一種基于時(shí)域響應(yīng)的預(yù)測控制算法的研究

蔣存波 張淑禎 陳俊達(dá) 蘇柱賓

(桂林理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院1，廣西 桂林 541004;桂林理工大學(xué)機(jī)械與控制工程學(xué)院2，廣西 桂林 541004)

0 引言

工業(yè)控制過程中，許多系統(tǒng)具有大滯后這一特性，運(yùn)用傳統(tǒng)的控制方法很難獲得滿意的控制效果。預(yù)測控制是一種在工業(yè)實(shí)踐過程中逐步發(fā)展起來的計(jì)算機(jī)控制算法［1］。該算法采用有限優(yōu)化窗口，大大減少了優(yōu)化計(jì)算量;采用滾動策略，在局部優(yōu)化的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了全局優(yōu)化;利用反饋校正，解決了系統(tǒng)干擾等不確定問題［2］。本文提出的基本思想是利用當(dāng)前和以往的采樣信息，以及在此前已經(jīng)輸出的控制信息，預(yù)測滯后N點(diǎn)之后系統(tǒng)的響應(yīng)輸出;同時(shí)按照一定的性能指標(biāo)，構(gòu)造當(dāng)前采樣時(shí)刻的控制器輸出信號，使系統(tǒng)的性能指標(biāo)最優(yōu)。

1 預(yù)測控制的基本算法

預(yù)測控制是一種基于模型的多變量的控制算法，其基本原理可以從預(yù)測控制算法的三個(gè)要素——模型預(yù)測、滾動優(yōu)化和反饋校正中體現(xiàn)出來［3］。預(yù)測控制算法的基本思路是通過對控制系統(tǒng)歷史行為的評估，實(shí)現(xiàn)對被控對象未來輸出的預(yù)測，從而預(yù)先采取一系列措施，使被控對象的輸出盡可能沿著設(shè)定的軌跡進(jìn)行調(diào)整。預(yù)測控制器原理框圖如圖1所示。

圖1 預(yù)測控制器原理框圖Fig.1 Principle of the predictive controller

圖1中:GC(s)為預(yù)測控制調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù);r為系統(tǒng)給定值;e為偏差信號;e=r－y;u為控制器的輸出控制信號;G(s)為包含實(shí)行機(jī)構(gòu)在內(nèi)的廣義被控對象的傳遞函數(shù);y為系統(tǒng)輸出。

調(diào)節(jié)器GC(s)對偏差e按所選擇的控制算法進(jìn)行運(yùn)算，產(chǎn)生的控制信號u通過執(zhí)行機(jī)構(gòu)作用于被控對象G(s)，使系統(tǒng)的輸出信號y滿足控制指標(biāo)要求［4］。預(yù)測控制器的設(shè)計(jì)目的是利用當(dāng)前及之前的激勵(lì)和響應(yīng)來預(yù)測今后某時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)，以便預(yù)先采取適當(dāng)?shù)目刂?，使系統(tǒng)在該控制信號產(chǎn)生控制作用時(shí)能夠滿足控制要求。

本文針對具有一階滯后特性的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測控制算法的研究，以具有此特性的電加熱系統(tǒng)為試驗(yàn)對象，完成了預(yù)測控制算法的推導(dǎo)和仿真測試。電加熱系統(tǒng)執(zhí)行環(huán)節(jié)為可控硅調(diào)功器(silicon controlled rectifier，SCR)，由于執(zhí)行環(huán)節(jié)的慣性和滯后時(shí)間遠(yuǎn)小于被控對象的慣性時(shí)間和滯后時(shí)間，故可將其看作一個(gè)增益為k2的比例環(huán)節(jié)［5－6］。電加熱驅(qū)動器與被控對象如圖2所示。

圖2 電加熱驅(qū)動器與被控對象示意圖Fig.2 Electric heating driver and the controlled object

圖2中:k2為執(zhí)行環(huán)節(jié)的增益;GO(s)為被控對象的傳遞函數(shù);kO為被控對象的比例系數(shù);θ為慣性時(shí)間常數(shù);τ為滯后時(shí)間。

式中:k=k2kO。

對于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，當(dāng)選擇采樣周期T=τ/N(或者N=τ/T)時(shí)，由于系統(tǒng)的滯后特性，第n個(gè)采樣周期產(chǎn)生的控制信號U(n)需要滯后N拍才影響輸出，而第n個(gè)采樣周期對系統(tǒng)產(chǎn)生作用的為U(n－N)。從第n個(gè)采樣時(shí)刻開始，激勵(lì)信號由第(n－1)采樣時(shí)刻的U(n－N－1)變?yōu)榈趎個(gè)周期的U(n－N)，系統(tǒng)進(jìn)入一個(gè)新的過渡過程。這個(gè)新過渡過程的初始條件為采樣值Y(n)，穩(wěn)態(tài)值為kU(n－N)，它的時(shí)域響應(yīng)可用下式描述:

式(2)描述的過渡過程實(shí)際只經(jīng)歷一個(gè)采樣周期時(shí)間t=T，就進(jìn)入第(n+1)個(gè)采樣時(shí)刻，第(n+1)個(gè)采樣值Y(n+1)就是式(2)描述的yn(t)在t=T時(shí)刻的值yn(T)。在第(n+1)周期，激勵(lì)信號由第n周期的U(n－N)變?yōu)閁(n－N+1)，而 Y(n+1)=yn(T)，系統(tǒng)又進(jìn)入一個(gè)新的過渡過程。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)通過在每一個(gè)采樣周期施加所需要的控制信號U(·)，不斷調(diào)整各采樣周期的過渡過程響應(yīng)曲線yn(t)，使系統(tǒng)的總響應(yīng)y(t)滿足對性能指標(biāo)的要求。本文的目的是利用已產(chǎn)生的但還未起作用的控制信號U(n－N+1)～U(n－1)和系統(tǒng)的特性來預(yù)測系統(tǒng)在當(dāng)前采樣點(diǎn)后y(t)的變化過程，從而確定第n個(gè)采樣周期的控制信號U(n)，使系統(tǒng)經(jīng)過U(n)的作用在第(n+N)周期結(jié)束時(shí)，系統(tǒng)偏差E(n+N)=r－yn+N(T)=r－Y(n+N+1)趨于零。

為了在第n個(gè)采樣時(shí)刻求出使系統(tǒng)在第(n+N)個(gè)周期的偏差E(n+N)=r－Y(n+N+1)=0的控制信號U(n)，需要對系統(tǒng)在第(n+1)～(n+N)采樣周期的輸出進(jìn)行預(yù)測，以獲得系統(tǒng)在第(n+1)～(n+N)之間的采樣信息的預(yù)測值。第(n+1)采樣時(shí)刻的輸出值就是式(2)中t=T時(shí)的值，故系統(tǒng)在第(n+1)采樣時(shí)刻輸出的預(yù)測值為:

第(n+1)周期的激勵(lì)為U(n－N+1)，輸出函數(shù)為:

第(n+m)個(gè)采樣周期時(shí)的輸出為:

式中:Y(n+m+1)為yn+m(t)在t=T時(shí)的值。

令m=N，可以得到:

1947年，吳努提出為了防止外來侵略，緬甸需要尋找好的盟友時(shí)，也告誡說盟友一旦找錯(cuò)，那會比外來侵略者更危險(xiǎn)。[41]英國、美國上述給緬甸帶來的這種不信任和經(jīng)濟(jì)軍事援助訴求的落差，部分印證了緬甸人的這種擔(dān)心，反向增加了緬甸同中國、蘇聯(lián)保持友好關(guān)系的動力。

對于階躍輸入信號r，偏差信號為:

通過U(n)的調(diào)整作用，使得系統(tǒng)在第(n+N)個(gè)采樣周期結(jié)束時(shí)輸出與期望值r的偏差為0。利用式(7)和式(8)可推導(dǎo)出滿足該要求的控制信號U(n)為:

應(yīng)用式(9)進(jìn)行預(yù)測控制，可以依據(jù)被控對象參數(shù)(對象的滯后時(shí)間τ、慣性時(shí)間常數(shù)θ、增益系數(shù)k=k2k0)和采樣周期T來確定式(9)中的三個(gè)參數(shù)(N、α和k)的值，或者通過試驗(yàn)方法確定N、α和k;另外還可以使用文獻(xiàn)［7］介紹的方法，利用當(dāng)前采樣點(diǎn)及其以前(N－1)點(diǎn)的采樣信息，通過在線參數(shù)辨識方法獲取對象的相關(guān)參數(shù)，并在線計(jì)算N、α和k值。

下文具體介紹控制算法的試驗(yàn)測試過程。

2 控制算法試驗(yàn)測試

2.1 仿真方法

以具有大滯后特性的一階大慣性系統(tǒng)為被控對象，用Matlab仿真研究在階躍輸入下預(yù)測控制算法時(shí)系統(tǒng)的控制性能，以及對象參數(shù)變化對控制性能的影響程度，從而評估預(yù)測控制算法在一階大慣性大滯后對象控制過程中的有效性［8－9］。取采樣周期T=0.1 s，仿真過程中，被控對象采用差分方程進(jìn)行描述，即:

式中:Y(n)為系統(tǒng)輸出響應(yīng);k2為執(zhí)行裝置的增益，kO為被控對象的增益系數(shù)，k2、kO∈［0.1 ～30］;U(n －N)為控制器的輸出控制信號;慣性時(shí)間θ取值區(qū)間為1～1000s;系統(tǒng)滯后時(shí)間τ的取值范圍為1～500s。

在實(shí)際系統(tǒng)中，實(shí)際溫度的測量值在系統(tǒng)理想輸出Y(n)的基礎(chǔ)上疊加了噪聲ε(n)，用YC(n)表示采樣(或叫測量)值，即YC(n)=Y(n)+ε(n)。仿真時(shí)，利用一個(gè)Randn隨機(jī)函數(shù)作為噪聲源ε(n)。為了減少干擾和測量噪聲的影響，對測量值YC(n)進(jìn)行遞推平均值濾波［10］，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

式中:YT(n)為經(jīng)過濾波處理后的第n個(gè)采樣信號;YC(n)為第n個(gè)采樣信號;YT(n－i)(i=1～7)為前7個(gè)采樣點(diǎn)經(jīng)過濾波的采樣信號。

2.2 仿真結(jié)果

當(dāng)階躍激勵(lì)信號r=200、采樣周期T=0.1 s時(shí)，對已知參數(shù)的被控對象，可利用該預(yù)測控制算法進(jìn)行控制，獲得的控制性能仿真試驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3(a)中，對象滯后時(shí)間變化導(dǎo)致響應(yīng)曲線在時(shí)間軸上平移，系統(tǒng)增益系數(shù)和慣性時(shí)間變化僅影響曲線的上升時(shí)間，增大系統(tǒng)增益k(主要是增大執(zhí)行機(jī)構(gòu)的增益k2)可以縮短上升時(shí)間。因此，無噪聲時(shí)式(9)描述的預(yù)測控制具有理想的控制效果。

圖3(b)中的曲線①為利用有噪測量信號進(jìn)行預(yù)測控制的結(jié)果，曲線②為加入了噪聲的測量信號。由于受測量噪聲的影響，輸出出現(xiàn)明顯的波動。

圖3(c)中的曲線②是在有噪聲情況下經(jīng)過遞推平均值濾波算法處理后的測量信號，對應(yīng)的曲線①是利用濾波后的測量值進(jìn)行預(yù)測控制的響應(yīng)曲線。

式(9)描述的預(yù)測控制算法中的α、N和k由被控對象參數(shù)(θ、τ和總增益k)值確定，這表明對象參數(shù)變化對預(yù)測控制效果可能會產(chǎn)生影響。利用在運(yùn)行過程中分別改變(增大或減小)被控對象參數(shù)值而獲得的仿真曲線來研究這些參數(shù)變化對預(yù)測控制效果的影響，如圖3(d)和3(e)所示。系統(tǒng)滯后時(shí)間改變后輸出產(chǎn)生小幅波動，經(jīng)過短暫時(shí)間后系統(tǒng)又恢復(fù)穩(wěn)定，說明滯后時(shí)間τ的變化對預(yù)測控制效果影響不大。

圖3(e)反映的是對象慣性時(shí)間常數(shù)θ和增益k分別變化時(shí)對預(yù)測控制效果的影響。曲線①和曲線②是不同設(shè)定值時(shí)，慣性時(shí)間增大到原來的2倍和減小到1/2時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。在參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，輸出產(chǎn)生波動，但很快恢復(fù)穩(wěn)定。圖3(e)中的曲線①和曲線②結(jié)合圖3(a)表明了慣性時(shí)間常數(shù)除影響上升時(shí)間和引起短暫波動外，對穩(wěn)態(tài)特性基本沒有影響。圖3(e)中曲線③和曲線④是增益變化的響應(yīng)曲線。

圖3 預(yù)測算法仿真測試曲線Fig.3 The simulation curves of prediction algorithm

通過仿真測試，表明式(9)描述的預(yù)測控制算法具有較理想的控制效果。在穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)下，對象滯后時(shí)間和慣性時(shí)間常數(shù)變化對響應(yīng)有輕度影響，但輸出會很快恢復(fù)。增益在±20%內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)短時(shí)超差且能恢復(fù)，但過大的增益變化會導(dǎo)致性能變差甚至導(dǎo)致系統(tǒng)無法穩(wěn)定運(yùn)行。通過調(diào)整預(yù)測算法中的系數(shù)k，可以適應(yīng)對象的增益變化，利用滑動平均值濾波，可減小測量噪聲對控制性能的影響。

3 結(jié)束語

本文提出的基于時(shí)域的預(yù)測控制算法，對具有大滯后特性的一階系統(tǒng)具有較好的階躍響應(yīng)性能。純滯后時(shí)間和慣性時(shí)間常數(shù)變化對閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的滯后特性和上升時(shí)間有影響，但對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制性能和超調(diào)量影響小。這表明該控制算法對被控對象慣性時(shí)間常數(shù)和滯后時(shí)間的變化有較好的適應(yīng)性。對象增益變化對控制性能有較大影響，當(dāng)增益變化不超過±20%時(shí)，輸出雖出現(xiàn)較大幅度波動，但能較快恢復(fù)穩(wěn)定。增益變化過大時(shí)輸出將難以恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行，通過調(diào)整預(yù)測控制算法中的系數(shù)k，就能較方便地適應(yīng)對象增益的變化。

仿真試驗(yàn)表明，該預(yù)測控制方法控制性能良好、計(jì)算簡單、魯棒性強(qiáng)、抑制干擾能力好。該算法針對已知參數(shù)的一階滯后對象進(jìn)行推導(dǎo)和試驗(yàn)，對于二階對象或未知參數(shù)的控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)有待進(jìn)一步探討研究，預(yù)計(jì)在工業(yè)控制領(lǐng)域?qū)休^好的應(yīng)用前景。

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