擺式陀螺尋北儀快速尋北的時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法

周召發(fā)，常振軍，張志利

（1.西北工業(yè)大學(xué)，陜西 西安 710072；2.第二炮兵工程大學(xué)，陜西 西安 710025）

0 引言

陀螺尋北儀是近些年來(lái)興起的常用定向儀器，其中的擺式陀螺尋北儀在航空、航天、探測(cè)、隧道、軍事等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［1］。實(shí)際應(yīng)用中，如導(dǎo)彈無(wú)依托快速發(fā)射，要求在保證精度前提下盡量縮短尋北時(shí)間，所以研究如何在較短的擺動(dòng)過程中實(shí)現(xiàn)快速尋北具有重要應(yīng)用價(jià)值。常用的尋北方法是粗尋北階段利用磁敏感器確定大致北向方位，架設(shè)陀螺經(jīng)緯儀，然后采用步進(jìn)迭代法，在逆轉(zhuǎn)點(diǎn)處改變扭力零位，逐步靠向真北；精尋北階段采用逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法、時(shí)差法、中天法、積分法等，利用了擺動(dòng)曲線的一些特殊點(diǎn)位信息尋得真北方向［2－3］。常用粗尋北過程中的磁方位法容易受到環(huán)境磁場(chǎng)影響，精度不高，即使與步進(jìn)迭代法配合也只能達(dá)到角分量級(jí)的精度。文獻(xiàn)［4］針對(duì)磁方位法的不足提出一種利用磁懸浮軸承檢測(cè)陀螺力矩的粗尋北方法，有效縮短了尋北時(shí)間。本文提出一種新的快速尋北方法，即時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法，結(jié)合時(shí)差法和逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法對(duì)擺動(dòng)曲線的分析。

1 擺式陀螺尋北

為了建立陀螺儀運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，求解陀螺儀轉(zhuǎn)子軸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，我們首先建立如下坐標(biāo)系［5］：慣性系；平動(dòng)系Oξηζ；定向系（Oξ0η0ζ0）：以地球自轉(zhuǎn)角速度ωe相對(duì)平動(dòng)系Oξηζ轉(zhuǎn)動(dòng)；萊沙爾系（Oxyz）：轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系。

萊沙爾系Oxyz的方位由定向系Oξ0η0ζ0二次轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到，見圖1。

圖1 坐標(biāo)系變換Fig.1 Relationship of coordinates

相應(yīng)的變換矩陣為：

由坐標(biāo)系變換關(guān)系知，萊沙爾系對(duì)平動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為：

由動(dòng)量矩定理可得：

只考慮重力矩MP＝－mglsinβ的影響及式（1）代入得到運(yùn)動(dòng)方程：

簡(jiǎn)化整理為：

以上通過運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)出周期T的計(jì)算公式，代入下文建立的時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法模型可解算出真北方向。

2 時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法

2.1 時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法原理

通過前面的分析可知，實(shí)際的擺動(dòng)曲線是一個(gè)很扁的橢圓，可以認(rèn)為是一條垂直于子午面作簡(jiǎn)諧振蕩的直線，以時(shí)間為橫軸可以得到一條正弦曲線。針對(duì)測(cè)量到的這條曲線，有很多尋北方法，本文涉及到兩種：時(shí)差法由中天法演繹而來(lái)，通過測(cè)量與零刻線相對(duì)稱的兩刻劃線在陀螺靈敏部通過的時(shí)間，求出陀螺真北方向，屬于照準(zhǔn)部固定狀態(tài)下的有扭觀測(cè)；逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法通過跟蹤擺動(dòng)的指標(biāo)線，讀取到達(dá)東西兩個(gè)逆轉(zhuǎn)點(diǎn)時(shí)度盤上讀數(shù)，求出中間平衡位置，即真北方向。二者都至少需要一個(gè)周期左右的測(cè)量時(shí)間才能保證精度。

時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法結(jié)合這兩種尋北方法，利用陀螺運(yùn)動(dòng)到一側(cè)限位塊后擺出，在出現(xiàn)逆轉(zhuǎn)點(diǎn)后未出現(xiàn)速度最大值點(diǎn)及過零點(diǎn)就又靠到同側(cè)限位塊這個(gè)過程的角度信息，見圖2，通過解算得到擺動(dòng)平衡位置，具體原理如下。

1）由于限幅措施，陀螺只能在 （－αmax，αmax）的范圍內(nèi)擺動(dòng)，α2為靠近－αmax的設(shè)定值，也可取α2＝－αmax，可得出正弦曲線的峰值：

2）由式（4）可得：

式（5）中，Δα＝α1－α2，Δt＝t2－t1。

3）則時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法計(jì)算的擺動(dòng)中心為：

式（6）中，βmax為靠向限位塊的讀數(shù)，α1、α2分別為t1、t2時(shí)刻的擺幅值，－αmax為反向擺幅最大值，αm為初始擺幅，擺動(dòng)周期T按式（3）獲得。

圖2 時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法原理Fig.2 Theory of time difference and reversing point method

2.2 時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法步驟

具體步驟如下：

1）將地球自轉(zhuǎn)速、緯度、陀螺儀參數(shù)代入周期公式（3），求得擺動(dòng)周期。

2）測(cè)量逆轉(zhuǎn)點(diǎn)及靠近限位塊附近某點(diǎn)的時(shí)刻與擺角，利用式（5）解出振蕩曲線的擺幅。

3）將測(cè)得的角度與時(shí)刻代入時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法模型即式（6），求出擺動(dòng)平衡位置。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

粗尋北作為精尋北的鋪墊，有一定的精度要求，而且在快速定向的發(fā)展趨勢(shì)下，測(cè)量時(shí)間要盡可能短。時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法充分利用了半個(gè)周期以內(nèi)曲線的信息量，測(cè)量上述三個(gè)點(diǎn)位的時(shí)刻與擺幅，結(jié)合地球自轉(zhuǎn)角速度、緯度、陀螺角動(dòng)量等參數(shù)解出周期，最后代入公式求出擺動(dòng)中心位置。

實(shí)驗(yàn)過程中，為了與傳統(tǒng)尋北方法比較精度，首先在實(shí)驗(yàn)室條件下預(yù)先利用方位傳遞確定了大致真北，即粗測(cè)真北，而后采用逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法和中天法精尋北，結(jié)果如表1所示，精尋北階段測(cè)量時(shí)間約230s，精度約15″；然后直接使用時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法，得到的精度雖不如前兩者高，但優(yōu)于一般粗尋北方法（角分量級(jí)），且尋北時(shí)間縮短至90s，綜合考慮，可以將此法作為粗尋北手段。最后利用時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法粗尋北，結(jié)合積分法精尋北，在7min內(nèi)精度提高至7″。

表1 尋北測(cè)量結(jié)果Tab.1 The result of north－seeking testing

4 結(jié)論

本文提出一種擺式陀螺尋北儀快速尋北的時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法。首先計(jì)算擺動(dòng)周期，然后測(cè)量逆轉(zhuǎn)點(diǎn)及靠近限位塊附近某點(diǎn)的擺角與時(shí)刻計(jì)算振蕩曲線的擺幅，最后計(jì)算出擺動(dòng)中心。實(shí)驗(yàn)表明：時(shí)差逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法更加充分地利用了擺動(dòng)曲線的信息量，測(cè)量半個(gè)尋北周期內(nèi)的相關(guān)點(diǎn)點(diǎn)位信息，解算出最后的擺動(dòng)平衡位置，測(cè)量時(shí)間短，精度優(yōu)于一般粗尋北方法，作為粗尋北手段，結(jié)合積分法等精尋北方法，能夠得到更高的尋北精度。

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