基于特征值矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)算法

趙春暉，馬 爽，成寶芝

哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱，150001

頻譜感知技術(shù)是認(rèn)知無(wú)線電的關(guān)鍵技術(shù)，可確保認(rèn)知用戶不干擾授權(quán)用戶的正常通信.同時(shí)，該技術(shù)可靠的感知可為認(rèn)知用戶創(chuàng)造更多占用空閑頻譜資源的機(jī)會(huì)，從而使認(rèn)知用戶實(shí)現(xiàn)通信.目前，頻譜感知技術(shù)一般包括匹配濾波檢測(cè)［1］、能量檢測(cè)［2］、循環(huán)統(tǒng)計(jì)量檢測(cè)［3］和基于以上3種技術(shù)的合作檢測(cè)［4-5］.能量檢測(cè)方法簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，只需測(cè)量頻域或時(shí)域上一段觀測(cè)空間內(nèi)接收信號(hào)的總能量并判決是否出現(xiàn)授權(quán)用戶，接收機(jī)無(wú)需信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí).然而，能量檢測(cè)無(wú)法區(qū)分主用戶信號(hào)、二級(jí)用戶信號(hào)和干擾.循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)可在不需任何噪聲先驗(yàn)知識(shí)的情況下，通過(guò)不同的循環(huán)頻率區(qū)分信號(hào)，進(jìn)而在較低信噪比時(shí)仍能達(dá)到可靠地檢測(cè)性能［6-7］.本研究通過(guò)分析循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算過(guò)程發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)正交變換，使信號(hào)的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)向量正交化，信號(hào)之間的相關(guān)信息未得到充分利用，信息有一定損失.本研究改進(jìn)了統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法，提出基于特征值矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè).

1 循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)

通信信號(hào)具有循環(huán)平穩(wěn)特性，高斯噪聲不具有循環(huán)平穩(wěn)特性.根據(jù)這一特點(diǎn)，Lunden等［3］提出循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)方法.文獻(xiàn) ［8］提出了多循環(huán)頻率的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)算法.循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)為

其中，x(t)是接收信號(hào);t是采樣時(shí)間;M是采樣值個(gè)數(shù);(*)代表取復(fù)共軛.xx(*)(α)是1×2N的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)估計(jì)向量，由不同循環(huán)頻率的實(shí)部和虛部組成，即

其中，N為延遲個(gè)數(shù);Re為取實(shí)部;Im為取虛部.為檢驗(yàn)在某一頻率上是否具有二階循環(huán)平穩(wěn)特性，假設(shè)

其中，rxx(*)是循環(huán)自相關(guān)函數(shù)向量非隨機(jī)真值;εxx(*)為估計(jì)誤差，通常假設(shè)其服從正態(tài)分布.

這里，∑xx(*)是2N×2N的xx(*)協(xié)方差矩陣.

根據(jù)廣義似然比檢驗(yàn)，得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

2 基于特征值矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)

2.1 統(tǒng)計(jì)量分析

由式(3)可知，循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)存在誤差，則式(3)可表示為

其中，ε1為高斯噪聲的循環(huán)自相關(guān)函數(shù);ε2為信號(hào)與噪聲的交叉項(xiàng);r為信號(hào)的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)真值.

理論上，由于高斯噪聲是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，當(dāng)循環(huán)頻率α≠0時(shí)，ε1應(yīng)為0.又因?yàn)樾盘?hào)與噪聲獨(dú)立，因此ε2也為0.實(shí)際中，由于信號(hào)長(zhǎng)度有限，ε1和ε2并不為0.因此，估計(jì)誤差將會(huì)影響統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算.

此時(shí)，Λ =diag(λ1，λ2，…，λ2N).其中，P 是由對(duì)稱(chēng)矩陣xx(*)的特征向量組成的正交矩陣;Λ是由2N個(gè)xx(*)的特征值組成的對(duì)角陣.由此，循環(huán)統(tǒng)計(jì)量公式可化為

由于P是正交矩陣，所以P-1=PT，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也可表示為

表1 協(xié)方差矩陣的特征值Table1 Covariance matrix eigenvalues

最后，從統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式角度來(lái)看，經(jīng)典的循環(huán)統(tǒng)計(jì)量算法，如式(5)，實(shí)質(zhì)是二次型計(jì)算，循環(huán)自相關(guān)函數(shù)向量的協(xié)方差矩陣估計(jì)xx(*)的逆矩陣可作為二次型的系數(shù)矩陣.從二次型的結(jié)構(gòu)可見(jiàn)，由于二次型的系數(shù)矩陣為協(xié)方差矩陣的逆矩陣，相關(guān)性強(qiáng)的兩項(xiàng)的乘積系數(shù)反而更小.因此，統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算實(shí)質(zhì)是突出了不相關(guān).為進(jìn)一步突出不相關(guān)，可將協(xié)方差矩陣對(duì)角化，使協(xié)方差矩陣的能量都集中在主對(duì)角線上，相關(guān)性強(qiáng)的兩項(xiàng)乘積系數(shù)將更小.

2.2 基于特征值矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)

綜上所述，本研究提出基于循環(huán)自相關(guān)向量的協(xié)方差矩陣的特征值矩陣的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方法，用協(xié)方差矩陣的特征值矩陣代替原有的協(xié)方差矩陣.該特征值矩陣不但使信號(hào)的信息更集中，且不含正交矩陣，因此可保留循環(huán)自相關(guān)函數(shù)向量之間的所有信息，使得信號(hào)的相關(guān)信息在循環(huán)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算過(guò)程中得到充分利用.本研究提出的循環(huán)統(tǒng)計(jì)量公式為

為采用恒虛警概率檢測(cè)方法，需判斷統(tǒng)計(jì)量在H0下服從什么分布.在H0的假設(shè)下，估計(jì)誤差向量只包含高斯噪聲的循環(huán)自相關(guān)向量ε1.當(dāng)噪聲是均值為零的高斯白噪聲時(shí)，采樣值互不相關(guān)，所以近似協(xié)方差矩陣為對(duì)角陣.此時(shí)，協(xié)方差矩陣可為

因此，在H0下，基于特征值矩陣的統(tǒng)計(jì)量與原循環(huán)統(tǒng)計(jì)量相同，且服從自由度為2N的卡方分布，即

綜上所述，計(jì)算基于特征值矩陣的循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的方法為:首先，根據(jù)式(12)計(jì)算T'xx(*);然后，根據(jù)式(15)確定判決門(mén)限λ，使虛警概率滿足Pf;最后，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量T'xx(*)與門(mén)限λ的關(guān)系，判決信號(hào)是否存在.

2.3 定性比較兩種循環(huán)統(tǒng)計(jì)量

為比較兩種循環(huán)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方法，本研究比較了兩種統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)意義上的大小.

設(shè)二次型為Y=rTAr，其中 r為高斯隨機(jī)向量，其對(duì)角化為其中，λk為二次型矩陣的某個(gè)特征值;mk為該特征值的重復(fù)度;此時(shí)，二次型的數(shù)學(xué)期望［9］為

根據(jù)式(16)分別計(jì)算兩種循環(huán)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方法(式(5)和式(12))的數(shù)學(xué)期望.為便于推導(dǎo)，設(shè)協(xié)方差矩陣∑xx(*)的特征值各不相同，則mk=0.此時(shí)，兩種統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式的數(shù)學(xué)期望為(將期望公式中的系數(shù)1/2省略)

其中，λ=［λ1λ2… λ2N］為協(xié)方差矩陣所有特征值構(gòu)成的行向量;r=［r1r2…r2N］為循環(huán)自相關(guān)函數(shù)構(gòu)成的行向量;L=rP=［l1l2…l2N］為循環(huán)自相關(guān)函數(shù)向量經(jīng)過(guò)正交變換后的向量;L2=Ldiag(L)為向量L線性變換后的向量;r2=rdiag(r)為向量r線性變換后的向量;符號(hào)表示向量長(zhǎng)度.

由式(17)和式(18)可知，循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望可表示成向量?jī)?nèi)積形式.向量?jī)?nèi)積(a，b)的幾何意義為:向量a的長(zhǎng)度乘以向量b在a上的投影的長(zhǎng)度.式(17)和式(18)的空間關(guān)系如圖1.若比較兩種統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望，則要比較L2與r2在λ上的投影長(zhǎng)度.而L2與r2分別由L與r通過(guò)線性變換得到，即向量角度的旋轉(zhuǎn)和長(zhǎng)度的縮放.在信噪比較低時(shí)信號(hào)幅度較小，計(jì)算得到的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)向量較小，因L與r的長(zhǎng)度不變，得L2＜.因此，L2在λ方向上的投影小于r2在λ方向上的投影.綜上所述，E(T)＜E(T').因此，基于特征值矩陣的循環(huán)統(tǒng)計(jì)量在統(tǒng)計(jì)意義上優(yōu)于經(jīng)典的循環(huán)統(tǒng)計(jì)量.

圖1 向量之間的關(guān)系Fig.1 Vector relationship

2.4 計(jì)算復(fù)雜度分析

循環(huán)平穩(wěn)特征檢測(cè)的一個(gè)缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度高，基于特征值矩陣的循環(huán)平穩(wěn)特征檢測(cè)方法可降低計(jì)算復(fù)雜度.下面我們將比較兩種計(jì)算循環(huán)統(tǒng)計(jì)量方法的復(fù)雜度.比較式(5)和式(12)，因系數(shù)M對(duì)于計(jì)算復(fù)雜度的比較無(wú)影響，所以只考慮向量矩陣之間的運(yùn)算.式(12)和式(5)各自所需加法及乘法的次數(shù)如表2.

此外，求矩陣的特征值最有效和可靠的算法是QR(quadrature right-triangle)算法，其計(jì)算量［10］為4/3×n3.因?yàn)檠h(huán)統(tǒng)計(jì)量中的求逆運(yùn)算為偽逆，而求矩陣偽逆采用初等變換法的計(jì)算量［11］為10/3×n3.其中，n為矩陣的維數(shù)，所以求矩陣特征值要比求矩陣偽逆計(jì)算簡(jiǎn)單.用Matlab軟件計(jì)算得到協(xié)方差矩陣特征值和偽逆的運(yùn)行時(shí)間分別為1.132 2×10-4s和0.033 8 s.因此，基于特征矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)算法比經(jīng)典的循環(huán)平穩(wěn)特征檢測(cè)算法計(jì)算更簡(jiǎn)單，從而降低了循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算復(fù)雜度.

表2 計(jì)算復(fù)雜度比較Table2 The comparison of computational complexity

2.5 多循環(huán)求和循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)

由于不同循環(huán)頻率的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)是近似不相關(guān)的，可推得基于特征值矩陣的多循環(huán)頻率求和檢測(cè)器的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為［6］

其中，Tm為采用多循環(huán)頻率時(shí)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量的分布在H0假設(shè)下保持不變，服從卡方分布，自由度為2NNα，Nα是循環(huán)頻率的個(gè)數(shù).

3 仿真性能分析

設(shè)待測(cè)的主用戶信號(hào)是基帶OFDM信號(hào)，表示為［6］

其中，Nc是載波個(gè)數(shù);Ts=Td+Tcp是符號(hào)長(zhǎng)度，Td為有用符號(hào)的長(zhǎng)度，Tcp是循環(huán)前綴的長(zhǎng)度;g(t)表示長(zhǎng)度為T(mén)s的矩形窗;cnl是數(shù)據(jù)符號(hào).仿真中使用的循環(huán)頻率是1/Ts和2/Ts，檢測(cè)器的時(shí)間延遲為±Td.循環(huán)譜估計(jì)中使用的是長(zhǎng)度為61，β是參數(shù)為10的Kaiser窗，信號(hào)總長(zhǎng)度為125個(gè)OFDM符號(hào).信噪比(signal to noise ratio，SNR)定義為 γ=10lg(σ2x/σ2n)，其中σ2x和σ2n分別是發(fā)射信號(hào)和噪聲的方差.仿真采用蒙特卡羅試驗(yàn)，圖2～圖8中的曲線都是由500次試驗(yàn)平均而得.

首先，在高斯白噪聲下，比較經(jīng)典的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)方法和基于特征矩陣的循環(huán)檢測(cè)方法的性能，描述檢測(cè)概率pd和γ的關(guān)系.

圖2描述了在虛警概率pf=0.01時(shí)的兩種檢測(cè)方法的檢測(cè)概率的比較結(jié)果.其中，MY表示基于特征矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)的檢測(cè)結(jié)果;Cycle表示經(jīng)典循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)的檢測(cè)結(jié)果.由圖2可知，基于特征值矩陣的檢測(cè)概率比經(jīng)典循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)方法在低信噪比時(shí)有所提高.為證明此方法對(duì)于其他虛警概率依然具有良好的性能，表3給出了在不同虛警概率時(shí)仿真得到的檢測(cè)概率比較結(jié)果.其中，檢測(cè)概率1是經(jīng)典循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)方法下的檢測(cè)概率，檢測(cè)概率2是基于特征矩陣循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)的檢測(cè)概率.

圖2 單循環(huán)頻率的檢測(cè)概率與信噪比的關(guān)系Fig.2 Relationship between probability of detection and SNR

為驗(yàn)證基于特征值矩陣循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)算法在多循環(huán)頻率時(shí)依然適用.圖3描述了兩種檢測(cè)方法在兩個(gè)循環(huán)頻率時(shí)的檢測(cè)結(jié)果.其中，Two-Cycle是經(jīng)典算法使用兩個(gè)循環(huán)頻率的檢測(cè)結(jié)果;MY指基于特征值矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)算法使用兩個(gè)循環(huán)頻率時(shí)的檢測(cè)結(jié)果.由圖3可知，在多循環(huán)頻率下，基于特征值矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)算法優(yōu)于經(jīng)典的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè).

表3 兩種檢測(cè)方法在不同虛警概率時(shí)的檢測(cè)概率的比較Table3 The comparison of probability of detection with different probability of false alarm

圖3 兩種方法使用多循環(huán)頻率時(shí)檢測(cè)概率與SNR的關(guān)系Fig.3 Comparison of probability of detection between two methods

由于無(wú)線環(huán)境是實(shí)時(shí)變化的，因此噪聲具有不確定性.為驗(yàn)證基于特征矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)對(duì)噪聲是不敏感的，圖4和圖5比較了當(dāng)噪聲存在0.170 3 dB的不確定時(shí)的兩種方法檢測(cè)結(jié)果.由圖4和圖5可知，當(dāng)噪聲存在不確定時(shí)，檢測(cè)性能不受影響.因此，循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)對(duì)噪聲是不敏感的.圖4表明，當(dāng)噪聲存在不確定時(shí)，基于特征矩陣的檢測(cè)性能優(yōu)于經(jīng)典循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)方法.比較圖2和圖4可知，噪聲存在不確定時(shí)，檢測(cè)概率并沒(méi)有下降.圖5描述兩種方法在噪聲存在不確定時(shí)采用多循環(huán)頻率的檢測(cè)結(jié)果.

圖4 在噪聲存在不確定時(shí)單循環(huán)頻率檢測(cè)概率的比較Fig.4 Relationship between probability of detection and SNR with noise uncertainty

圖5 噪聲存在不確定時(shí)兩種檢測(cè)方法使用多循環(huán)頻率的檢測(cè)結(jié)果的比較Fig.5 Comparison of detection probability between the two methods with noise uncertainty

結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)分析經(jīng)典循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)算法發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的過(guò)程中，循環(huán)自相關(guān)函數(shù)向量被正交化，各元素之間的相關(guān)性被消除，因此原始信號(hào)的信息在統(tǒng)計(jì)量計(jì)算過(guò)程中有一定損失.因此，本文改進(jìn)了循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法，提出基于特征值矩陣的循環(huán)平穩(wěn)特征檢測(cè).仿真結(jié)果表明，在高斯白噪聲背景下，無(wú)論噪聲是否存在不確定，基于特征值矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)方法的檢測(cè)性能優(yōu)于經(jīng)典的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)方法.此外，基于特征矩陣的循環(huán)平穩(wěn)檢測(cè)算法降低了計(jì)算復(fù)雜度.

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