Mathematica 8.0.1中文版在量子力學教學中的應用

單傳家, 陳入云,劉繼兵,陳 濤,劉堂昆,黃燕霞

(1.湖北師范學院 物理與電子科學學院，湖北 黃石 435002;2.湖北師范學院 外國語學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

Mathematica[1]是美國Wolfrmn公司研制開發(fā)的著名數(shù)學計算軟件系統(tǒng)，很好地結合了數(shù)值和符號計算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)、和與其他應用程序的高級連接。自1987年發(fā)布系統(tǒng)的1.0版本開始便迅速廣為流傳，后經(jīng)不斷改進和完善，1991年與1997年又先后推出2.0版和3.0版，1999年推出4.0版本，后來推出了5.0(2003)，6.0(2007)，7.0(2008)，直到2011年推出了8.0中文漢化版本。該版本增加了500多個新函數(shù)，功能涵蓋更多應用領域，并擁有更友好更高質(zhì)量的中文用戶界面、中文參考資料中心及數(shù)以萬計的中文互動實例，使中國用戶學習和使用 Mathematica 更加方便快捷。自從20世紀60年代以來，在數(shù)值、代數(shù)、圖形、和其它方面應用廣泛。Mathematica是世界上通用計算系統(tǒng)中最強大的系統(tǒng)，現(xiàn)在，它已經(jīng)被應用于科學的各個領域——物理、生物、社會學、和其它[2～5]。

量子力學[6～7]是研究微觀粒子的運動規(guī)律的物理學分支學科，它主要研究原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)，以及原子核和基本粒子的結構、性質(zhì)的基礎理論，它與相對論一起構成了現(xiàn)代物理學的理論基礎。量子力學的基本原理包括量子態(tài)的概念，運動方程、理論概念和觀測物理量之間的對應規(guī)則和物理原理。量子力學的理論框架是由下列五個假設構成的：1)微觀體系的運動狀態(tài)由相應的歸一化波函數(shù)描述。2)微觀體系的運動狀態(tài)波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律遵從薛定諤方程。3)力學量由相應的線性算符表示。4)力學量算符之間有想確定的對易關系，稱為量子條件；坐標算符的三個直角坐標系分量與動量算符的三個直角坐標系分量之間的對易關系稱為基本量子條件；力學量算符由其相應的量子條件確定。5)全同的多粒子體系的波函數(shù)對于任意一對粒子交換而言具有對稱性：玻色子系的波函數(shù)是對稱的，費米子系的波函數(shù)是反對稱的。

本文我們首先通過一些例子簡單的介紹了Mathematica系統(tǒng)簡單操作與功能，然后重點介紹了Mathematica 8.0.1中文版在量子力學教學中的應用，包括包括如何用久期方程求解本證值和本證波函數(shù)，如何根據(jù)薛定諤方程求解波函數(shù)態(tài)矢量的演化。通過舉例可以清晰的看到利用Mathematica 8可以很容易的求解上述的量子力學問題。

1 Mathematica系統(tǒng)簡單操作與功能介紹

1.1 進入系統(tǒng)與退出系統(tǒng)

在“開始”菜單的“程序”中單擊Mathematica 8.0選項進入系統(tǒng)，在屏幕上顯示一個工作窗口，并將這個窗口暫命名為Untitled-1.退出Mathematica系統(tǒng)時，只須單擊工作窗口右上方的關閉按鈕，或者選擇菜單“file/ Exit”，或者按“Alt+F4”鍵。

1.2 工作窗口操作

工作窗口是用戶輸入、輸出、顯示各種信息，以及運行各種程序的場地，用戶的全部操作都將在這里進行，人們將這種類型的窗口稱之為Notebook。下面舉例說明在工作窗口中怎樣進行操作。

例1-1已知a=2，b=3.7，試求c=a+b的值。

在Untitled-1工作窗口中直接鍵入：a=2;b= 3.7;c=a+b，然后按執(zhí)行鍵(執(zhí)行鍵：Shift+Enter，或右Shift)，執(zhí)行后，顯示結果如下：Out[1]: 5.7

例1-2已知函數(shù)y=sinx，試求其一階導函數(shù)y'.

在工作窗口中鍵入：y' = D[Sin[x],x] 執(zhí)行結果為：Cos[x]

例1-3畫出函數(shù)y=sinx在區(qū)間[- 3，3]上的圖形。

在工作窗口中鍵入：Plot[Sin[x], {x, -3, 3}]，出現(xiàn)結果如圖1：

圖1 工作窗口顯示圖

注意：在Mathematica中函數(shù)名或者命令的第一個字母均必須大寫，其具體內(nèi)容將在后面的“函數(shù)名的書寫規(guī)則”中作嚴格的規(guī)定。

1.3 建立文件與保存文件

在工作窗口做好的某些內(nèi)容，如果想要保留，以供今后多次使用，通常是建立一個新文件，將做好的內(nèi)容保存在文件中。保存文件的方法是：選擇菜單“File/Save”或“File/Save As”，然后在對話框中操作。如此保存的Mathematica文件的擴展名為.nb，其中保存有Notebook中所有輸入文字與輸出的文字和圖形。調(diào)出文件，選擇菜單“File/Open”，在對話框中操作，選擇文件名后單擊“打開”按鈕即可，在屏幕上便可看到重新調(diào)出的文件中的文字與圖形了。

1.4 Mathematica功能介紹

開始使用Mathematica時，不必擔心是否能夠?qū)W會，其實它就像使用電子計算器一樣簡單。而要做的主要事情就是如何用Mathematica的語言來描述所要作的計算。 在很多情況下，會發(fā)現(xiàn)這種語言和在數(shù)學中、在一般的計算機語言中的習慣很接近。幾乎人人用過計算器，它能進行+、-、*、/四則運算和簡單的函數(shù)運算。Mathematica作為一個功能強大的數(shù)學軟件包，在處理數(shù)值運算方面具有非常強大的功能。 使用Mathematica作數(shù)值計算就像使用電子計算器一樣簡單。一切命令都可以在幫助中找到，其中包括Mathematica 基本運算，常用數(shù)學函數(shù)，數(shù)值設定，常用處理代數(shù)的指令，多項式/分式轉(zhuǎn)換的函數(shù)，解方程式的根，函數(shù)的定義、查詢，積分微分，求極限，基本的繪圖命令等等。例如：

1.4.1 微積分

Integrate[x∧2 Sin[x]∧2, x] D[%, x] Simplify[%]

ln[2]=Integrate[x∧2Sin[x]∧2,x]

D[%,x]

Simplify[%]

Out[4]=x2Sin[x]2

1.4.2 代數(shù)式運算

Mathematica還可以作代數(shù)式的各種運算：9 (2 + x) (x + y)+(x + y)∧2

將上式展開：Expand[%∧3]

In[1]=9(2+x)(x+y)+(x+y)∧2

Expand[%∧3]

Out[2]=5832x3+9720x4+5400x5+1000x6+17496x2y+30132x3y+17280x4y+3300x5y+17497xy2+32076x2y2+19494x3y2+3930x4y2+5832y3+12636xy3+

8802x2y3+1991x3y3+972y4+1242xy4+393x2y4+54y5+33xy5+y6

1.4.3 解方程或方程組

In： Solve[x∧2+y∧2==1&&x+y==a,{x,y}]

1.4.4 矩陣

m = Table[i/(i+j+1),{i, 3}, {j, 3}],MatrixForm[%] Transpose[m] Inverse[m]

Eigenvalues[N[m]]

In[14]=m=Table[i/(i+j+1),(i,3),(j,3)]

MatrixForm[%]

Transpose[m]

Inverse[m]

Eigenvalues[N[m]]

Out[17]={{300,-450,210},{-900,1440,-700},{630,-1050,525}}

Out[18]={1,1301,0.0313529,0.000447984}

2 Mathematica在量子力學課程中的應用

其中ω和b為實常數(shù)，問

1)H和B是否是厄密矩陣；

2)H和B是否對易；

Mathematica 代碼如下：

H=h× ω×(_{ {-1, 0, 0},{0, 1, 0},{0, 0, 1} }_);

B=b×(_{{2, 0, 0},{0, 0, 1},{0, 1, 0}}_);

HermitianMatrixQ[H]

HermitianMatrixQ[B]

H.B-B.H

Eigenvalues[B]

Eigenvectors[B]

運行結果如下：

HermitianMatrix0[H]

HermitianMatrix0[B]

H.B-B.H

Eigenvalues[B]

Eigenvectors[B]

Out[17]=False

Out[18]=False

Out[19]={{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}}

Out[20]={-b,b,2b}

Out[21]={{0,-1,1},{0,1,1},{1,0,0}}

從上面的結果我們可以看出，H和B都不是厄米矩陣，H和B是對易的，直接可以求出B的本征值和本征態(tài)。

假設Ψ(0)=|↑↓〉，時間t演化為Ψ(t)=C1↑↑〉+C2|↑↓〉+C3|↓↑〉+C4|↓↓〉

H=J×KroneckerProduct[σ1,σ2].a//MatrixForn

c1[0]==0,c2[0]==1,c3[0]==0,c4[0]==0},{c1[t],c2[t],c3[t],c4[t]},t]

從上面的程序就可以看出態(tài)演化的結果。

3 結論

Mathematica在量子力學中的應用是很廣泛的, 通過Mathematica 8.01數(shù)值軟件對量子力學中的兩個簡單的例子進行了研究，結果表明，Mathematica 8.01在量子力學問題處理中發(fā)揮著很重要的作用，需要大量手工推導的解析計算, 都可以借助Mathematica來完成, 從而大幅度地提高工作效率和工作質(zhì)量。Mathematica 8.01在其他學科中的作用我們將做進一步的研究和探討。

參考文獻:

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[5]陳顯盈, 尤愛惠.用Mathematica演示波的衍射干涉現(xiàn)象[J].物理通報, 2010,(11): 95～96.

[6]周世勛.量子力學[M].北京: 高等教育出版社，1979.

[7]曾謹言.量子力學[M] .北京: 科學出版社, 1999.