“對勾函數(shù)”應(yīng)用的思想性賞析

● (蘇苑高級中學(xué) 江蘇蘇州 215128) ● (格致中學(xué) 上海 200001)

“對勾函數(shù)”應(yīng)用的思想性賞析

●張國棣(蘇苑高級中學(xué) 江蘇蘇州 215128) ●茹雙林(格致中學(xué) 上海 200001)

表1 對勾函數(shù)的常見性質(zhì)

這個函數(shù)在高考和競賽中都有出現(xiàn)，能簡捷地處理有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、值域以及不等式、方程等綜合問題，蘊(yùn)含了很強(qiáng)的思想性，現(xiàn)舉幾例，供大家欣賞！

1 數(shù)形結(jié)合，溝通抽象與形象的橋梁

數(shù)形結(jié)合，是中學(xué)階段非常重要的數(shù)學(xué)思想，它將抽象的問題直觀化、生動化，也能從表象的視覺中提煉出深刻的數(shù)學(xué)問題，用之于無形之中.

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(2008年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

2 分類討論，單極世界逐次突破

分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的特性，將研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.對勾函數(shù)蘊(yùn)含了很強(qiáng)的分類思想，如：x,a,b的正負(fù)，這些可能都是分類之源，對思維的周密性、條理性要求較高.

(2006年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)根據(jù)條件,當(dāng)x=2b-1時,

3 等價轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問題的有效遷移

通過轉(zhuǎn)化建立起不同知識、方法之間的轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)化不僅能有效處理問題，還能化腐朽為神奇.

(2008年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

4 函數(shù)與方程，知識交融的典范

函數(shù)、方程與不等式是數(shù)學(xué)的“三胞胎”，通過函數(shù)與方程的互化、交融，能將問題有效的轉(zhuǎn)化、整合，形成思維的有效遷移.

例4若關(guān)于x的方程4x+(a+3)2x+5=0至少有一個實(shí)根在區(qū)間[1,2]內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

(2005年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題)

簡析分離變量是此類題的常見處理方法，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，顯現(xiàn)的是函數(shù)與方程思想，需心領(lǐng)神會.

5 換元思想，顯現(xiàn)問題的本質(zhì)結(jié)果

換元是處理復(fù)雜問題時理清思路、簡化運(yùn)算的有效手段，可以把分散的條件聯(lián)系起來，把陌生的條件變?yōu)槭煜?，顯現(xiàn)條件與結(jié)論的聯(lián)系，將隱含的問題本質(zhì)結(jié)構(gòu)顯露出來.

(2009年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

簡析這些三角函數(shù)問題，通過換元能顯現(xiàn)問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)——對勾函數(shù)，換元思想就顯得尤為重要了.

6 化歸思想，建立起問題間結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一

美國加州大學(xué)的舍費(fèi)爾德做過這樣的“實(shí)驗(yàn)”：他列舉了32個數(shù)學(xué)問題,要求一些專業(yè)數(shù)學(xué)工作者對它們進(jìn)行分類，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

(1)各人所給出的結(jié)果是十分接近的.這種“統(tǒng)一性”表明對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行歸類的“客觀性”，即問題本身存在結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)家們由于有較強(qiáng)的洞察力而發(fā)現(xiàn)“十分接近”.

(2)數(shù)學(xué)家們在對問題進(jìn)行分類時，除對數(shù)學(xué)內(nèi)容作分析外，關(guān)于解題的基本思想，或者說基本的思維模式的考慮也占據(jù)了十分重要的地位.這種方法論方面的考慮表明：對數(shù)學(xué)問題的求解實(shí)質(zhì)上是對問題結(jié)構(gòu)的一種認(rèn)識或揭示.

換句話說，解題就像采蘑菇，通過一個問題發(fā)現(xiàn)一堆問題，不同問題又有共同的根，這種化歸意識需要不斷給學(xué)生強(qiáng)化建立.

事實(shí)上，在探究“歸根”的過程中，教師向?qū)W生展示數(shù)學(xué)思考問題的方式，逐步滲透方法論思想，提高數(shù)學(xué)思維的理性，使數(shù)學(xué)思維更加嚴(yán)謹(jǐn),這既是學(xué)生建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的需要，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和對數(shù)學(xué)整體認(rèn)識水平的需要.

7 整體思想，大處著眼小處入手

根據(jù)波利亞解題研究，比較綜合的問題一般都能分解成若干個基本的小問題.對問題首先要有宏觀上的整體思考，洞察題目中的整體與局部的關(guān)系，從大處著眼從小處入手，這是處理復(fù)雜問題的基本策略.

(1)求f(x)的解析式;

(2)證明:函數(shù)y=f(x)的圖像是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心;

(3)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=1、直線y=x所圍成三角形的面積為定值,并求出此定值.

(2008年海南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

總之，了解一些特殊函數(shù)的性質(zhì)，掌握一類問題的處理方式，提煉解題思想——長期積淀知識變得的厚重，思維就會如山般愈發(fā)沉穩(wěn).