一類具有尺度分布的捕食系統(tǒng)模型的定性分析

王啟民，何澤榮，江曉東

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院運(yùn)籌與控制研究所，浙江杭州310018)

0 引言

種群是生態(tài)學(xué)研究的重要單元，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，積累了豐富的成果。就尺度分布模型而言，連續(xù)模型較多［1-3］，離散模型較少［4］。自從提出種群的離散模型并詳細(xì)分析了種群的穩(wěn)定分布后，一些研究者嘗試從離散角度來(lái)研究種群的動(dòng)力學(xué)行為［4］。本文應(yīng)用差分逼近法研究模型非負(fù)解的存在性問(wèn)題，為其應(yīng)用打好基礎(chǔ)。

1 模型

本文提出下列模型:

式中，a1〈x 〈b2，0 〈t〈T，m=1，2，pm(x，t)，gm(x，t)，βm(x，t)，μm(x，t)，λm(x，t)，ωm(x，t)，φm(x)，Pm(t)分別表示食餌和捕食者種群個(gè)體尺度密度，增長(zhǎng)率，繁殖率，死亡率，相互作用因子，權(quán)重函數(shù)，初始密度，加權(quán)總量。

2 先驗(yàn)估計(jì)

引理1 如果 ωm(x，t)，m=1，2，在 Q 上有界，則 Pm(t)在［0，T］上有界。

3 解的存在性

本節(jié)應(yīng)用差分逼近法證明式1解的存在性。對(duì)于 m=1，2給出下列基本假設(shè):(1)βm(x，t)，μm(x，t)，λm(x，t)，ωm(x，t)是關(guān)于 x，t的非負(fù)連續(xù)可微函數(shù)，(x，t)∈Q，并且為常數(shù)，滿足2g b×[μm(x，t)-λm(x，t)Pm(t)]≥0;()m(x，t)是關(guān)于 x，t的連續(xù)可微函數(shù)，gm(x，t)〉0，x∈[a，)[0 ，T]，gm(b，t)=0;(3) 對(duì)于充分小δ 〉0〈 + ∞;(4)φm(x)∈BV[a，b]，φm(x)≥0，滿足 gm(am，0)φm(am)=

式中，j=0，1，2，…，n，k=0，1，2，…，L-1，m=1，2，pm，k△x，定義)T，則式 1 可等價(jià)寫成下面的系統(tǒng)方程:

可以看出式3存在唯一一組非負(fù)解。

引理2 假設(shè) Δt滿足 w1mΔt〈1，對(duì)于 m=1，2，有‖‖1≤ (1 -Δ t)-k‖pm，0‖1。

證明 在式2的第一個(gè)方程兩端分別乘以Δx，對(duì)j=1，2，…，n求和得到:因此

定理1 由引理6所定義的極限函數(shù)p1(x，t)，p2(x，t)是式1的解。

證明 令φ(x，t)∈ C1(Q)，記φ (xj，tk)。則有Δt。取極限 n→∞，L→∞知 pm(x，t)滿足解的定義。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在提出一類具有尺度分布的食餌-捕食者種群系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，首先證明了模型解的有界性，然后對(duì)模型進(jìn)行離散化，應(yīng)用差分逼近方法及文獻(xiàn)5相關(guān)結(jié)論進(jìn)一步研究了模型非負(fù)解的存在性。

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