張赤軍
(中國科學(xué)院測量與地球物理研究所,武漢 430077)
關(guān)于Bowin公式的應(yīng)用與思考*
張赤軍
(中國科學(xué)院測量與地球物理研究所,武漢 430077)
對于地球表面的重力g和大地水準(zhǔn)面起伏N,可以用各階球函數(shù)之和來表達(dá)[1,2],而具體的那一階(n),可分別用gn和Nn表示,且
將式(1)除以式(2)得:
式中,G為萬有引力常數(shù),M為地球質(zhì)量,R為地球平均半徑,ae為地球赤道半徑,9.8 ms-2是地球平均重力值,Cnm、Snm為n階m次地球位球諧系數(shù),可由人造衛(wèi)星和地面測量資料推算獲得,用它們可描述重力場場源物質(zhì)分布的不規(guī)則性,由此人們可對地球物理問題進(jìn)行解釋或推測,Pnm(sinφ)為締合勒讓德多項式。
Bowin認(rèn)為:若波長為λ,則它可以與某個階的球函數(shù)相聯(lián)系,并可取近似式λ=2πR/n代替,對于特別低的低階球函數(shù)分量,這些波長如此之大(例如4階大約是10 000 km),以至它們對可能引起的場源深度提供有限約束。然而把方程(3)的點質(zhì)量源和上面測得的g/N聯(lián)系起來后,就有了比較嚴(yán)格的約束。他還認(rèn)為在一個點質(zhì)量的正上方,平坦地球與球形地球的g/N值完全相同,即:
每一階的等效點質(zhì)量深度為:
式(5)稱為Bowin公式。
由上可見,任何階的位系數(shù)對重力和大地水準(zhǔn)面的貢獻(xiàn)各自有一定的比值,它能與某一深度(在地球半徑的某個分?jǐn)?shù)處)的點質(zhì)量產(chǎn)生的比值g/N相關(guān)。
從式(1)、(2)可知,凡能滿足用式(1)描述的場源方程,也都能滿足式(2),只不過一個用n階球函數(shù)的重力方程,而另一個則用n階球函數(shù)的大地水準(zhǔn)面的方程,當(dāng)n一經(jīng)選定后,它們的比值也就一定,因此式(3)的值隨n而變,在對n階求和后的g (重力)和N(大地水準(zhǔn)面)也是定值,歸根到底,由于它們屬于同一場源。
自Bowin公式發(fā)表后即得到了應(yīng)用,并解釋或探討了一些有關(guān)地質(zhì)地球物理問題,也取得一些有益結(jié)果。
其一,可觀察的事實是:由4~10階的大地水準(zhǔn)面可反映出核幔的起伏和板塊會聚帶位置,這是以實驗為依據(jù)對理論上的一個重要證明。
其二,如果在核幔邊界存在巨大的異常質(zhì)量,則它的貢獻(xiàn)有79%在低階球函數(shù)系數(shù)(包在2~3階的在內(nèi)),他認(rèn)為:地球內(nèi)的十個主要大地水準(zhǔn)面異常中就占七個,其中最大幅值是由2~3階引起的。
其三,對于金星,則與地球的情形不一致,對此,他認(rèn)為:用低階項計算的大地水準(zhǔn)面顯示出表面形狀的特征。
文獻(xiàn)[4,5]在已知核幔密度差及不考慮其他因素影響前提下,根據(jù)Bowin公式探討了核幔邊界的起伏,將之與地震波(PcP)的結(jié)果進(jìn)行比較,兩者比較接近。
Bowin公式的推導(dǎo)是正確的,這是在同一場源條件下取得的,可以用之推求有關(guān)問題。Bowin認(rèn)為這是以實驗為依據(jù)對理論上的一個重要證明,但以什么樣的實驗為依據(jù)似應(yīng)補充說明。
第二,是不是擾動位的2、3、4階項僅僅反映核幔邊界密度不均勻分布?如果按文獻(xiàn)[4]的解釋,它與1987年Morelle等人[5]由PcP所得的結(jié)果相差較大。例如前者的最大最小值在1.7km之內(nèi),而由層析成像得到的結(jié)果在5 km之內(nèi),但他于1989年用濾波法得到的結(jié)果卻為15 km,該值已接近地表地形的結(jié)果,這似乎不太可能,不過Buchbinder Geotz G R曾于1968年提出:沒有證據(jù)表明這一起伏會超過5 km[6]。
第三,近年來查閱若干有關(guān)信息,幾乎沒有發(fā)現(xiàn)研究核幔邊界起伏的新文章,至于用衛(wèi)星重力位系數(shù)研究地幔密度異常分布的文章也沒有見到,不過研究核幔動力學(xué)方面則比較多。作者認(rèn)為:只有當(dāng)?shù)卣饠?shù)據(jù)日益增多之后,通過核幔邊界的地震反射和折射波形比較清晰的情況下,才能對核幔邊界的形狀密度差做出較為明確的結(jié)論。當(dāng)然,在顧及其他因素之后,也需重視擾動重力位在研究核幔起伏中的作用。
第四,Bowin公式在青藏地區(qū)并不適用。去年我們在青藏高原大地水準(zhǔn)面異常場源效應(yīng)時,也探討了異常源的問題,卻沒有采用Bowin公式,這是因為:當(dāng)n=100時,如按照公式(5),可得到離地面的深(厚)度為65 km,這與當(dāng)今人工地震測深結(jié)果相近,而從公式(3)可知,只有當(dāng)gn和Nn同號時,其比值才為正,可惜在這里卻出現(xiàn)了矛盾。因為實際情況是,在青藏高原(有代表意義的中部)的空間異常為正(+20×10-5ms-2左右),高程異?;虼蟮厮疁?zhǔn)面起伏是負(fù)值(-30 m左右)[6,7]。按上述規(guī)定,則該值為負(fù),并由此可推得異常質(zhì)量或異常密度為負(fù),這與實際結(jié)果相悖,因為無論從巖石取樣或人工地震的數(shù)據(jù),都證明青藏高原的地殼不存在低密度層,而低密度層在距地面200 km以下[8]。其原因在于地球內(nèi)部的各層密度分布不僅不均勻,而且相鄰界面之間正負(fù)的異常密度,有互相抵消的作用,乃至產(chǎn)生以大的正(值)抵壓小(值)或是相反的現(xiàn)象。因此在這種情況下,用地表擾動位(包括重力異常、大地水準(zhǔn)面起伏)資料作反演,是不可能得到正確結(jié)果的,即使假定內(nèi)部點的擾動位滿足重調(diào)和方程,其結(jié)果也是不正確的,因為這就意味著地球內(nèi)部密度呈調(diào)和分布,文獻(xiàn)[9]已經(jīng)證明這是不符合實際的理論。
從整體上看,地球內(nèi)部密度的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生在諸多物理因素之中,它包括溫度、壓力、體積、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、剛度、彈性等等,因此今天人們試圖徹底了解整體地球的密度分布幾乎是不可能的。當(dāng)然,前人通過理論分析、觀測和實驗,在這方面做了有益的研究和探索[10-12],至于地球內(nèi)存在不少徑向和側(cè)向密度的界面、縱橫交錯的斷層、空洞,以及內(nèi)部物質(zhì)又在不停地運動之中,如用一些簡單的數(shù)學(xué)模型來刻畫地球內(nèi)部密度的三維、四維分布,則更難以想像?,F(xiàn)僅用下例來說明:
假定有ρu=ρw-dρ,其中ρw、ρu分別為地球的真實和正常密度,若dρ滿足調(diào)和分布的條件,即Δdρ=0時,則有[9]:
式中r為一點在球坐標(biāo)中的向徑,θ、λ分別為該點的余緯和經(jīng)度,R為球的半徑,對地球而言,就是它的平均半徑,現(xiàn)對上式進(jìn)行討論。
眾所周知,地球密度ρw的分布極為復(fù)雜,r處的ρw分布,可用該面上的球諧函數(shù)來表達(dá),當(dāng)r變化時,面球諧函數(shù)也跟著變化;函數(shù)Fn(r,θ,λ)的分布與Fn(R,θ,λ)的分布相似,但前者的幅度隨r的減小而變小,且隨(r/R)n中的n的增高而衰減。對真實地球而言,它的密度ρw,則隨r的減小而增大。但Fn(r,θ,λ)隨r減小而減小,直至為零。因此對上式中的系數(shù):、無論怎么去選取,僅憑表面上的Fn(r,θ,λ)和(r/R)n的數(shù)值,也無法改變(抵消)球內(nèi)r點處的密度ρw在經(jīng)度方向上不均勻分布的狀態(tài)。只有在假設(shè)Δdρ=0的條件下,才能得到正常密度在經(jīng)度方向上存在著不均勻性的分布,這時才有正常引力位與經(jīng)度相關(guān)的結(jié)論,不過這與既有的規(guī)則或慣用的事實是不符的。因此,Δdρ=0的假設(shè)不能成立,且dρ不可能是連續(xù)函數(shù)。
應(yīng)當(dāng)指出,Bowin公式(1)~(5)的推導(dǎo)是正確的,它只是在同一場源情況下推得的,對于多個場源就不可能得到該公式,更為重要的是重力反演存在多解性,因地球表面測得的結(jié)果是地球內(nèi)部眾多場源的反映。在一點上不管測多少個擾動位派生出的數(shù)據(jù),如位、重力、及其若干階的導(dǎo)數(shù)等,而眾多個場源是分解不出來的,當(dāng)然重力在地球物理解釋中的約束作用也不可缺少,因為它從一個側(cè)面反映了地球的總質(zhì)量,及其平均結(jié)果。
1)擾動位、重力異常及它們的各階導(dǎo)數(shù)都屬于同一類的重力場資料,只是表現(xiàn)形式不同,而由重力場資料無法取得唯一的反演結(jié)果,但它在地球物理解釋中可起到約束的作用,它從一個側(cè)面反映了地球物質(zhì)的總量,及其平均密度等,即使對地球內(nèi)部給予一些附加條件,也不可能用一個簡單的數(shù)學(xué)模式來描述其內(nèi)部真實密度的分布。
2)現(xiàn)今人們一般用地球重力位的階數(shù)來研究重力場及其派生物在球面上的分辨率,至于可否用它來劃分場源的深度,倒是值得討論的問題;可否用它來求解核幔的起伏,也需要進(jìn)一步探討;而重力場的4-10階位系數(shù)是否與板塊匯聚的位置有關(guān)也是需要進(jìn)一步研究的。
待將來地震數(shù)據(jù)日益增多,核幔邊界的反射和折射波形相當(dāng)清晰且分析方法更為先進(jìn)的情況下,才能對核幔邊界的起伏得出有效而明確的結(jié)論。
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2012-04-23
張赤軍,男,研究員,從事大地測量與地球重力學(xué)研究.E-mail:iggzhangcj@sohu.com