宇宙加速膨脹的修正引力理論解釋

胡永紅，毛彩霞

(咸寧學(xué)院核工程與技術(shù)學(xué)院，湖北 咸寧 437100)

天文實(shí)驗(yàn)的觀測數(shù)據(jù)及其分析表明宇宙在加速膨脹[1-4].通過對(duì)這些數(shù)據(jù)的綜合分析得出結(jié)論：目前的宇宙是平坦的，幾乎70%的物質(zhì)以奇異的暗能量形式存在，但至今還沒有一個(gè)有說服力的理論能解釋該現(xiàn)象. 加速效應(yīng)最簡單的解釋是在愛因斯坦引力場方程中引入宇宙常數(shù)，它的擬合值太小，目前尚缺乏有效的物理機(jī)制來解釋. 通常由與引力最小耦合的標(biāo)量場來解釋暗能量，但這些模型都不完善，存在嚴(yán)重缺陷，至今還沒有找到這類標(biāo)量場的物理候選者[5-6]. 當(dāng)基于廣義相對(duì)論的標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型預(yù)言了暗能量的存在，而粒子物理又不能提供具有說服力的暗能量候選者時(shí)，有理由懷疑廣義相對(duì)論也許并不是普遍的引力理論. 原則上說，加速效應(yīng)的出現(xiàn)是某種未知物理過程的結(jié)果，在得到肯定的答案之前，并不能排除引力修正的可能性. 如果假設(shè)真空沒有引力效應(yīng)，那么一種極有吸引力的可能是，愛因斯坦廣義相對(duì)論(EGR)是更基礎(chǔ)的引力理論在局部的近似，這類理論統(tǒng)稱為擴(kuò)展引力理論，它有可能解釋宇宙的膨脹和加速膨脹[7].

愛因斯坦廣義相對(duì)論(EGR)的作用量形式由希爾伯特給出[8]. Weyl等是第一批考慮修正引力的科學(xué)家. 最近，考慮了string/M理論修正的計(jì)算表明，經(jīng)典的引力作用量除容納了曲率不變量的高階修正外，還擁有曲率不變量的負(fù)冪率修正. 這樣的結(jié)果通常認(rèn)為是需要對(duì)引力理論進(jìn)行修正的理論依據(jù). 過去二十年的觀測證據(jù)表明，標(biāo)準(zhǔn)的廣義相對(duì)論如果不引入人為的修正假設(shè)，也不能解釋當(dāng)前低能宇宙的關(guān)鍵特征. 一般來說，如果確定了一個(gè)物理系統(tǒng)的拉格朗日密度，通過最小作用量原理，能唯一地導(dǎo)出該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，但修正的引力理論卻是一個(gè)爭議極大的例外. 對(duì)引力的變分方式存在度規(guī)形式(標(biāo)準(zhǔn)形式)和Palatini形式兩種. 對(duì)于線性的拉氏密度，則兩種變分方式導(dǎo)致相同的引力場方程. 但對(duì)于非線性的拉氏密度，二者將導(dǎo)致截然不同的場方程. 與度規(guī)變分得到四階微分方程完全不同，Palatini變分得到的是二階微分方程，相對(duì)而言比較容易駕馭，易于與其它領(lǐng)域調(diào)和. 在真空條件下，這類場方程的解與含宇宙常數(shù)的愛因斯坦場方程的解相同. 目前， 還沒有一個(gè)真正的判據(jù)來確定到底哪一種變分更好. 從度規(guī)形式所遇到的困難看，Palatini變分似乎更有吸引力. 本文中構(gòu)造Einstein-Hilbert作用量，進(jìn)行Palatini變分，推導(dǎo)新的引力場方程和相應(yīng)的宇宙學(xué)弗里德曼方程. 進(jìn)而在德西特背景下，對(duì)新的場方程進(jìn)行弱場近似，最后分析其宇宙解的穩(wěn)定性.

1 場方程

1999年以來的天文觀測確認(rèn)了宇宙現(xiàn)階段的加速膨脹，用具有特殊性質(zhì)的暗能量來解釋這種現(xiàn)象顯得不太令人滿意. 因此，我們摒棄了暗能量概念，提出了新的引力模型，使宇宙的加速膨脹顯得比較自然. 采用Palatini變分形式構(gòu)造的Einstein-Hilbert作用量為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

2 弗里德曼方程

宇宙流體的能量-動(dòng)量張量為：Tμv=pgμv+(p+ρ)UμUv

(8)

(9)

我們假設(shè)宇宙是平坦的，則有k=0.

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

3 弗里德曼方程的數(shù)值解

圖1 光度距離-紅移曲線

圖2 牛頓引力常數(shù)隨時(shí)間的演化

圖3 等效暗能量狀態(tài)參數(shù)隨時(shí)間的演化

4 弱場近似和宇宙解的穩(wěn)定性

我們認(rèn)為引力場是弱場，并在在德西特背景下將引力場方程展開. 在引力源存在的條件下，將度規(guī)分解為兩部分：gμv=g(0)μv+hμv

(16)

上式中g(shù)(0)μv為引力場方程的德西特真空解，hμv表示對(duì)真空的偏離，它在無窮遠(yuǎn)處為0. 又

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

對(duì)于靜態(tài)均勻球?qū)ΨQ物質(zhì)分布，(21)式的時(shí)-時(shí)分量可以寫為：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

上式是一個(gè)關(guān)于R的代數(shù)方程，因而宇宙解是穩(wěn)定的.

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