以后的研究重點(diǎn)。同時(shí)，在給定相應(yīng)充足的樣本情況下，本文提出的方法還可應(yīng)用于評(píng)價(jià)地基、基坑、地下工程等不同類(lèi)型工程的穩(wěn)定性。

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