這么好的解法學(xué)生怎么就想不到

● (楊集高級中學(xué) 江蘇灌云 222221)

這么好的解法學(xué)生怎么就想不到

●李昌(楊集高級中學(xué) 江蘇灌云 222221)

高考試題對高中教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用，是教師進(jìn)行教學(xué)和研究的不竭資源．高考題的利用應(yīng)盡可能地對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)理念等進(jìn)行一次“整容”，以延續(xù)和發(fā)展高考的導(dǎo)向價值[1].2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題的答案公布之后,針對其中第18題的第(3)小題，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解法和思路與參考答案中的解法1基本相同,他們都感到這種解法運算繁、耗時多、易出錯,甚至無功而返；對于解法2,鮮有學(xué)生能夠想到,他們都不約而同地發(fā)出感嘆“此解法巧妙,我怎么就想不到”.作為一線教師,在為學(xué)生感到惋惜的同時,更多的是對教學(xué)的深層次思考．

1 試題及解法

圖1

解法2設(shè)P(x1,y1),B(x2,y2),則

x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).

設(shè)直線PB,AB的斜率分別為k1,k2,因為點C在直線AB上,所以

從而k1k+1=2k1k2+1=

故k1k=-1,于是PA⊥PB.

2 好的解法從哪里來

一種解法產(chǎn)生的過程,本質(zhì)上是尋找條件和結(jié)論之間的邏輯思維過程.因此,解法產(chǎn)生于對題目條件與結(jié)論的邏輯梳理過程之中.若條件與結(jié)論間的邏輯關(guān)系簡潔明了,相應(yīng)的解法自然就簡單清晰.

2.1 源于對運動過程的邏輯梳理

顯然,要證明2條動直線間存在垂直關(guān)系,選擇動直線的斜率或者動點的坐標(biāo)做為切入點是恰當(dāng)?shù)?可是,運動變化的幾何元素很多,選哪個點或哪條直線呢？審視變化過程,可以發(fā)現(xiàn)：所有的變化都是由點P(或點A)或者直線PA的變化引起的(變化的核心元素),它們的運動帶動了其他元素的變化.由于在變化過程中受橢圓方程的制約,致使直線PA與PB的垂直關(guān)系不變.因此,抓住變化的核心元素,將其作為解題的突破口,即可步步推進(jìn).

2.2 源于對運動變化中幾何不變關(guān)系的代數(shù)表達(dá)

辯證唯物主義運動觀告訴我們：變化是絕對的,不變是相對的.如果只看到運動,而不留心運動中存在的不變性,運動的場景便是混亂的.再次審視運動過程,以下3個幾何關(guān)系始終不變：點P與點A關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，點C是點P在x軸上的射影、點A,C,B共線.這3個不變關(guān)系的代數(shù)表達(dá)依次為：

kAC=kAB=kBC. (3)

若孤立地看待這3個代數(shù)表達(dá)式,也許發(fā)現(xiàn)不了什么；若用聯(lián)系的觀點看式(1)，式(2)，可得動點A,C坐標(biāo)之間的關(guān)系,即

式(3)是直線的斜率,可用點A,B,C的坐標(biāo)表示,這3個點與前面的點A,C有重復(fù),因此,可再次建立聯(lián)系.若用kAC來表達(dá),則

若用kAB來表達(dá),則

注意到式(6)的右端也與斜率有關(guān),若設(shè)線段BP的中點為D,則kAB=kOD,結(jié)合圖形知這是必然的.再次審視式(7),是變化中的不變關(guān)系,且其表達(dá)形式與解題目標(biāo)一致,這也許不是偶然！

2.3 源于數(shù)學(xué)審美意識的調(diào)控

問題解決的思維過程是多種意識共同調(diào)控的結(jié)果.數(shù)學(xué)審美意識也經(jīng)常參與到數(shù)學(xué)解題的過程中,比如在化簡代數(shù)式時,我們會自覺地化到最簡便是求簡意識使然.根據(jù)題目結(jié)論,要證PA⊥PB,即證kPA·kPB=-1,代入點的坐標(biāo),此時可能還沒有收獲.若聯(lián)系不變量kPA=2kAB,kAB由點A,B的坐標(biāo)表示,注意到點B與kPB表達(dá)式中的點B為同一點(趨同意識),則點A,P對稱,橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù),方便計算(求簡意識).至此,解法2便水到渠成.

3 學(xué)生為什么沒想到好解法

在高考這一特定的環(huán)境下,學(xué)生想不到好的解法,原因固然很多,但主要的有2點：一是題目的背景具有迷惑性,學(xué)生的視野被題目表象迷惑致使其無法洞察問題的本質(zhì)；二是學(xué)生對運動中存在的不變性這一規(guī)律缺乏認(rèn)識和思考,更談不上用之于指導(dǎo)思維和解題了.

3.1 呈現(xiàn)試題的載體和背景掩蓋了題目的本質(zhì)

試題以橢圓為載體,以3條動直線與橢圓的交點為背景考查垂直關(guān)系,背景和載體具有一定的迷惑性,學(xué)生易將其歸結(jié)為曲線的交點問題,選擇解法1也就成為自然,這在學(xué)生的訪談中得到了證實.事實上,橢圓并不是式(7)成立的必要條件,只要保持點A,P關(guān)于原點對稱、點C是點P在x軸上的射影、點A,B,C共線,式(7)就成立,也就是說,式(7)對一般的橢圓、雙曲線仍成立[2-3].因此,考查橢圓的性質(zhì)不是目的,而是以其為載體考查學(xué)生的思辨能力,這使得該題具有很好的區(qū)分度和甄別功能,充分體現(xiàn)了江蘇省數(shù)學(xué)高考試題“以能力立意”的指導(dǎo)思想.

3.2 不變量思想的缺失是根本原因

雖然,不變量思想在數(shù)學(xué)中,特別是幾何學(xué)中是根本思想之一,各種不同的幾何學(xué)就是研究在各種不同的變換之下的不變量.如歐氏幾何和射影幾何就是分別研究在剛體運動和射影變換下的不變性與不變量.可是在中學(xué)教科書里,找不到“不變量”一詞,非常遺憾(張奠宙教授語).誠然如此,中學(xué)的函數(shù)概念、函數(shù)模型雖以培養(yǎng)學(xué)生運動變化觀為目標(biāo),但其側(cè)重點是變量之間的依存關(guān)系；函數(shù)圖像的平移、對稱變換、立體幾何中平面圖形的翻折等知識也涉及到不變關(guān)系,但由于知識模塊的割裂,學(xué)生很難將其遷移到解析幾何中去.而且,在中學(xué)教學(xué)實際中,不變量思想也不像數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想那樣被廣泛重視,學(xué)生得到相關(guān)訓(xùn)練的機(jī)會少.因此,不變量思想的缺失是想不到解法2的根本原因.

4 教學(xué)反思

學(xué)生想不到好的解法,教師應(yīng)從自己的教學(xué)中去尋找深層的原因,才能改進(jìn)教學(xué),做到“前車之鑒,后事之師”.

4.1 變教材為課程,教學(xué)中滲透不變量思想

重要的數(shù)學(xué)思想,在教學(xué)中沒有被重視,究其原因,“不變量”是教材以外的內(nèi)容！說到底,就涉及到教師的教材觀和課程觀——我們教的是“教材”還是“課程”？

毋庸置疑,教師不能僅是教材的執(zhí)行者,而應(yīng)站在課程實施者和課程改革主體的視角審視教材的內(nèi)容、編排體系.要跳出學(xué)科看教學(xué),避免學(xué)科的分類割裂了知識的廣泛聯(lián)系,造成學(xué)生認(rèn)識的僵化和局限,妨礙學(xué)生知識能力、態(tài)度、情感的協(xié)調(diào)發(fā)展.那些既符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律又能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的知識、觀點和思想,不只適用于某個學(xué)科或模塊,應(yīng)該在教學(xué)中適時滲透.這要求教師能選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時機(jī),把靜止的、學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識演化成與學(xué)生認(rèn)知水平、思維脈絡(luò)大體相當(dāng)?shù)膭討B(tài)的、教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識.比如,當(dāng)學(xué)生對解析法有了感性理解后,提出問題：坐標(biāo)系的不同取法,對研究結(jié)果是否有影響？可激起學(xué)生對解析法的理性思考,探究解析法中的變與不變,體會其作為數(shù)學(xué)方法的實質(zhì)和精髓；再如,學(xué)習(xí)了向量后,學(xué)生都知道,它是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.

4.2 發(fā)揮課本習(xí)題功能,切實開展數(shù)學(xué)探究活動

數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式.數(shù)學(xué)探究課題的選擇是完成數(shù)學(xué)探究活動的關(guān)鍵.那么,作為探究活動的組織者、指導(dǎo)者、合作者的教師,如何選好探究課題呢？

筆者認(rèn)為課本中許多習(xí)題就是很好的探究課題,只要教師吃透教材,在課標(biāo)的指導(dǎo)下對教材適當(dāng)整合、適當(dāng)拓展就可以開發(fā)出好的探究課題.

橢圓可以視為對圓上的點向同一條直徑施行伸縮變換而成.運用橢圓與圓之間的這種關(guān)系,你能根據(jù)圓的面積公式來猜測橢圓的面積公式嗎？

如果學(xué)生選修了系列4的“矩陣與變換”專題,那么，教師可以再次組織學(xué)生證明自己的猜測并提出如下問題：(1)變換前后的圖形面積已知,能否大膽猜想變換前后圖形面積和變換矩陣之間有什么關(guān)系？(2)圓的一些性質(zhì),如直徑所對的圓周角為直角、垂徑定理經(jīng)伸壓變換后在橢圓中的表達(dá)形式如何?

如果學(xué)生經(jīng)歷過這樣的探究過程,那么他們可以體會到伸壓變換把圓、橢圓在知識序列中相去甚遠(yuǎn)的幾何圖形聯(lián)系在一起的；還可以激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣,使學(xué)生的思維觸及仿射幾何中的重要定理：在仿射變換下,2個圖形面積之比是仿射不變量.學(xué)生收獲的不僅僅是對伸壓變換、橢圓的性質(zhì)的深刻理解,還有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善、認(rèn)知能力的生成和情感態(tài)度的質(zhì)的飛躍,學(xué)生想到解法2也就不是難事,悟性好的學(xué)生還能發(fā)現(xiàn)本題的題根——直徑所對的圓周角為直角在橢圓中的推廣！

[1] 張雪松.談如何有效利用高考題[J].中國數(shù)學(xué)教育：高中版,2010(9):12-14.

[2] 張乃貴.探究2011年江蘇高考解幾第18題[J].數(shù)學(xué)通訊,2011(9):61-62.

[3] 張盛冬.2011年江蘇高考第18題的新解及探究[J].考試：高考·數(shù)學(xué)版,2011(9/10):21-23.