基于改進(jìn)PSO的可靠性穩(wěn)健優(yōu)化計(jì)算方法

葉南海 戚一男 陳 凱 翟銀秀

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙，410082

0 引言

傳統(tǒng)可靠性計(jì)算一般基于概率密度分布理論、零部件材料強(qiáng)度與工作應(yīng)力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)實(shí)現(xiàn)。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于各種智能算法，對(duì)系統(tǒng)的可靠性與失效進(jìn)行了計(jì)算、分析和預(yù)測(cè)［1－7］；文獻(xiàn)［8－9］在穩(wěn)健設(shè)計(jì)信息基礎(chǔ)上，根據(jù)粒子群算法將迭代適應(yīng)值模糊化處理，對(duì)某乘用車輛的前軸可靠性進(jìn)行了計(jì)算；文獻(xiàn)［10－13］運(yùn)用反問題等分析方法，對(duì)可靠性進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算求解。

上述研究方法均存在一定程度的局限性，本文針對(duì)這些局限性，根據(jù)現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法與穩(wěn)健設(shè)計(jì)原理，以可靠性的一階導(dǎo)數(shù)和體積最小作為目標(biāo)函數(shù)，建立了可靠性優(yōu)化計(jì)算的多目標(biāo)約束優(yōu)化數(shù)學(xué)求解模型，提出了動(dòng)態(tài)加速常數(shù)和速度自適應(yīng)的改進(jìn)粒子群算法，并通過(guò)編寫的計(jì)算機(jī)程序代碼，實(shí)現(xiàn)了多目標(biāo)約束優(yōu)化的數(shù)值化求解。

1 可靠性設(shè)計(jì)的隨機(jī)攝動(dòng)法

可靠性設(shè)計(jì)的一個(gè)目標(biāo)是可靠度：

式中，fX（X）為基本隨機(jī)參數(shù)的聯(lián)合概率分布密度，X＝（x1，x2，…，xn）T；g（X）為狀態(tài)函數(shù)，g（X）＞0表示安全狀態(tài)；g（X）≤0表示失效狀態(tài)。

把隨機(jī)參數(shù)向量X和狀態(tài)函數(shù)g（X）表示為

式中，ε為參數(shù)。

對(duì)式（2）取均值、方差，有

式中，Var（X）為基本隨機(jī)參數(shù)的方差向量。

把狀態(tài)函數(shù)g（X）對(duì)基本隨機(jī)變量X求偏導(dǎo)數(shù)，有

把式（4）代入式（3），可以得到狀態(tài)函數(shù)方差的表達(dá)式，其可靠性指標(biāo)定義為

在基本隨機(jī)參數(shù)向量X服從正態(tài)分布時(shí)，可以獲得可靠度的一階估計(jì)量：

式中，Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

2 多目標(biāo)可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

由于可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)是要求可靠度對(duì)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)、工作載荷和材料等參數(shù)的變化不敏感，所以將可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)來(lái)處理，即

式（7）中，目標(biāo)函數(shù)f1（X）可以為質(zhì)量、體積等問題；目標(biāo)函數(shù)f2（X）為可靠性的一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算；可靠度的一階估計(jì)量R，表示對(duì)構(gòu)成可靠度計(jì)算的各個(gè)變量參數(shù)執(zhí)行一階導(dǎo)數(shù)求解，之后進(jìn)行求和運(yùn)算。目的在于把自變量的變化對(duì)可靠度的影響降到最低，使可靠度具有不靈敏性，從而實(shí)現(xiàn)可靠性的穩(wěn)健魯棒設(shè)計(jì)。

在多目標(biāo)優(yōu)化中，通常不存在能使得所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)優(yōu)化的最優(yōu)解。也就是說(shuō)，如果可行解X是某些目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，但X常常不會(huì)是其余目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。因此，絕對(duì)最優(yōu)解在多目標(biāo)優(yōu)化問題中通常是不存在的，考慮到各目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，采用量綱一化處理。式（7）即可表示為

式中，fi，min、fi，max和wi分別為各目標(biāo)函數(shù)的最小值、非理想最大值和權(quán)重系數(shù)。

式（8）采用基于參數(shù)策略（加速常數(shù)和速度）的改進(jìn)粒子群算法實(shí)現(xiàn)數(shù)值化求解。

3 基于參數(shù)策略的粒子群算法求解

PSO初始化為一組隨機(jī)解（隨機(jī)粒子），通過(guò)迭代利用粒子在解空間追隨最優(yōu)的粒子進(jìn)行搜索。PSO在每次迭代中，粒子通過(guò)跟蹤2個(gè)極值來(lái)更新自己。一個(gè)是粒子本身找到的最優(yōu)解，稱其為個(gè)體極值pbest；另一個(gè)則是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解，稱其為全局極值gbest。在找到這2個(gè)極值后，粒子根據(jù)下式進(jìn)行自己的速度和位置更新：

式中，c1、c2為加速常數(shù)（學(xué)習(xí) 因 子）；ω 為 慣性 權(quán) 重；r1、r2為介于（0，1）之間的隨機(jī)函數(shù)；pi，d為局部最優(yōu)解；pg，d為全局最優(yōu)值。

式（9）中，Vi，d∈ ［Vmin，Vmax］，由三部分組成：第一部分是粒子的先前速度部分，這部分說(shuō)明粒子目前的狀態(tài)；第二部分是個(gè)體的認(rèn)知部分，這部分使粒子有較強(qiáng)的全局搜索能力，避免陷入局部極小；第三部分是社會(huì)共享信息部分，這部分能使粒子從其他優(yōu)秀粒子中吸取經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)搜索能力。

影響粒子群算法性能的參數(shù)主要有：慣性權(quán)重ω、加速常數(shù)c1、c2和最大限制速度Vmax，因此基于參數(shù)的改變問題也是提高尋找最優(yōu)解精度和效率的有效途徑之一。標(biāo)準(zhǔn)PSO是基于調(diào)整慣性權(quán)重的自適應(yīng)算法，它與其他進(jìn)化算法比較，盡管能夠以非常快的速率找到局部好解，但是在尋找全局最優(yōu)解的能力方面還是相對(duì)弱一些。在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法中，通常采用ω隨進(jìn)化代數(shù)的增加而線性遞減的方式，在這種取值方法中，存在一些問題。首先，如果在運(yùn)行初期探測(cè)到較優(yōu)點(diǎn)，則希望能夠迅速收斂于最優(yōu)點(diǎn)，而ω的線性遞減減緩了算法的收斂速度；其次，在算法的運(yùn)行后期，隨著ω的減小，全局搜索能力下降，多樣性減弱，容易陷入局部最優(yōu)。為此，本文提出兩種基于參數(shù)策略的改進(jìn)算法，并基于加速常數(shù)c1、c2和Vmax及慣性權(quán)重ω，協(xié)同探討控制算法朝最優(yōu)解方向進(jìn)化的途徑，以提高PSO算法的性能。

3.1 C－PSO算法

式中，R1、R2、R3、R4為初始設(shè)定的定值；Rand為0～1的任意隨機(jī)數(shù)；ωmax、ωmin為權(quán)重的最大值、最小值；t、Tmax分別為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)和最大進(jìn)化代數(shù)。

通過(guò)設(shè)定初始常數(shù)R1、R2、R3、R4來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)c1、c2的調(diào)節(jié)，C－PSO算法的特點(diǎn)是，在優(yōu)化的早期，鼓勵(lì)粒子在整個(gè)搜索空間移動(dòng)，而在優(yōu)化的后期，提高趨于最優(yōu)解的收斂率。

3.2 V－PSO算法

當(dāng)Vi，d＞Vt，則Vi，d＝Vt；當(dāng)Vi，d＜－Vt，則Vi，d＝－Vt。其中，K、p為控制尺度系數(shù)大小的正常數(shù)。V－PSO算法引入了自適應(yīng)尺度系數(shù)K－（t／Tmax）p，目的在于使其隨著進(jìn)化的代數(shù)增加而下降，從而控制搜索的規(guī)模，提高收斂的效率。

基于參數(shù)策略的多目標(biāo)約束優(yōu)化求解PSO算法流程，如圖1所示。

圖1 改進(jìn)PSO算法流程圖

4 算例

某礦用提升絞車軟啟動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)采用行星齒輪傳動(dòng)，中心輪輸入扭矩為2521.2kN·m，其齒數(shù)與行星輪齒數(shù)相同，材料為40Cr滲氮處理，硬度為245～288HB，內(nèi)齒圈采用45鋼調(diào)質(zhì)，硬度為229～286HB。要求在保證其輕量化的前提下，完成其可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)。

4.1 數(shù)學(xué)模型

（1）設(shè)計(jì)變量。取中心輪齒數(shù)za、模數(shù)m和齒寬系數(shù)φd作為設(shè)計(jì)變量，行星輪齒數(shù)zc、內(nèi)齒圈齒數(shù)zb，則按照zc＝za，zb＝za＋2zc得到。

（2）目標(biāo)函數(shù)。要求整個(gè)行星輪系的體積最小，質(zhì)量輕量化，其意可表示為

要實(shí)現(xiàn)行星輪系的穩(wěn)定可靠度和穩(wěn)健設(shè)計(jì)，則必須保證可靠度不受系統(tǒng)參數(shù)變化的影響，或其影響最小，即魯棒性。這里假設(shè)行星輪系中心輪齒面許用接觸應(yīng)力δ及偏差σδ保持不變，行星輪系傳動(dòng)比恒定。根據(jù)文獻(xiàn)［14］，中心輪齒面的工作接觸應(yīng)力S與可靠度聯(lián)結(jié)系數(shù)β可表示為

式中，K0、T、ZH、ZE、Zε均為相關(guān)的已知常數(shù)。

根據(jù)式（5）可靠性指標(biāo)定義，本文算例的可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)可表示為

故目標(biāo)函數(shù)為

（3）約束條件。齒面接觸應(yīng)力小于許用接觸應(yīng)力：

中心輪的齒根彎曲應(yīng)力應(yīng)小于其許用彎曲應(yīng)力：

4.2 動(dòng)態(tài)加速常數(shù)粒子群算法求解（C－PSO）

設(shè)17≤x（1）≤40，8≤x（2）≤15，0.5≤x（3）≤2；選取 md＝10，Mdim＝3，vmin＝－1，vmax＝1，ωmin＝0.3，ωmax＝1.8，Tmax＝1000，f1，min（x）＝4×107，f2，min（x）＝180，根據(jù)前述雙目標(biāo)函數(shù)與約束條件編寫MATLAB計(jì)算機(jī)程序，初始設(shè)定常數(shù)R1、R2、R3、R4的取值與迭代算法收斂、優(yōu)化結(jié)果如表1所示（表中，Yfitness為函數(shù)適應(yīng)值）。

表1 C－PSO參數(shù)設(shè)置與求解結(jié)果

基于不同R1、R2、R3、R4取值的C－PSO算法的函數(shù)適應(yīng)值迭代曲線如圖2所示。

圖2 不同R1、R2、R3、R4參數(shù)的C－PSO迭代曲線關(guān)系圖

各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)在考慮權(quán)重系數(shù)之后，經(jīng)過(guò)量綱一化處理得到的綜合目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)值為Yfitness，從表1中可以看出，其最小值為0.0097；目標(biāo)函數(shù)在經(jīng)過(guò)大約700次迭代后，出現(xiàn)收斂；調(diào)整初始設(shè)定常數(shù)R1、R2、R3、R4的值，函數(shù)收斂速度將會(huì)發(fā)生變化，參數(shù)越小，收斂速度越快。

4.3 速度自適應(yīng)粒子群算法求解（V－PSO）

設(shè)17≤x（1）≤40，8≤x（2）≤15，0.5≤x（3）≤2；選取c1＝2，c2＝2，m＝20，Mdim＝3，ωmin＝0.4，ωmax＝1.3，f1，min（x）＝4×107，f2，min（x）＝180，Tmax＝200，K、p、Vmax取值與迭代算法收斂、優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表2 V－PSO參數(shù)設(shè)置與求解結(jié)果

基于不同K、p、Vmax取值的V－PSO算法的函數(shù)適應(yīng)值迭代曲線如圖3～圖6所示。

圖3 K＝0.5，p＝1，Vmax＝1時(shí)的函數(shù)迭代曲線

圖4 K＝1.5，p＝1，Vmax＝1時(shí)的函數(shù)迭代曲線

從表2和圖3可以看出，目標(biāo)函數(shù)最小值為0.0094，當(dāng)K、p、Vmax的取值改變時(shí)，迭代收斂情況將發(fā)生明顯變化，一般來(lái)說(shuō)，取值越小，則收斂越快。

綜上所述，本算例的優(yōu)化結(jié)果（圓整）為：模數(shù)12mm、齒寬300mm、中心輪與行星輪齒數(shù)均為25、材料選用40Cr滲氮；內(nèi)齒圈齒數(shù)為77。

圖5 K＝2，p＝0.5，Vmax＝1時(shí)的函數(shù)迭代曲線

圖6 K＝2，p＝1，Vmax＝2時(shí)的函數(shù)迭代曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)目前已有的關(guān)于可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)算法的單一性，提出了一種全新的可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算方法。將可靠性的靈敏度作為優(yōu)化目標(biāo)，體現(xiàn)了可靠性的穩(wěn)健設(shè)計(jì)；通過(guò)基于參數(shù)策略（動(dòng)態(tài)加速常數(shù)和速度自適應(yīng)）的改進(jìn)PSO算法在數(shù)學(xué)模型求解程序代碼中的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了可靠性穩(wěn)健優(yōu)化計(jì)算的數(shù)值化求解，同時(shí)也為多目標(biāo)約束優(yōu)化問題的求解提供了一種計(jì)算方法。算例表明，基于改進(jìn)PSO的可靠性穩(wěn)健優(yōu)化計(jì)算方法，具有結(jié)果信息簡(jiǎn)單實(shí)用，適宜工程應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)。

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