基于Excel的中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)圖像教學(xué)研究

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（如皋高等師范學(xué)校，江蘇如皋 226500）

一、引言

函數(shù)一直是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，也是學(xué)生最難學(xué)習(xí)的內(nèi)容之一。通過函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，既是數(shù)學(xué)研究的重要思想，也是數(shù)學(xué)研究的重要途徑。函數(shù)圖像從“數(shù)”到“形”，能夠直觀、形象、準確、生動地表現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)與參數(shù)的關(guān)系，通過改變參數(shù)，學(xué)生可以觀察、分析、研究不同參數(shù)是如何影響函數(shù)圖像的，從而總結(jié)出函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，加深學(xué)生對函數(shù)及參數(shù)意義的理解。因此，準確繪制函數(shù)的圖像對于輔助函數(shù)概念及性質(zhì)教學(xué)具有至關(guān)重要的作用。

現(xiàn)代計算機具有非常豐富的圖像繪制軟件，它們幾乎能繪制出所有數(shù)學(xué)函數(shù)的圖像。但是，盡管目前可以用來繪制函數(shù)圖像的軟件非常多，可是其中不少軟件界面比較復(fù)雜，學(xué)起來比較困難，操作步驟繁瑣，一般教師和學(xué)生都很難掌握，不利于掌握和推廣。筆者多年從事信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)整合的研究，發(fā)現(xiàn)微軟辦公自動化系列軟件中的Excel（本文以Excel2007為操作平臺）不僅可以直接根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出靜態(tài)的函數(shù)圖像，而且還可以動態(tài)地繪制出函數(shù)的圖像隨函數(shù)解析式參數(shù)的變化而變化的過程，因果關(guān)系一目了然。

二、對Excel作圖功能的認識

傳統(tǒng)的函數(shù)圖像作圖采用的是“描點法”，它的基本步驟是：

（1）列表：根據(jù)函數(shù)的解析式，按變量大小為序，求出若干個有序?qū)崝?shù)對填入表中。

（2）描點：即根據(jù)列表中的有序?qū)崝?shù)對，在坐標系中描出對應(yīng)的點。

（3）連線：將相鄰的點用平滑的曲線連接起來即可得到相應(yīng)函數(shù)的圖像。很顯然，如果要繪制出不同參數(shù)情況下函數(shù)的圖像，那是相當繁瑣的。

Excel繪制函數(shù)圖像的原理實際上也是基于“描點法”的，不過整個過程是由計算機自動完成的，并且能夠很好地體現(xiàn)函數(shù)圖像與參數(shù)之間的關(guān)系。它的基本步驟是：

（1）在連續(xù)的單元格中通過“等差序列”自動生成函數(shù)自變量的值。

（2）將函數(shù)式改寫為相應(yīng)的公式插入到對應(yīng)的單元格中。

（3）選擇圖表類型“無數(shù)據(jù)點平滑散點圖”即可完成函數(shù)的靜態(tài)圖像。動態(tài)函數(shù)圖像的繪制就是在靜態(tài)圖像的基礎(chǔ)上增加了函數(shù)解析中參數(shù)的變化，所以，在Excel中需要增加一個區(qū)域用來描述函數(shù)參數(shù)的變化，最后通過動作按鈕實現(xiàn)函數(shù)圖像的動態(tài)變化，從而在感官上認識到函數(shù)的參數(shù)和函數(shù)圖像之間的關(guān)系。

三、Excel與中學(xué)函數(shù)圖像教學(xué)的簡單整合

在眾多的函數(shù)中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c是非常典型的，而且是一個典型的含有參數(shù)的函數(shù)，不同的a、b、c將決定著這個二次函數(shù)的開口方向、開口大小、對稱軸、與x的交點情況等性質(zhì)。因此，通過研究Excel與二次函數(shù)圖像的有機整合，對于研究其他函數(shù)具有普遍的意義。為簡便起見，約定其中一個參數(shù)變化，而另兩個參數(shù)不變，這里不妨只考慮“a變化，b、c不變”的情形，以函數(shù)“y＝ax2＋2x＋3”為例介紹Excel繪制函數(shù)圖像的過程。

⒈給定自變量、函數(shù)、參數(shù)的值

在 A1、B1、C1 單元格內(nèi)分別輸入“x”、“y＝ax2＋2x＋3”、“a”，在 A2 單元格輸入－3、A3 單元格輸入－2.8，然后同時選中A2、A3這兩個單元格，然后將鼠標移到A3單元格的右下角，待鼠標變成“＋”時按住鼠標左鍵不放，向下填充至數(shù)值3為止（這里僅繪制變量x在[－3,3]上的圖像，點與點之間的橫坐標間距為0.2）。在C2單元格中輸入?yún)?shù)a的初始值（這里不妨設(shè)為“1”）。在B2單元格中輸入公式 “＝＄C＄2*A2*A2＋2*A2＋3”（這里的“＄C＄1”表示參數(shù)a的值來源于C2單元格，＄C＄2是絕對地址表示法），從B2單元格向下復(fù)制公式，可以得到每一個變量x所對應(yīng)的函數(shù)值。這個過程實際上相當于描點法中的“列表”。

⒉繪制靜態(tài)的函數(shù)圖像

選中A列、B列的數(shù)據(jù)區(qū)域，然后執(zhí)行“插入”→“圖表”→“XY（散點圖）” →“僅帶數(shù)據(jù)標記的散點圖”。這個過程相當于描點法中的“描點”。

將“僅帶數(shù)據(jù)標記的散點圖”改為“帶平滑線和數(shù)據(jù)標記的散點圖”，可以看到有一根平滑線把這些點連接在一起來，如果選擇“帶平滑線的散點圖”，那么圖像上將看不到剛才描的那些點。這個過程相當于描點法中的“連線”，如圖1。

圖1

改變C2單元格的數(shù)值（即改變參數(shù)a的值，可以非常清晰地看到圖像開口的大小、坐標軸位置的變化等信息。當a為0時圖像演變成一條直線）。

⒊繪制動態(tài)的函數(shù)圖像

靜態(tài)圖像不能很好地表現(xiàn)函數(shù)圖像隨參數(shù)變化而變化的情況，而動態(tài)圖像卻將這一變化淋漓盡致地表現(xiàn)出來。具體方法：

“開發(fā)工具”菜單（如果“開發(fā)工具”選項卡未顯示，請單擊“Office按鈕”，然后單擊“Excel選項”。在“常用”類別中的“使用 Excel時采用的首選項”下，選中“在功能區(qū)顯示‘開發(fā)工具’選項卡”復(fù)選框，然后單擊“確定”。）→“插入”→“命令按鈕（Activex控件）”→在工作表中繪制一個命令按鈕→在命令按鈕上右擊鼠標，在彈出的菜單中選擇“屬性”→將“屬性”面板中“Caption”右側(cè)框中改為“動畫演示”→在命令按鈕“動畫演示”上右擊鼠標→“查看代碼”（“開發(fā)工具”的“控件”選項中的“設(shè)計模式”要處于選中狀態(tài)，否則“查看代碼”一項無法選擇）→在“代碼”窗口中輸入代碼：

最后關(guān)閉整個“代碼”窗口。取消“開發(fā)工具”的“控件”選項中的“設(shè)計模式”選中狀態(tài)，單擊命令按鈕“動畫演示”，可以看到參數(shù)a由－10變化到10的情況下（每次變化1）二次函數(shù)圖像變化的情況。

不過，從動畫演示的過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)畫面的抖動，這是因為在參數(shù)a變化之后，坐標軸也發(fā)生了變化，這一點是不利于研究函數(shù)圖像變化與參數(shù)變化之間的關(guān)系。為了消除這種抖動，我們需要右擊坐標軸，在彈出的菜單中選擇“設(shè)置坐標軸格式”，在“設(shè)置坐標軸格式”對話框中將“坐標軸選項”的“最大值”、“最小值”、“主要刻度單位”、“次要刻度單位”都設(shè)定為“固定”，本例中設(shè)“最大值”、“最小值”分別為120、－120。再單擊命令按鈕“動畫演示”，可以看到畫面非常穩(wěn)定，學(xué)生很容易從動畫中觀察并得出二次函數(shù)圖像的開口大小與參數(shù)a的關(guān)系（a越小開口越大，a越大開口越?。?以及對稱性、單調(diào)性、頂點位置等函數(shù)性質(zhì)。

當然，如果覺得動畫太快，那可以在“DoEvents”與上一行之間加一段延時程序：

注意：可以通過改變“設(shè)計模式”的選中與否來決定是編緝命令按鈕的程序代碼還是執(zhí)行命令按鈕。

四、Excel與中學(xué)函數(shù)圖像教學(xué)的高級整合

前面通過僅改變函數(shù)的一個參數(shù)簡單地說明了Excel與函數(shù)圖像教學(xué)整合的過程，下面則以研究三角函數(shù) y＝Asin(ω x＋φ )中的參數(shù) A,ω ,φ 與函數(shù)圖像的關(guān)系進一步闡述Excel與函數(shù)圖像教學(xué)整合的一般過程。

第一種情形：在同一坐標系中作出一個參數(shù)取不同值時三角函數(shù)y＝Asin(ω x＋φ)的圖像及性質(zhì)（這里不妨只研究參數(shù)A變化，而ω和φ不變的情況，其余情況類似。不妨假設(shè)ω＝1，φ＝1，此時三角函數(shù)就演變成y＝Asin(x＋1)，x∈[－6.2,6.2]）（設(shè) π ＝3.14，為簡便起見取 3.1）。

（1）列表。分別在單元格 A1、B1、C1、D1、E1、F1、G1 中輸入“x”、“y1＝A1sin(x＋1)”、“y2＝A2sin(x＋1)”、“y3＝A3sin(x＋1)”、“A1”、“A2”、“A3”。在 A2 單元格中輸入－6.2，在 A3 單元格中輸入－6.0，同時選中 A2、A3單元格后按住鼠標左鍵拖動“填充柄”到單元格內(nèi)出現(xiàn)填充值 6.2 為止。在 E2、F2、G2 中分別輸入 1、2、3（表示A 分別取 1、2、3這三個數(shù)值）。分別在 B2、C2、D2單元格中輸入“＝＄E＄2*SIN(A2＋1)”、“＝＄F＄2*SIN(A2＋1)”、“＝＄G＄2*SIN(A2＋1)”。分別選擇 B2、C2、D2 單元格向下填充。

（2）描點、連線。選中A、B、C、D的數(shù)據(jù)區(qū)域，然后執(zhí)行“插入”→“圖表”→“XY（散點圖）” →“帶平滑線和數(shù)據(jù)標記的散點圖”，可以看到有三根平滑線正弦曲線圖，如圖2。從圖中可以非常清楚地發(fā)現(xiàn)參數(shù)A值越小曲線的振幅越小，A值越大曲線的振幅越大。

圖2

改變單元格E1、F1、G1中的數(shù)值可以得到A取不同參數(shù)值時的圖像。

第二種情形：在同一坐標系中運用動畫演示不同參數(shù)A、ω、φ 下函數(shù)y＝Asin(ω x＋φ)的圖像。（不妨設(shè)π ＝3.14， 為 簡便起 見 取 3.1，A∈[－5,5]，ω ∈[－5,5]，φ ∈[－5,5]）。

（1）列表。在單元格 A1、B1、C1、C2、C3 中分別輸入“x”、“y＝Asin(ω x＋φ )”、“A＝”、“ω ＝”、“φ ＝”。在A2 單元格中輸入－6.2，在 A3 單元格中輸入－6.0，同時選中A2、A3單元格后按住鼠標左鍵拖動“填充柄”到單元格內(nèi)出現(xiàn)填充值 6.2為止。在 C1、C2、C3中分別輸入“A＝”、“ω ＝”、“φ ＝”。在 D1、D2、D3單元格中設(shè)置A、ω、φ 的初始值都為1。在B2單元格中輸入“＝＄D＄1*SIN(＄D＄2*A2＋＄D＄3)”。選擇 B2 單元格向下填充。

（2）在E1、E2、E3單元格中分別插入一個“數(shù)值調(diào)節(jié)鈕（Activex控件）”（此控件亦在“開發(fā)工具”選項卡），用來調(diào)節(jié)參數(shù)A、ω、φ 的變化。

（3）在“設(shè)計模式”下，右擊第一個“數(shù)值調(diào)節(jié)鈕（Activex控件）”，分別設(shè)置此按鈕的“max”屬性為5，“min”屬性為－5，右擊第二個“數(shù)值調(diào)節(jié)鈕（Activex控件）”，分別設(shè)置此按鈕的“max”屬性為5，“min”屬性為－5；右擊第三個“數(shù)值調(diào)節(jié)鈕（Activex控件）”，分別設(shè)置此按鈕的“max”屬性為5，“min”屬性為－5。

設(shè)置第一個“數(shù)值調(diào)節(jié)鈕（Activex控件）”的控制程序：

設(shè)置第二個“數(shù)值調(diào)節(jié)鈕（Activex控件）”的控制程序：

設(shè)置第三個“數(shù)值調(diào)節(jié)鈕（Activex控件）”的控制程序：

這3段小程序就是將3個“數(shù)值調(diào)節(jié)鈕（Activex控件）”分別與D1、D2、D3單元格建立了鏈接，從而達到通過數(shù)值調(diào)節(jié)鈕控制A、ω、φ 的目的。

（4）描點、連線。選中A、B的數(shù)據(jù)區(qū)域，然后執(zhí)行“插入”→“圖表”→“XY（散點圖）” →“帶平滑線和數(shù)據(jù)標記的散點圖”，可以看到一根平滑線正弦曲線圖。

（5）將“坐標軸選項”的“最大值”、“最小值”、“主要刻度單位”、“次要刻度單位”都設(shè)定為“固定”，且設(shè)“最大值”、“最小值”分別為5、－5。

（6）退出“設(shè)計模式”，分別通過“數(shù)值調(diào)節(jié)鈕（Activex控件）”來控制參數(shù)A、ω、φ 的變化，可以看到函數(shù)y＝Asin(ω x＋φ)的圖像與參數(shù)A、ω、φ 之間的關(guān)系，如圖3：

圖3

實踐表明：利用Excel來繪制函數(shù)圖像不僅簡單、方便、易學(xué)，而且用它繪制的函數(shù)圖像非常逼真。中學(xué)函數(shù)圖像教學(xué)內(nèi)容豐富，教師只需向?qū)W生演示其中的幾個函數(shù)圖像的繪制并引領(lǐng)他們通過圖像來分析、研究、總結(jié)這些函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、對稱性、奇偶性、與坐標軸的交點等性質(zhì)），而更多的象指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、雙曲線、橢圓等函數(shù)圖像的繪制、圖像的性質(zhì)分析可以在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生通過小組協(xié)作學(xué)習(xí)、分組討論，進而完成學(xué)習(xí)任務(wù)。另外，這些圖表中不僅包含了函數(shù)圖像，而且還包含函數(shù)的變量、函數(shù)的值，通過數(shù)與形的結(jié)合，讓抽象的函數(shù)、圖像及性質(zhì)教學(xué)變得簡單而直觀。這種“實驗、探究、發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式，不僅大大增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能夠充分培養(yǎng)抽象思維的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，極大地提高學(xué)生運用信息技術(shù)處理實際問題的能力。

五、結(jié)束語

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，用計算機軟件繪制函數(shù)的圖像不僅僅是為了追求視覺上的效果，而是要通過靜態(tài)及動態(tài)函數(shù)圖像幫助學(xué)生對函數(shù)的相關(guān)知識進行理解，有助于教師引領(lǐng)學(xué)生掌握新穎的自主學(xué)習(xí)方法，對培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力也大有好處，可以讓通過自主學(xué)習(xí)、協(xié)作學(xué)習(xí)的學(xué)生獲得新的認知、新的啟示、新的發(fā)現(xiàn)，進而豐富、拓展學(xué)生的認知。

從更深層次的角度講，將信息技術(shù)應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，使其與中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的有效整合，不僅符合中學(xué)數(shù)學(xué)課程標準，而且符合中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的特點。運用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，把中學(xué)數(shù)學(xué)課程中豐富、抽象的教學(xué)內(nèi)容，與教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”進行有機重組從而達到完成課程教學(xué)任務(wù)的一種新型教學(xué)模式。不過，這種整合不是簡單地將現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，更不是為了“整合”而整合，而是要從真正意義上實現(xiàn)現(xiàn)代信息技術(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的深度“融合”，它十分強調(diào)教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位。它為中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)創(chuàng)設(shè)了新的教學(xué)情境，優(yōu)化了課堂教學(xué)的結(jié)構(gòu)，營造了良好的教學(xué)氛圍，豐富了學(xué)科知識,激發(fā)了學(xué)生參與和探索熱情，極大地提高了學(xué)生認知能力，它改變了數(shù)學(xué)及其研究方法，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，改變了教師教學(xué)數(shù)學(xué)的模式。

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