含交易費(fèi)用的組合投資模型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法＊

李 萌

（中國海洋大學(xué)，山東 青島 266100）

1 引言

證券投資是近年來我國投資市場的熱點(diǎn)。作為一種風(fēng)險(xiǎn)投資，其收益必將伴隨著相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。通常，高的收益都是與高的風(fēng)險(xiǎn)相伴隨。一個(gè)理性的投資者希望能獲得盡可能多的收益，同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)盡可能低。顯然，這兩個(gè)目標(biāo)是相互矛盾的。因此，為了減少風(fēng)險(xiǎn)獲取較為穩(wěn)定的收益，投資者一般選擇將資金分散到不同資產(chǎn)進(jìn)行組合投資。而如何分配資金到不同的投資項(xiàng)目中，使得在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下收益盡可能的高或者是收益一定的情況下風(fēng)險(xiǎn)盡可能的低成為投資者關(guān)注的焦點(diǎn)。20世紀(jì)50年代后，馬科維茨（Markowitz）等人提出的投資組合理論，正好可以從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行解答。

一般金融資產(chǎn)具有如下特征：流動(dòng)性、風(fēng)險(xiǎn)性、收益性、無限可分性。而上述特征決定了資產(chǎn)組合收益的特殊性：即在一個(gè)有效的市場中，某證券下一期的預(yù)期價(jià)格等于當(dāng)期價(jià)格加上下一期預(yù)期報(bào)酬。這說明投資組合的各階段的狀態(tài)滿足無后效性，即投資過程的過去歷史只能通過當(dāng)前的狀態(tài)影響它的未來，因而滿足構(gòu)造動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的條件。[1]

利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃研究投資組合問題的方法已有一些研究[2-4]。在文獻(xiàn)[2]中，作者對均值-方差模型建立一種動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型和遞推算法。文獻(xiàn)[3]建立了總風(fēng)險(xiǎn)控制下的以最終的總收益最大化為決策目標(biāo)的資產(chǎn)投資組合模型，并利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法求得模型的整體最優(yōu)解。文獻(xiàn)[4]利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決帶交易費(fèi)用的均差模型，給出了有交易費(fèi)用均差模型的解析解。本文在考慮交易費(fèi)用的前提下，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法求解組合投資模型。

2 模型的建立

設(shè)投資者現(xiàn)有資金M，可在一個(gè)時(shí)期內(nèi)投資于市場上的n種資產(chǎn)A1，A2，…，An或存款銀行A0。假定Ai之間相互獨(dú)立。通過對歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，得到各資產(chǎn)Ai有收益和損失兩種情況，收益時(shí)平均收益率為ri，損失時(shí)平均虧損率qi，且損失的概率為si。假定在該投資時(shí)期內(nèi)Ai收益損失情況保持不變。銀行存款A(yù)0的利率為r0且無風(fēng)險(xiǎn)（q0＝0）。考慮到我國證券市場的交易費(fèi)用的收取按“手”為單位，在本模型中規(guī)定購買資產(chǎn)Ai的交易費(fèi)是分段函數(shù)：不購買不收費(fèi)，每單位證券的收費(fèi)率為pi，但當(dāng)購買量不足ui時(shí)，交易費(fèi)按購買ui計(jì)算。因此，購買Ai的收益須減去交易費(fèi)之后得到凈收益。由于一只資產(chǎn)購買過多可能會(huì)帶來不可估量的損失且與組合投資的理念不符，影響判斷，故當(dāng)購買量超過di時(shí)，資產(chǎn)Ai無法繼續(xù)購買。在本文中，我們以投資各個(gè)Ai的風(fēng)險(xiǎn)損失和來度量總體風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)xi表示購買資產(chǎn)Ai的資金（1≤i≤n），x0為銀行存款。則交易費(fèi)可表為：

投資組合x＝（x0，x1，…，xn）收益時(shí)的每種投資收益為xiri-ci（xi），而損失時(shí)的每種投資損失為xiqi＋ci（xi），則數(shù)學(xué)期望收益為

從而得到如下的投資組合模型（I）

由于ci（xi）是分段線性函數(shù)（在x＝0處不連續(xù)），模型為非線性規(guī)劃問題，下面利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來求解。

3 模型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法

在模型（I）中，對n＋1種資產(chǎn)的資金分配看成n＋1階段決策過程，其中xi作為第i階段決策變量，從第0階段到第i階段所分配的資金記為li，作為第i階段的狀態(tài)變量。那么，n＋1階段所分配的總資金為ln＋1＝M，且狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則為li-1＝li-xi-ci（xi）。

當(dāng)狀態(tài)變量li給定時(shí)，決策變量xi取值范圍成為第i階段的決策集，記為Di（xi）。根據(jù)上面的模型，有：

在每階段決策時(shí)都要求xi∈Di（li），故而其成為一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

根據(jù)前面分析，用順推法求解。設(shè)函數(shù)fk（l）為直到第k階段，投資額不超過li的最大收益，有：

根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)原理，得到最優(yōu)值函數(shù)序列滿足如下遞推：

決策集Dk（l）表示為：

由動(dòng)態(tài)規(guī)劃的理論可求的模型（I）的解。

4 討論

（1）Ai的收益損失是根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)所得，因此要求市場有很強(qiáng)的有效性，對于我國目前還不盡完善的金融市場現(xiàn)狀，解釋起來有點(diǎn)乏力。

（2）該文主要是從數(shù)學(xué)推導(dǎo)，沒有考慮實(shí)際投資中各種其他因素的影響，會(huì)使得該模型在實(shí)際應(yīng)用中的效果打折扣。

（3）實(shí)際操作中，為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，投資者會(huì)進(jìn)行多期連續(xù)且有關(guān)聯(lián)的投資，因此該模型仍然有待于進(jìn)一步的完善。

[1]張夢喬.基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的投資組合優(yōu)化研究[J].時(shí)代金融，2011，（11）：155-156.

[2]林浩.投資組合問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法[J].運(yùn)籌與管理，2000，9（3）：102-106.

[3]陳國華，廖小蓮，吳娜.投資組合模型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2012，（5）：85-87.

[4]花秋玲，蘇孟龍，呂顯瑞，等.帶交易費(fèi)用投資組合問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2009，47（5）：893-898.