伴隨矩陣在射影幾何中的應(yīng)用

吳利斌，詹 鴻

(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 公共課部，湖北 武漢 403205)

1 伴隨矩陣的定義及其性質(zhì)

定義1 設(shè)Aij為n階矩陣

中元素aij的代數(shù)余子式，則稱矩陣

為矩陣A的伴隨矩陣.

定理1 設(shè)A*為n階可逆矩陣A的伴隨矩陣，則有

1)AA*=A*A=|A|E，其中|A| 為矩陣A的行列式，E為n階單位矩陣；

2) (kA)*=k-1A*，其中k為非零常數(shù)；

3) (A*)T=(AT)*，其中AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；

4) (A*)*=|A|n-1A，其中n≥2 .

2 伴隨矩陣在射影平面的射影對應(yīng)中的應(yīng)用

2.1 伴隨矩陣在射影平面的直射(同素)對應(yīng)中的應(yīng)用

定義2 兩平面的點之間的一一對應(yīng)若保持點和直線的結(jié)合性，且使任何共線四點的交比等于其對應(yīng)四點的交比，則稱此一一對應(yīng)為兩平面點之間的射影對應(yīng).

定義3 兩平面的直線之間的一一對應(yīng)若保持點和直線的結(jié)合性，且使任何共點四直線的交比等于其對應(yīng)四直線的交比，則稱此一一對應(yīng)為兩平面直線之間的射影對應(yīng).

定義4 上面定義的兩種射影對應(yīng)都稱為兩平面之間的直射(同素)對應(yīng).

定義5 如果兩對應(yīng)平面是重合的，則上面定義的射影對應(yīng)和直射(同素)對應(yīng)分別為此平面上的射影變換和直射(同素)變換.

由上面的定義，易得

定理2 若在兩平面π與π′內(nèi)各建立射影坐標(biāo)系，則平面π到π′上的點之間的射影對應(yīng)為非奇線性對應(yīng)

f:ρx′=Ax,ρ|A|≠0

(1)

定理3 若在兩平面π與π′內(nèi)各建立射影坐標(biāo)系，且平面π到π′上的點之間的射影對應(yīng)為(1)，則平面π′到π上的點之間的射影對應(yīng)為非奇線性對應(yīng)

f-1:σx=A*x′,σ|A*|≠0

(2)

證明 由于|A|≠0，則A可逆，用A的逆矩陣A-1=|A|-1A*左乘(1)式兩邊得ρ-1|A|x=A*x′ ，令ρ-1|A|=σ，則得f-1:σx=A*x′.由定理1可得 |A*|=|A|2，故σ|A*|=ρ-1|A||A|2=ρ-1|A|3≠0.

定理4 若在兩平面π與π′內(nèi)各建立射影坐標(biāo)系，且平面π到π′上的點之間的射影對應(yīng)為(1)，則平面π到π′ 上的直線之間的射影對應(yīng)為非奇線性對應(yīng)

g:λu′=A*Tu,λ|A*T|≠0

(3)

證明 設(shè)任意直線l:uTx=0,經(jīng)射影對應(yīng)(1)變?yōu)閷?yīng)直線l′:u′Tx′=0，將射影對應(yīng)(1)的逆對應(yīng)(2)代入直線l的方程得uT(σ-1A*x′)=0，即(uTA*)x′=0，或 (A*Tu)Tx′=0，與對應(yīng)直線l′ 的方程比較，即得g:λu′=A*Tu，且λ|A*T|=λ|A|2≠0.

定理5 若在兩平面π與π′內(nèi)各建立射影坐標(biāo)系，且平面π到π′上的點之間的射影對應(yīng)為(1)，則平面π′到π上的直線之間的射影對應(yīng)為非奇線性對應(yīng)

g-1:μu=ATu′,μ|AT|≠0

(4)

證明 由定理1，可得 (A*T)-1=(AT*)-1=((AT)-1)*=(|AT|-1AT*)*=|A|-1AT，由(3)得u=λ(A*T)-1u′=λ|A|-1ATu′，令μ=λ-1|A| ，即得g-1:μu=ATu′ ，且μ|AT|=λ-1|A|2≠0.

2.2 伴隨矩陣在射影平面的對射(異素)對應(yīng)中的應(yīng)用

定義6 若平面π的點x到π上的直線u之間的一一對應(yīng)滿足非奇線性對應(yīng)

h:φu=Ax,φ|A|≠0

(5)

則稱此對應(yīng)為平面 上的點與直線之間的對射(異素)對應(yīng)(變換).

定理6 若平面π上的點與直線之間的對射(異素)對應(yīng)(變換)為(5)，平面π上的直線與點之間的對射(異素)對應(yīng)(變換)為

h-1:θx=A*u,θ|A*|≠0

(6)

證明 由于|A|≠0，由(5)整理得φ-1|A|x=A*u，令φ-1|A|=θ，則得h-1:θx=A*u，且θ|A*|=φ-1|A||A*|=φ-1|A|3≠0.

定理7 若h1,h2是平面π上的對射(異素)變換，則h1·h2是平面π上的直射(同素)變換.

定義7 設(shè)h是平面π上的一個對射(異素)變換，若其平方是恒等變換(即h2=I)，則稱h為平面π上的配極變換.且點x對應(yīng)的直線u稱為點x的極線，直線u對應(yīng)的點x稱為直線u的極點.

3 伴隨矩陣在二次曲線射影理論中的應(yīng)用

定義8 在射影平面上，齊次坐標(biāo) (x1,x2,x3)滿足

xTAx=0

(7)

的點的集合稱為二階曲線.其中x=(x1,x2,x3)T，且A=(aij) 為三階非零對稱矩陣.

若A=(aij) 為三階可逆的對稱矩陣，則稱此二階曲線為非退化的二階曲線.

定義9 在射影平面上，齊次線坐標(biāo)[u1,u2,u3] 滿足

uTA′u=0

(8)

定義10 二階曲線和二級曲線統(tǒng)稱為二次曲線.

定理8 一條非退化的二階曲線的切線的集合是一條非退化的二級曲線.且若非退化的二階曲線為

xTAx=0

(7)

則其對應(yīng)的二級曲線為

uTA*u=0

(9)

證明 由二階曲線的極點與極線的關(guān)系得

ρu=Axρ|A|≠0,AT=A

(10)

又由二階曲線的切線u通過其極點x得

uTx=0

(11)

由(10)得x=ρ|A|-1A*u，將其代入(11)得ρ|A|-1uTA*u=0，由ρ|A|-1≠0即得(7)對應(yīng)的二級曲線為uTA*u=0.

由定理8的證明過程即得

定理9 一條非退化的二級曲線的切點的集合是一條非退化的二階曲線.且若非退化的二級曲線為

uTA′u=0

則其對應(yīng)的二階曲線為 .

xTA′*x=0

(12)

注 若非退化的二級曲線為

uTA*u=0

則其對應(yīng)的二階曲線為

xTAx=0

事實上，由二級曲線的極線與極點的關(guān)系得

σx=A*u

(13)

又由二級曲線的直線通過其極點x得

xTu=0

(14)

由(13)得u=σ(A*)-1x=σ(|A|A-1)-1x=σ|A|-1Ax，將其代入(14)得σ|A|-1xTAx=0，即得(9)對應(yīng)的二階曲線為xTAx=0.

參考文獻(xiàn)：

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