半封閉圓柱形襯砌結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的解析解

陳學(xué)麗，聞敏杰，張 斌

（1.嘉興職業(yè)技術(shù)學(xué)院 生物與環(huán)境分院，浙江 嘉興314036；2.上海市電力公司，上海200072）

0 引言

襯砌結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析可用于地鐵隧道、海底隧道、石油運(yùn)輸管道等工程領(lǐng)域.近年來(lái)，該問(wèn)題一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn).T.Senj untichai和R.Rajapakes［1］研究了飽和土中圓柱形孔洞的動(dòng)力響應(yīng)，借助Laplace變換和勢(shì)函數(shù)，得到了隧洞邊界透水條件下位移、應(yīng)力和孔壓解答.楊峻等［2］利用積分變換法推導(dǎo)了飽和土中圓形孔洞動(dòng)力響應(yīng)的解析.徐長(zhǎng)節(jié)等［3］求得了具有球形空腔飽和土動(dòng)力響應(yīng)的解析解，并分析了邊界排水或不排水條件下位移、應(yīng)力和孔壓隨時(shí)間的變化規(guī)律.上述都考慮了土體中液固耦合作用，但都忽略了襯砌的影響.

為此，U.Zakout和N.Akkas［4］采用加權(quán)殘值法研究了彈性土和殼體襯砌耦合動(dòng)力響應(yīng)，并給出了瞬時(shí)、平移和最小葉等響應(yīng)模式條件下的解析結(jié)果.S.E.Kattis等［5］在 Mei和Foda基礎(chǔ)上［6］，研究了具有任意形狀的平面隧洞飽和土動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)值解，并與有限單元法進(jìn)行了比較.高盟等［7］研究了均布Heaviside荷載作用下飽和土中圓柱形彈性襯砌結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng).蔡元強(qiáng)等［8］研究了爆炸荷載作用下飽和土中具有殼體襯砌結(jié)構(gòu)的圓形隧道振動(dòng)響應(yīng).上述研究雖考慮了土體和襯的相互作用，但未研究隧道的滲透性對(duì)響應(yīng)幅值的影響.此后，X.Li［9］基于實(shí)際工程中隧道模型，建立了隧道部分透水的條件，劉干斌等［10］在此基礎(chǔ)上對(duì)黏彈性飽和土中隧道動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究.而上述都未考慮襯砌的黏性.

作者考慮土骨架和襯砌結(jié)構(gòu)的黏性，求解了軸對(duì)稱荷載和流體壓力作用下飽和黏彈性地基中半封閉襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng).

1 飽和土中襯砌結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

無(wú)限飽和土中有一襯砌內(nèi)外半徑分別為R1和R2，厚度為d＝R2－R1的無(wú)限長(zhǎng)深埋圓形隧道，襯砌內(nèi)分別受到圓頻率為ω的軸對(duì)稱荷載和流體壓力為虛數(shù)單位，如圖1所示。不計(jì)體力時(shí)，由幾何和物性特征可知，該問(wèn)題視為軸對(duì)稱平面應(yīng)變問(wèn)題分析.將襯砌視為均勻黏彈性介質(zhì)，借助Kel vin－Voigt本構(gòu)模型，在極坐標(biāo)下以位移表示的動(dòng)力方程為：

圖1 計(jì)算模型Fig.1 Analytic model

式中：λL，GL為材料常數(shù)襯砌的黏滯阻尼系數(shù)，量綱為s分別為黏性材料膨脹和剪切系數(shù)；為徑向位移；ρL為材料密度.

式中：GS為土體剪切波速；ρT＝（1－n）ρs＋nρf為土體總密度；n為孔隙率；ρs，ρf分別為土骨架和孔隙流體的密度.

于是，利用式（2）、式（1）可簡(jiǎn)化為

式（3）易解得

其中，C5，C6為待定系數(shù)；I1（x），K1（x）分別為1階第一和第二類變形Bessel函數(shù).

利用位移和應(yīng)力的關(guān)系，可得襯砌的徑向應(yīng)力為

2 飽和土的動(dòng)力響應(yīng)

不計(jì)體力，在軸對(duì)稱平面應(yīng)變條件下，飽和土在動(dòng)力荷載下的運(yùn)動(dòng)方程為［11］

其中，σSEr，σSEθ分別為土骨架的有效徑向和環(huán)向應(yīng)力；p為孔隙水壓力；uSr為徑向位移；wr為流體相對(duì)于土骨架的徑向位移.

利用Kelvin－Voigt本構(gòu)模型描述土骨架的應(yīng)力—應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系［12］

式中：λS，GS為土骨架的Lame常數(shù)；分別為土體和流體相對(duì)于土體的體應(yīng)變；為材料膨脹系數(shù)；α，M分別為表征土顆粒和孔隙流體壓縮性的常數(shù).

孔隙流體運(yùn)動(dòng)方程為

式中：b＝η0／ks為流固相互作用系數(shù)；η0，ks分別為流體絕對(duì)黏度和滲透系數(shù).

引入如下位移勢(shì)函數(shù)

由式（6）～式（9），可得用勢(shì)表示的動(dòng)力方程為

3 邊界條件

X.Li認(rèn)為實(shí)際工程中絕大部分隧道邊界處于透水與不透水之間，即半封閉狀態(tài).為此，借助于達(dá)西定律建立了部分透水邊界條件［9］.

首先，考慮軸對(duì)稱荷載 （q0eiωt）作用，假設(shè)襯砌和土體完全接觸.根據(jù)飽和土與襯砌結(jié)構(gòu)界面處位移和應(yīng)力連續(xù)，可得

在襯砌結(jié)構(gòu)的內(nèi)邊界上（r＝R），外荷載等于襯砌的徑向應(yīng)力

設(shè)襯砌外邊界的水頭為P2，內(nèi)邊界的水頭為P1.在外荷載作用下，P2＝p，P1＝0.由此，根據(jù)達(dá)西定律，可知襯砌中的流體流量為［9］

土體中的流體流量為

式中：γw為流體重度；vs，vl分別為土體和襯砌中的流體流量；kl為襯砌的滲透系數(shù)；k＝為襯砌和土體的相對(duì)滲透系數(shù).

由此，利用式（4）～（5）和式（16）～（19）代入邊界條件式（20）～（25），可求得待定系數(shù)A1，A2，C5，C6的具體表達(dá)式.因此，可得軸對(duì)稱荷載作用下半封閉襯砌結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)解析解.

再次，考慮流體壓力 （qfeiωt）作用，襯砌外邊界上 （r ＝ R2）的位移和應(yīng)力條件同式（20）和（21）.在襯砌結(jié)構(gòu)的內(nèi)邊界上 （r ＝ R1） ，設(shè)流體壓力全部由孔隙水壓力承擔(dān)，則

在流體壓力作用下，P2＝p，P1＝qfeiωt.利用式（23）和（24），則部分透水邊界條件為

由此，利用式（4）～（5）和式（16）～（19）代入邊界條件式（22）～（25）和式（26）、（27），可求得待定系數(shù)A1，A2，C5，C6的具體表達(dá)式.因此，可得流體壓力作用下半封閉襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)解析解.

4 與已有解析結(jié)果對(duì)比分析

首先，將作者結(jié)果與一般單相黏彈性土中襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比.當(dāng)飽和黏彈性土體中流體密度ρf＝0時(shí)，土體中不含流體，退化為一般理想的黏彈性介質(zhì).取如下參數(shù)：

其余參數(shù)按式（28）取值，圖2表示不同襯砌厚度時(shí)分別給出了單相與飽和黏彈性土?xí)r襯砌響應(yīng)幅值的對(duì)比.圖2（a）反映軸對(duì)稱荷載作用下襯砌徑向位移幅值隨無(wú)量綱頻率的變化.在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，飽和黏彈性土中襯砌無(wú)量綱位移幅值的峰值明顯大于單相土?xí)r位移幅值的峰值，但隨著頻率的增加衰減較單相土?xí)r要快.同時(shí)，產(chǎn)生的共振效應(yīng)也越明顯，但基頻略小于單相土?xí)r共振效應(yīng)的基頻.圖2（b）反映軸對(duì)稱荷載作用下襯砌徑向應(yīng)力幅值隨頻率的變化曲線.可見(jiàn)，當(dāng)頻率小于1時(shí)，兩種土體時(shí)的襯砌結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)差異較小，而隨著頻率增加，特別是無(wú)量綱頻率在1～3時(shí)，飽和土?xí)r襯砌的應(yīng)力幅值大于單相土?xí)r的應(yīng)力幅值，當(dāng)頻率再增大時(shí)，兩者結(jié)果幾乎相同.

圖2 單相黏彈性土與飽和黏彈性土對(duì)比（軸對(duì)稱荷載）Fig.2 Comparison of single viscoelastic soil and satur ated viscoelastic soil

再次，將本文結(jié)果與文獻(xiàn)［10］進(jìn)行對(duì)比，該文獻(xiàn)假設(shè)襯砌為柔性，即彈性模量為零.又認(rèn)為襯砌厚度相對(duì)于隧洞半徑很小，不區(qū)分荷載是作用在襯砌內(nèi)邊界上還是外邊界上，即忽略了襯砌的厚度.為了與該文比較，令襯砌的剪切模量GL＝0，并采用文獻(xiàn)［10］的邊界條件.其余參數(shù)取值同式（28）.圖3分別給出了本文和劉干斌等［10］兩種解的土體徑向位移和孔隙水壓力隨頻率變化.由圖3（a）可見(jiàn)，軸對(duì)稱荷載作用下柔性襯砌時(shí)的土體徑向位移幅值的峰值明顯大于彈性襯砌條件下的位移幅值的峰值，基頻也要略大于劉干斌解的基頻.而孔壓也有較明顯差異，作者在低頻時(shí)的孔隙水壓力小于劉干斌等的孔壓幅值.隨著頻率增加，兩者差異不明顯（圖3（b））.

圖3 本文解與劉干斌解對(duì)比（軸對(duì)稱荷載）Fig.3 Comparison of solutions for this paper and Liu ganbin

最后，由于Ziekiewicz［13］提出了在低頻振動(dòng)時(shí)，忽略孔隙水的慣性效應(yīng)不會(huì)影響問(wèn)題的精度，而高頻振動(dòng)時(shí)會(huì)存在明顯差異.為了驗(yàn)證該結(jié)果，作者取流體慣性項(xiàng)為零，即ρfω2＝0.

取滲透系數(shù)k→0或k→∞，其余參考式（28）取值，圖4（a）和圖4（b）分別給出了高頻λ＝10和低頻λ＝0.1時(shí)土體徑向位移隨無(wú)量綱半徑的消散過(guò)程.可見(jiàn)，當(dāng)系統(tǒng)為高頻振動(dòng)時(shí)，無(wú)論襯砌與土體界面處透水還是不透水，忽略水的慣性效應(yīng)與考慮水的慣性效應(yīng)都存在較大差異.而當(dāng)系統(tǒng)為低頻振動(dòng)時(shí)，兩種情況幾乎完全相同，在圖中無(wú)法顯示.可見(jiàn)，該結(jié)果與Ziekiewicz的結(jié)果一致.

圖4 土體徑向位移隨半徑的消散（軸對(duì)稱荷載）Fig.4 Radial displacement amplitude of soil dissipate with the radius increasing

5 數(shù)值結(jié)果與分析

首先，考察k對(duì)襯砌徑向位移幅值和徑向應(yīng)力幅值的影響.參數(shù)取值見(jiàn)式（28），圖5～6反映分別在軸對(duì)稱荷載和流體壓力作用時(shí)滲透系數(shù)對(duì)襯砌的徑向位移幅值的影響.圖5中可見(jiàn)，隨著k的增加，襯砌的位移幅值逐漸減小.當(dāng)k＝0.1和不透水（k→0）時(shí)，襯砌的位移幅值很接近；當(dāng)k＝10和透水（k→∞）時(shí)兩者的襯砌位移幅值差異較小.這說(shuō)明滲透系數(shù)k＝0.1和k＝10時(shí)襯砌和土體界面處已將分別處于不透水和透水狀態(tài).隨著滲透系數(shù)的增加，響應(yīng)幅值明顯增大，透水情形下的響應(yīng)幅值明顯大于不透水情形下的響應(yīng)幅值.不透水時(shí)襯砌響應(yīng)幅值接近為零（圖6）.

其次，討論阻尼系數(shù) 對(duì)襯砌的徑向位移幅值的影響.圖7～8分別給出了軸對(duì)稱荷載和流體壓力作用時(shí)阻尼系數(shù)變化對(duì)襯砌徑向位移幅值的影響.可見(jiàn)，不管是荷載作用還是流體壓力作用，襯砌的阻尼系數(shù)對(duì)響應(yīng)幅值影響較弱.隨著阻尼系數(shù)的增加，響應(yīng)幅值略有減小，但在低頻時(shí)阻尼系數(shù)對(duì)響應(yīng)幅值幾乎無(wú)任何影響.

6 結(jié)論

作者推導(dǎo)了軸對(duì)稱荷載和流體壓力作用下飽和黏彈性地基中半封閉襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng).并分析了飽和土和襯砌各參數(shù)對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響，得到如下結(jié)論：

（1）軸對(duì)稱荷載作用下柔性襯砌時(shí)的土體位移幅值明顯大于彈性襯砌條件下的位移幅值，基頻也要略大于劉干斌解的基頻，而在低頻時(shí)的孔隙水壓力小于劉干斌等的孔壓幅值.

（2）軸對(duì)稱荷載作用時(shí)，相對(duì)滲透系數(shù)對(duì)襯砌的徑向位移幅值的影響較流體壓力作用時(shí)的響應(yīng)幅值明顯要小.隨著滲透系數(shù)的增加，軸對(duì)稱荷載作用時(shí)響應(yīng)幅值逐漸減小，而流體壓力作用時(shí)響應(yīng)幅值明顯增大.

（3）襯砌的黏滯阻尼系數(shù)對(duì)襯砌的徑向位移幅值影響較小，隨著阻尼系數(shù)的增加，響應(yīng)幅值略有減小.

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