關(guān)于A-G的幾個不等式

周美秀,張小明

(1. 浙江廣播電視大學 開放與遠程教育研究院，浙江 杭州，310030； 2. 浙江海寧電大，浙江 海寧， 314400)

關(guān)于A-G的幾個不等式

周美秀1,張小明2

(1. 浙江廣播電視大學 開放與遠程教育研究院，浙江 杭州，310030； 2. 浙江海寧電大，浙江 海寧， 314400)

為加強或加細幾個著名的算術(shù)-幾何不等式,研究用方差來估算兩者的差，并利用一個統(tǒng)一的證明模式，加強或推廣這些結(jié)果.

算術(shù)平均;幾何平均;最值壓縮定理;不等式

0 引 言

不加特殊說明，本文都設(shè)

通過對均值差的估計, 加強或加細著名的算術(shù)-幾何-調(diào)和平均值不等式

H(w,a)≤G(w,a)≤A(w,a)

(1)

是不等式理論研究的熱點之一.

(2)

和

文獻[2][3]中有

(4)

和

(5)

文[4][5]中的結(jié)果等價于

(6)

文[6]中有

(7)

文[7]把式(4)和(7)分別加強為

(8)

和

(9)

在文[14], Alzer H證明了

(10)

(11)

本文將以統(tǒng)一的方法加強或推廣以上式(4)-(7)和式(10)、(11)，其中的結(jié)果也與(8)、(9)不分強弱，但形式比其簡潔.

1 有關(guān)引理

以下都設(shè)集合D?Rn是有內(nèi)點的對稱凸集，對于i=1,2,…,n，記

和

若對引理1進行函數(shù)變換可得引理2和引理3，詳細證明見參考文獻[9].

證明設(shè)

lnIn={lna=(lna1,lna2,…lnan)|a∈In}，g:y∈lnIn→f(ey1,ey1,…,eyn)，

則

□

引理3證畢.

□

2 A(a)-G(a)的幾個上下界

定理1

(12)

即

(13)

則有

和

此即為(12)的右式.

(13)的左式為同理可證，在此略.定理1證畢.

□

此即為式(4). 對于一般的wi(i=1,2,…,n)，由于無理數(shù)是有理數(shù)的極限，所以式(4)仍成立.

定理2

(14)

即

(15)

有

和

□

同理可證(14)的右式，在此略.

(16)

證明設(shè)

則有

□

定理4

(17)

和

□

同理可證(17)的右式，本文在此略. 定理3證畢.

采用評注1中的證明方法，由定理4，易知推論1成立.

推論1

(18)

評注4 式(18)強于式(5).

3 Alzer H的一個不等式加強

rA(a)+(1-r)H(a)≥G(a).

(19)

證明若n=2，命題易證成立.下設(shè)

其中q>r.則

和

qA(a)+(1-q)H(a)-G(a)≥0.

再令q→r，知定理5成立.

□

所以說式(19)強于式(10)(11).

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SeveralInequalitiesaboutA-G

ZHOU Mei-xiu1, ZHANG Xiao-ming2

(1. Open and Distance Education Research Institute, Zhejiang Radio&Television University, Hangzhou 310030, China;2. Zhejiang Radio & Television University Haining College, Haining 314400, China)

To strengthen and refine some famous arithmetic-geometric inequalityies, this paper used variance to estimate the difference between the two, strengthen or popularize these results with a unified proof mode .

arithmetic mean; geometric mean; compressed independent variables theorem; inequality

2012-04-20

周美秀(1969—)，女，教授，主要從事微分方程研究.E-mail:zwy950120@163.com

11.3969/j.issn.1674-232X.2012.05.009

O122.3MSC2010: 26D15

A

1674-232X(2012)05-0426-07