錐度量空間中擴張映射的公共不動點定理

黃國華，石 露(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

0 引言及預(yù)備知識

不動點理論在度量空間中滿足各種壓縮型和擴張型條件的不動點及公共不動點問題, 有很多很好的結(jié)果. 自從文[1]用Banach空間取代實數(shù), 推廣度量空間, 引進(jìn)錐度量空間后, 有關(guān)不動點理論的研究得到了進(jìn)一步發(fā)展, 見文[2-4]. 其中文[2]在連續(xù)的條件下討論了完備度量空間中一個擴張映射的不動點定理. 然而, 在本文中, 我們將去掉連續(xù)性, 在非正規(guī)錐中拓展研究兩個映射的公共不動點的存在唯一性, 所得結(jié)果改進(jìn)并推廣了原有的結(jié)論, 更具有一般化.

設(shè)E是實Banach 空間,θ是E中零元,P是E的子集,稱P是E中的錐, 若滿足

i)P是非空閉凸集;

ii)x∈P且λ≥0 則λx∈P;

iii)x∈P且 -x∈P, 則x=θ.

設(shè)P是E中的錐,≤ 是在P定義的半序, 即?x,y∈E,若x≤y,則y-x∈P.若x?y(?x,y∈E) ，則y-x∈intP，若錐P稱為正規(guī)錐的充要條件為如果存在最小的常數(shù) K>0, 使得θ≤x≤y(?x,y∈E)蘊含‖x‖≤K‖y‖ , 其中K為正規(guī)常數(shù).

定義1[1]設(shè)X是一個非空集合. 若映射d:X×X→E滿足

i)θ≤d(x,y)?x,y∈X.d(x,y)=θ. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

ii)d(x,y)=d(y,x)?x,y∈X;

iii)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)?x,y,z∈X.

則稱d是X的一個錐度量. (X,d) 稱為錐度量空間.顯然，錐的度量空間是度量空間的拓廣和延伸

定義2[1]設(shè)(X,d) 為錐度量空間,x∈X且 {xn}n≥1是X中的一個序列. 則

i)若對任意的c∈intP, 存在正整數(shù)N使得對n,m>N,d(xn,xm)?c,則稱{xn}n≥1為Cauchy列.

ii) 若對任意的c∈intP, 存在正整數(shù)N使得對所有的n>N,d(xn,x)?c則稱{xn}n≥1為收斂列;

iii)若X中的每個Cauchy列都收斂, 則稱 (X,d)為完備的錐度量空間.

定義3[3]若f和g是X上的自映射, 如果存在x∈X, 使得w=fx=gx, 則稱x是f和g的疊合點,w 稱f和g點的疊合.

定理1[3]若 f和g是X上的弱相容自映射, 如果f和g有唯一的疊合點w=fx=gx,則w是f和g唯一公共不動點.

引理1 設(shè)(X,d) 為錐度量空間, 則d(x,z)≥d(x,y)-d(z,y) ,?x,y,z∈E.

1 主要結(jié)果

定理2 設(shè)(X,d) 為錐度量空間, 且a1+a2+a3>1,a3≤1+a4,a2≤1+a5,a1+a4+a5>1, 若映射f,g:X→X且滿足如下條件: 對任意的x,y∈X,

d(fx,fy)≥a1d(gx,gy)+a2d(fx,gx)+a3d(fy,gy)+a4d(gx,fy)+a5d(fx,gy)

(1)

其中g(shù)(X)?f(X),f(X)是X上的完備子集, 則f和g在X上有唯一的疊合點, 如果f和g弱相容，則f和g有唯一公共不動點.

證明 任取x0∈X, 由于g(X)?f(X), 故存在x1∈X使得gx0=fx1, 依次類推, 定義序列{xn} 使得

gxn=fxn+1(n=0,1,2,)

(2)

由(2)式得，對于任何一個自然數(shù)n有

d(gxn+1,gxn)=d(fxn+2,fxn+1)≥

a1d(gxn+2,gxn+1)+a2d(fxn+2,gxn+2)+a3d(fxn+1,gxn+1)+a4d(gxn+2,fxn+1)+a5d(fxn+2,gxn+1)=

a1d(gxn+2,gxn+1)+a2d(gxn+1,gxn+2)+a3d(gxn,gxn+1)+a4d(gxn+2,gxn)+a5d(gxn+1,gxn+1)

由d(gxn+2,gxn)≥d(gxn+2,gxn+1)-d(gxn,gxn+1) 得：

(1+a4-a3)d(gxn+1,gxn)≥(a1+a2+a4)d(gxn+2,gxn+1)

(3)

類似的, 對n=0,1,2,…,

d(gxn,gxn+1)=d(fxn+1,fxn+2)≥

a1d(gxn+1,gxn+2)+a2d(fxn+1,gxn+1)+a3d(fxn+2,gxn+2)+a4d(gxn+1,fxn+2)+

a5d(fxn+1,gxn+2)=a1d(gxn+1,gxn+2)+a2d(gxn,gxn+1)+a3d(gxn+1,gxn+2)+

a4d(gxn+1,gxn+1)+a5d(gxn,gxn+2)

由d(gxn+2,gxn)≥d(gxn+2,gxn+1)-d(gxn+1,gxn)得：

(1-a2+a5)d(gxn,gxn+1)≥(a1+a3+a5)d(gxn+1,gxn+2)

(4)

由 (3)和 (4)兩式得：

(2a1+a2+a3+a4+a5)d(gxn+2,gxn+1)≤(2-a2-a3+a4+a5)d(gxn+1,gxn)

由a1+a2+a3>1,a1+a4+a5>1,a3≤1+a4,a2≤1+a5知：

2a1+a2+a3+a4+a5>0,2-a2-a3+a4+a5≥0. 因此,

d(gxn+2,gxn+1)≤kd(gxn+1,gxn)≤k2d(gxn,gxn-1)≤……≤kn+1d(gx1,gx0)

對任意的n>m, 根據(jù)三角不等式得

d(gxn,gxm)≤d(gxn,gxn-1)+d(gxn-1,gxn-2)+…+d(gxm+1,gxm)≤

(kn-1+kn-2+…+km)d(gx1,gx0)≤

于是由k∈[0,1), 可選取自然數(shù)N1使得對任意的c?0,存在δ>0，且Nδ(θ)={x∈E,‖x‖<δ} 使

由f(X) 的完備性, 存在q∈f(X) , 有fxn→q,gxn→q(n→∞) , 且存在p∈X, 使得fp=q.

由(1)式有

d(q,gxn)=d(fp,fxn+1)≥

a1d(gp,gxn+1)+a2d(fp,gp)+a3d(fxn+1,gxn+1)+a4d(gp,fxn+1)+a5d(fp,gxn+1)=

a1d(gp,gxn+1)+a2d(q,gp)+a3d(gxn,gxn+1)+a4d(gp,gxn)+a5d(q,gxn+1)

由于

d(q,gxn)≤d(q,gxn+1)+d(gxn+1,gxn)

d(gp,q)≥d(gp,gxn+1)-d(gxn+1,q)

d(gp,gxn)≥d(gp,gxn+1)-d(gxn+1,gxn)

于是

d(q,gxn+1)+d(gxn+1,gxn)≥a1d(gp,gxn+1)+a2d(gp,gxn+1)-a2d(gxn+1,q)+

a3d(gxn,gxn+1)+a4d(gp,gxn+1)-a4d(gxn+1,gxn)+a5d(q,gxn+1)

因此

(a1+a2+a4)d(gp,gxn+1)≤(1+a2-a5)d(q,gxn+1)+(1-a3+a4)d(gxn+1,gxn)

若1+a2-a5>0 ,對于任意的c∈E, 且c?0 , 存在N, 當(dāng)n>N時, 有

因此,gxn→gp(n→∞),fp=gp=q

下面我們來證明疊合點的唯一性; 假設(shè)存在另一個點u∈X，使得fu=gu

d(gu,gp)=d(fu,fp)≥a1d(gu,gp)+a2d(fu,gu)+a3d(fp,gp)+a4d(gu,fp)+a5d(fu,gp)

d(gu,gp)≥(a1+a4+a5)d(gu,gp)

由a1+a4+a5>1 得,d(gu,gp)=θ, 即gu=gp所以f和g有唯一的疊合點.

如果f和g弱相容, 有定理1得,f和g有唯一的公共不動點.

推論1 設(shè)(X,d) 為錐度量空間, 且α+2β>1,β≤1+γ,α+2γ>1. 若映射f,g:X→X且滿足如下條件:對任意的x,y∈X,

d(fx,fy)≥αd(gx,gy)+β[d(fx,gx)+d(fy,gy)]+γ[d(gx,fy)+d(fx,gy)]

其中g(shù)(X)?f(X) ,f(X)是X上的完備子集, 則f和g在X上有唯一的疊合點, 如果f和g弱相容, 則f和g有唯一公共不動點.

推論2 設(shè) (X,d)為錐度量空間,且a1+a2+a3>1 ,a2≤1+a5,a3≤1+a4,a1+a4+a5>1, 若映射f:X→X,g是恒等映射, 且滿足如下條件:對任意的x,y∈X,

d(fx,fy)≥a1d(x,y)+a2d(fx,x)+a3d(fy,y)+a4d(x,fy)+a5d(fx,y)

則f在X上有一個不動點.

定理3 設(shè)(X,d) 為錐度量空間, 若映射f,g:X→X且滿足如下條件:對任意的x,y∈X,

d(fx,fy)≥λu

(5)

其中

g(X)?f(X),f(X)是X上的完備子集, 則f和g在X上有唯一的疊合點, 如果f和g弱相容，則f和g有唯一公共不動點.

證明 任取x0∈X, 由于g(X)?f(X) , 故存在x1∈X使得gx0=fx1, 依次類推, 定義序列{xn} 使得

gxn=fxn+1, (n=0,1,2,)

(6)

由(6) 式得

d(gxn+1,gxn)=d(fxn+2,fxn+1)

整理得

(7)

則由(6)式得

d(gxn+2,gxn+1)≤kd(gxn+1,gxn)≤

k2d(gxn,gxn-1)≤

……≤kn+1d(gx1,gx0), (n=0,1,2,……)

由定理2的證明可知{gxn} 是(X,d) 中的Cauchy 列.

由f(X) 的完備性, 存在q∈f(X) ，有fxn→q,gxn→q(n→∞) 且存在p∈X, 使得fp=q.且fp=q=gp

下面我們來證明疊合點的唯一性; 假設(shè)存在另一個點u∈X, 使得fu=gu

由(5) 式, 我們考慮以下二種情況

所以由上可知f和g在X上有唯一的疊合點, 如果f和g弱相容, 則f和g有唯一公共不動點.

推論3 設(shè)(X,d) 為錐度量空間, 若映射f:X→X,g是恒等映射, 且滿足條件:對任意的x,y∈X

d(fx,fy)≥λu

(8)

其中

則f在X上有唯一不動點.

注 本文中的定理均不要求映射的連續(xù)性和正規(guī)錐, 改進(jìn)和推廣了文[2]和文[5]的許多結(jié)果.

顯然, 文[2]中定理2.1是定理2的特殊情況, 即g=Ix,a2=a3=a4=a5=0.

文[2]中定理2.5是定理2的特殊情況, 即g=Ix,a2=a3=a4=0.

文[2]中定理2.6是定理2的特殊情況, 即g=Ix,a4=a5=0.

因此, 本文定理2改進(jìn)和推廣了文[2]中的一些結(jié)果. 并且文[2]中的定理和推論都是討論一個映射的不動點情況, 而本文中的定理和推論都是討論兩個映射的公共不動點問題.

文[5]定理1是定理2的特殊情況, 本文定理2拓展了擴張映射的系數(shù)的個數(shù)，由3個拓展為5個.在系數(shù)方面，文[2]和文[5]中討論的是關(guān)于擴張映射一個系數(shù)、2個系數(shù)和3個系數(shù). 而本文拓展了擴張映射系數(shù)的個數(shù), 發(fā)展到了5個. 在內(nèi)容上發(fā)展了前文.本文定理2,推論1, 推論2, 定理3, 拓展了文[2]和文[5]中的一些定理和結(jié)論.

參考文獻(xiàn):

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