擴頻映射編碼中偽隨機序列的性能研究

李蘇陽，全厚德，崔佩璋

（軍械工程學(xué)院，河北 石家莊 050003）

0 引 言

在擴展頻譜技術(shù)中，具有偽隨機特性的序列往往用于生成隨機跳變的調(diào)制信號相位（DS）或者載波頻率（FH），將給定信號的頻譜擴展至占用很寬的頻帶。在越來越多的場合如信道帶寬受限時，擴頻映射編碼具有很高的應(yīng)用價值。美國的聯(lián)合戰(zhàn)術(shù)情報分發(fā)系統(tǒng)（JTIDS）就采用擴頻映射編碼技術(shù)[1]，經(jīng)編碼后，偽隨機序列用于代表消息符號。其相關(guān)特性對于擴頻系統(tǒng)具有重要的意義，這使得碼型選擇顯得尤為重要。為了尋求適合擴頻編碼映射的偽隨機序列，本文介紹了平衡Gold序列、循環(huán)移位m序列和移位正交m序列，并對其相關(guān)特性進行了分析。研究三者作為擴頻碼時的最小碼距及其對糾錯性能的影響，指出碼長、攜帶信息數(shù)和抗干擾能力的關(guān)系。

1 幾種偽隨機序列

1.1 m序列

m序列是最常用的一種偽隨機序列[2]。用于產(chǎn)生m序列的n級線性移位寄存器結(jié)構(gòu)由GF（2）上的n次多項式給出

當(dāng)f（x）為本原多項式，移位寄存器所產(chǎn)生的非零序列即為m序列。n階移位寄存器生成的m序列的周期為N=2n-1。本文主要介紹相關(guān)特性。若m序列是（+1，-1）的二值序列，其歸一化自相關(guān)函數(shù)為

由式（2）可知，隨著m序列長度N的增大，-1/N越接近于0。自相關(guān)函數(shù)越接近于δ函數(shù)，m序列和白噪聲的相關(guān)特性越相似。

圖1 N=31的m序列的自相關(guān)特性

N=31的m序列的自相關(guān)特征見圖1，可以看出尖銳的自相關(guān)峰值很容易區(qū)分m序列與其時間偏移序列（移位序列）。

1.2 循環(huán)移位m序列

利用m序列優(yōu)良的自相關(guān)特性，構(gòu)造一類序列集合[3]。通過碼長為N的m序列在一個周期內(nèi)每次循環(huán)移位C個碼片構(gòu)成一個移位m序列集，集合內(nèi)序列數(shù)目小于N/C的最大整數(shù)。以碼長N=63的某一m序列

為例，取C=3，構(gòu)造的序列集為

其中：

即m序列在一個周期內(nèi)每次循環(huán)移位3個chip構(gòu)成一個新碼集，其中序列數(shù)為N/C。

1.3 移位正交m序列

當(dāng)相位偏移量k=0時，序列集合中各碼字兩兩之間的互相關(guān)值為0，故稱之為移位正交m序列。N=63的移位正交m序列的自相關(guān)特性如圖2所示。可以看出，移位正交m序列具有尖銳的自相關(guān)特性，在相移量k=0時，自相關(guān)函數(shù)值達到最大。

圖2 N=63的正交移位m序列的自相關(guān)特性

1.4 Gold和平衡Gold序列

Gold序列是m序列的復(fù)合碼，它由兩個碼長、碼率都相同的m序列優(yōu)選對模2的和組成。Gold序列具有較好的自相關(guān)和互相關(guān)特性，但是其周期自相關(guān)函數(shù)在非零點也是三值的，這一點不如m序列。Gold序列的相關(guān)特性見圖3。

Gold序列族中的非平衡序列，將產(chǎn)生明顯的直流分量，導(dǎo)致頻譜圖中載波處存在很大峰值，存在載波泄露問題。平衡Gold序列[4]指的是碼字中‘1’的個數(shù)比‘0’的個數(shù)多1的Gold序列。寄存器階數(shù)n為奇數(shù)時，Gold序列族中平衡序列約占50%；n為偶數(shù)時占75%，n為4的倍數(shù)時不存在三值性，也就不存在Gold序列[5]。

2 擴頻映射編碼原理

在擴頻映射編碼中，偽隨機序列用于代表消息符號，調(diào)制后直接發(fā)送，基本原理如圖4所示。擴頻映射碼集由M個長為N的碼字PNj，j=1，2…，M組成，這些偽隨機碼相互正交，分別對應(yīng)k位信息碼的M個狀態(tài)。每個碼字傳輸k=log2M個比特信息。在信息速率一定的情況下，采用擴頻編碼后的系統(tǒng)帶寬僅為傳統(tǒng)擴頻系統(tǒng)的1/k。實際上，擴頻映射編碼是一種（N，k）分組編碼[6]，其為系統(tǒng)帶來擴頻增益的同時，又帶來了編碼增益；因此，在一定的條件下如帶寬受限時，采用擴頻映射編碼可以優(yōu)化誤比特性能。

圖3 Gold序列的相關(guān)特性

圖4 擴頻映射編碼原理圖

2.1 差錯概率分析

通常偽隨機序列不是嚴(yán)格正交，不滿足式（11）所示。但是如果其具有良好的相關(guān)性能，可以近似認(rèn)為它們具有正交性或準(zhǔn)正交性[7]。設(shè)M個擴頻碼PN1（t），PN2（t），…，PNM（t）具有良好的相關(guān)特性

當(dāng)前發(fā)送端根據(jù)信息數(shù)據(jù)d（t）從M個擴頻碼中選擇了偽隨機碼PNj（t）進行擴頻映射。經(jīng)BPSK調(diào)制后的發(fā)射信號為

由于信道中的高斯白噪聲干擾，接收端的接收信號為

式中：n（t）——具有0均值、雙邊功率譜密度為N0/2的高斯白噪聲。

rj（t）經(jīng)載波解調(diào)后分別送入M個使用不同偽隨機碼的解擴相關(guān)積分器。本地相關(guān)器中的解擴信號為

設(shè)當(dāng)前收發(fā)雙方已取得同步，第i條支路的輸出為

i=j時，前一項服從廣義瑞利分布；不相關(guān)時，服從瑞利分布，概率密度函數(shù)分別是

由式（11），得

接收方選定最大相關(guān)輸出的支路，該支路的本地擴頻碼為當(dāng)前時刻的擴頻碼。第j條支路檢測正確的概率為

若n（t）是0均值，雙邊帶功率譜密度為N0/2的高斯白噪聲，則fi（t）正確解調(diào)概率為

則系統(tǒng)誤碼率為

T為PNj（t）的自相關(guān)峰值，則誤比特率為

由式（15）、式（20）及式（23）可以看出，偽隨機序列的相關(guān)特性對于誤比特率具有重要的意義。

2.2 編碼分析

軟擴頻實質(zhì)上是一種（N，k）的分組編碼，其糾錯能力直接與構(gòu)造的碼集的最小碼距d0有關(guān)[8]。二進制（N，k）分組碼中共有2N個可能的比特組合，每一個對應(yīng)碼空間中的一個點。其中2k個組合對應(yīng)著真實碼字，碼字間的最小距離為d0。其他比特組合位于真實碼字周圍的校正球內(nèi)。校正球的半徑為（d0-1）/2，接收碼型只要位于真實碼字的校正球內(nèi)就可以糾正錯誤。這種碼型可以糾正（d0-1）/2個錯誤。經(jīng)計算，上述3種碼型的最小碼距如表1所示。

表1 幾種偽隨機碼集的最小碼距

可見移位正交m序列集和循環(huán)移位m序列集具有同樣的最小碼距d0，略優(yōu)于平衡Gold序列集。

由此可以推斷：在相同信噪比條件下，移位正交m序列集和循環(huán)移位m序列集作為擴頻碼時，系統(tǒng)誤碼率基本相同，而平衡Gold序列集的誤碼率較高。

3 仿真分析

為進一步研究以上3種序列的糾錯性能，建立擴頻映射編碼系統(tǒng)進行仿真分析。數(shù)據(jù)信息經(jīng)串并變換，每k bit映射為一條N長的序列。經(jīng)過BPSK調(diào)制后進入AWGN信道。接收信號與多路的偽隨機序列相關(guān)運算。取最大相關(guān)支路的偽隨機序列進行解擴譯碼，恢復(fù)k bit信息。最后與源數(shù)據(jù)對比，統(tǒng)計誤碼率pb。信噪比為ec/n0dB，ec是序列中單個碼片的能量。

圖5是N=7（移位正交m序列N=8），k=2和N=31（移位正交m序列N=32），k=1時循環(huán)移位m碼和移位正交m碼的誤比特率比較。由表1知，N=7的循環(huán)移位m碼和N=8的移位正交m碼的最小碼距d0=4；N=31的循環(huán)移位m碼和N=32的移位正交m碼的最小碼距d0=16。

由圖5可見，對具有相同最小碼距（d0=4和d0=16）兩組擴頻編碼集合，糾錯特性基本一致，誤比特率幾乎相等，這與編碼分析的結(jié)果一致。故后續(xù)的分析只選取循環(huán)移位m碼作為代表。

圖5 循環(huán)移位m碼和移位正交m碼的糾錯特性

圖6是N=7和N=31的平衡Gold序列和循環(huán)移位m序列的誤比特率（每條偽隨機序列攜帶信息碼元數(shù)k=1）。查表1知，N=7時循環(huán)移位m序列集的最小碼距d0=4，平衡Gold序列集的d0=2。

圖6 k=1,平衡Gold碼和循環(huán)移位m碼的糾錯特性

由圖6可見，循環(huán)移位m序列的性能要優(yōu)于平衡Gold序列。擴頻碼長N=7，誤比特率pb=0.2時，循環(huán)移位m序列比平衡Gold序列節(jié)省4dB左右的功率?？梢妭坞S機序列相關(guān)特性越好，構(gòu)建的擴頻編碼集合最小碼距越大，糾錯性能就越好。另外還可以看到，對同一種碼型而言，k相等時，擴頻碼長N越大糾錯性能越好。

選取N=31的循環(huán)移位m序列。圖7表明，N固定而k增加時，誤比特率逐漸上升。即擴頻因子N/k越大，糾錯特性越強；因此，擴頻因子是衡量系統(tǒng)特性的重要指標(biāo)。

圖7 N=31，k取不同值時，循環(huán)移位m碼的糾錯特性

4 結(jié)束語

本文介紹了平衡Gold序列、循環(huán)移位m序列、移位正交m序列的概念、性質(zhì)和構(gòu)造方法，說明平衡Gold序列、循環(huán)移位m序列、移位正交m序列具有良好的相關(guān)特性。并計算了3種碼型集合的最小碼距，分析擴頻映射編碼的糾錯原理和方法，對上述3種碼字的糾錯能力進行了比較，說明了擴頻碼長N、信息比特數(shù)k和誤比特率pb的關(guān)系。

相比于平衡Gold序列，循環(huán)移位m序列和移位正交m序列更加優(yōu)越。從本文的研究可以看出，m序列及其位移序列編碼技術(shù)具有構(gòu)造較為方便、抗干擾能力強等方面的諸多優(yōu)點。

[1]申振寧，曾興雯，周子琛，等.JTIDS系統(tǒng)仿真與性能分析[J].計算機仿真，2005，22（2）：23-25.

[2]陳海龍，李宏.基于Matlab的偽隨機序列的產(chǎn)生和分析[J].計算機仿真，2005，22（5）：98-100.

[3]段少華.準(zhǔn)同步CDMA及其新擴頻碼設(shè)計[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2000，22（8）：37-40.

[4]張怡，楊舸，蔡毅.基于編碼擴頻的DS/FH混合擴頻同步技術(shù)研究[J].計算機測量與控制，2010，18（2）：428-481.

[5]楊曉，楊凱.基于Matlab的擴頻序列碼仿真實現(xiàn)[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2005，23（3）：568-572.

[6]曾孝平，王宇峰，劉勁.軟擴頻技術(shù)及其編碼與性能分析[J].重慶郵電學(xué)院學(xué)報，2001（6）：22-25.

[7]褚振勇，應(yīng)小凡，田紅心，等.一種雙正交循環(huán)碼M元擴頻接收機性能分析[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報，2004，31（6）：850-854.

[8]Proakis J G.Digital Communications[M].New York：Mc-Graw Hill，2001.