《九章算術(shù)》中的運動學(xué)題例剖析*

李伯川，化存才，趙奎奇

(1.云南農(nóng)業(yè)大學(xué)思想政治理論教研部，云南昆明650201;2.云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南昆明650092)

《九章算術(shù)》成書于公元1世紀(jì)(西漢至東漢年間)，為漢代張蒼等輯撰，是中國古代以至東方的第一部自成體系的綜合性數(shù)學(xué)著作，它匯總了中國先秦至漢代的數(shù)學(xué)成就，是中國數(shù)學(xué)體系確立與數(shù)學(xué)特點形成的核心標(biāo)志，代表了當(dāng)時東方應(yīng)用數(shù)學(xué)的最高成就。全書共收有246個數(shù)學(xué)問題，分為九章。分別為“方田”、“粟米”、“衰分”、“少廣”、“商功”、“均輸”、“盈不足”、“方程”和“勾股”。對《九章算術(shù)》在數(shù)學(xué)方面的貢獻和歷史地位，已有很多研究者作過充分的研究和判斷，在此不再贅述。我國當(dāng)代數(shù)學(xué)史家嚴(yán)敦杰先生的評價是“若把‘原本’比‘算術(shù)’，此中翹楚是《九章》”，這一評價是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

本文主要是針對《九章算術(shù)》均輸章和勻不足章所涉及的運動學(xué)題例進行剖析，結(jié)合劉輝注釋分析其解法，分析揭示理性思維及其在數(shù)學(xué)思維中的缺陷。

一、《九章算術(shù)》中所包含的運動學(xué)題例概況

《九章算術(shù)》采用例題的形式講解數(shù)學(xué)，這些例題來源于人們的日常生活，其中的一部分就包含了今天我們稱之為“運動學(xué)”的題例?！毒耪滤阈g(shù)》中的“均輸章”有7例，“勻不足”章有4例，按今天的運動學(xué)分類來說，它們包含了勻速 、變速、單體和雙體、同向和相向運動問題，具體情況表1所示。

表1《九章算術(shù)》運動學(xué)題例分類

通過表1可以明確地看出，在均輸章中只能解運動問題，且僅是勻速運動問題，其所求解的問題單一;而在盈不足章中主要求解變速運動問題，同時它也可以解勻速運動問題，可以求解2個問題，其中最多也就是兩個問題。同時，在兩章中只有均輸章有1題是關(guān)于求解速度問題(日行幾何?)，它反映出了當(dāng)時人們對于運動類問題所主要關(guān)注的是路程(s)和時間(t)。

二、題例解法的比較分析

(一)“均輸”章運動問題解法

均輸，字義為分?jǐn)偛⑦\輸，在此是用復(fù)雜的配分比。本章的7個運動方面問題都是直線往返運動，不考慮曲線運動。其算法都是根據(jù)題意將算式直接寫出，沒有今天的推導(dǎo)過程，在全書中亦沒有清晰地交待關(guān)于運動的基本概念:路程、速度、時間。從例題中看，對于“路程=速度x時間”關(guān)系是明白的，而且可以做變換。對比今天的運動學(xué)分析，它沒有給出運動模型。下面以表2中所示第14例題為例進行剖析。

從表2可以看出，題例直接給出答案和算法，算式是算法的數(shù)學(xué)表達。而就如何得出這個算式(算法)的邏輯推導(dǎo)環(huán)節(jié)則沒有，也沒有預(yù)先的交代，這種演算過程被“神秘化”了。其實，它的解答過程是靠人的直覺完成的?！熬敗闭碌?個題例有7種算法，實為7種樣式，它們就是把這種直覺模式化，后人只需“依葫蘆畫瓢”就行了。均輸章中的題例都是勻速運動，在運動類型中是比較簡單的類型，這說明僅依靠直覺來解題是有限度的。

表2“均輸”章運動問題解法舉例［1］

(二)“盈不足”章運動問題解法

在“盈不足”章中給出了勻不足解法的基本原則。盈不足的算法是:“列出所出率，盈，不足之?dāng)?shù)各在其下方。令盈，不足數(shù)與所出率交叉相乘，所得數(shù)相加作被除數(shù)。將盈，不足之?dāng)?shù)相加作除數(shù)。除數(shù)除以被除數(shù)得一結(jié)果。若有分?jǐn)?shù)，要通分。盈，不足若與”同買物”相關(guān)，列出所出率，以少減多，用所得余數(shù)去約除數(shù)，被除數(shù)。被除數(shù)約后為物價，除數(shù)約后為人數(shù)。另一種算法是:將盈，不足相加作被除數(shù)。用所出之率以少減多，余數(shù)為除數(shù)。以除數(shù)去除被除數(shù)得結(jié)果人數(shù)。用所出之率乘結(jié)果人數(shù)，減盈數(shù)或加不足數(shù)，即得物價。”［1］

在勻不足章中例10為勻速問題，從物理學(xué)的角度看，應(yīng)該將例10歸入均輸章。由于題型設(shè)計原因，在此卻是以數(shù)學(xué)的原則歸入“盈不足”章。其余三例為變速問題:也是一種勻變速，但是并非今天物理學(xué)中的勻變速運動。例19與現(xiàn)代運動學(xué)中的勻變速運動一致，只是沒有使用勻加速度概念。例11和例12按今天的運動學(xué)理論為非勻變速運動，然而，其速度變化仍是有規(guī)則的，是按指數(shù)形勢變化①沒有瞬時速度概念，速度變化在此是突變的，而在同一天中速度又是不變的，反映出把變轉(zhuǎn)換成不變的一種技術(shù)思維和技巧。。通過這三個題例，說明即便不用現(xiàn)代加速度概念也可以解決變速運動的某些問題，且其處理的運動類型超出了今天物理學(xué)處理的勻變速運動范圍。當(dāng)然，這種對變速運動的處理是“粗糙的”。

表3“盈不足”章運動問題算法舉例［1］

在這里，盈不足法是這類題例的邏輯起點，通過盈不足法先算出兩鼠相遇的時刻，往往不是一個整數(shù)，由于題例一般設(shè)計的數(shù)值不大，后面可以用列舉法算出最終結(jié)果。在《九章算數(shù)》中古人往往只給出了盈不足算法，后面的計算被省略了。在總體上，盈不足法給出了通用公式，邏輯上更順暢，也更容易理解，它使一個更為復(fù)雜的問題變得更“簡單”了。由于有了“盈不足法”的邏輯起點，使這類題例的計算“似乎”更有邏輯性，也更容易把握。

“盈不足”術(shù)給出的經(jīng)驗公式在計算上較為簡便，比較今天物理學(xué)分析過程計算，它也有優(yōu)勢?？紤]到“盈不足”術(shù)不僅僅運用在運動學(xué)中，其它題例也用此法。在此，我們認(rèn)為，它更多的是一種數(shù)學(xué)的計算技巧，而不是一種物理的必然。這樣就不難理解，此法在解決變速運動問題時表現(xiàn)出來的局限性，它要求一定要給出運動速度，都是兩體問題，能夠預(yù)先計算出盈和不足，即:先要有一個猜測(即假設(shè))，其題例必然有一定限制。同時說明，沒有必要去探討這種算法的物理意義。

這里值得指出的是，“盈不足”術(shù)對變速運動的處理，在當(dāng)時并沒有運動學(xué)的理論，它所遵循的是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的原理，卻也得到與今天物理學(xué)理論幾乎一致的結(jié)果，這是一個巨大的進步。在西方，直到伽利略時期，才對變速運動給出正確的解法。

總體上說，無論是均輸章，還是盈不足章，其對運動學(xué)題例的解法都與我們今天的運動學(xué)方法不同。二者的解法都是建立在直覺的基礎(chǔ)上的，并沒有區(qū)分運動的類型，其“均輸”與“盈不足”的劃分本身就是以其算法差異所做的劃分，而非“運動”這種自然現(xiàn)象的劃分。

三、結(jié)論與評議

(一)沒有建立一套關(guān)于運動學(xué)的概念框架體系

科學(xué)的理性思維需要相應(yīng)的一組概念框架來進行表達?！叭绻麤]有適當(dāng)?shù)母拍羁蚣?，科學(xué)研究要么是盲目的，要么是毫無成效的”，“好的概念框架是所有科學(xué)之基本的漸增要素”。［2］在《九章算術(shù)》中，雖然存在著數(shù)學(xué)的“算”的邏輯和相關(guān)的概念，但是，對運動學(xué)的距離、速度、時間都沒有清晰的說明，運動問題就是數(shù)學(xué)(實為算數(shù))的一個題例，它并沒有對其進行專項的、分門別類的研究，也沒有構(gòu)建出專有的概念，其使用的基本上是“自然概念”。這種自然概念來源于經(jīng)驗常識，符合人們的直覺，沒有嚴(yán)格的定義，且自然概念是零碎的、相互之間沒有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，即沒有組建成一個邏輯完整的概念體系。這在整個中國傳統(tǒng)科學(xué)思想上是一個常態(tài)，而非數(shù)學(xué)或運動學(xué)所獨有。

造成這一現(xiàn)實的原因在于:中國文化傳統(tǒng)中哲學(xué)思辨的缺失，這種缺失形成了對問題的遮蔽。如我國古人在(漢)《尚書緯考靈矅》中早就有了這樣的認(rèn)識:“地恒動不止，而人不知。譬如人在大舟中，閉牖而坐，舟行而人不覺也”，［3］他與伽利略在《兩大世界體系的對話》中關(guān)于運動相對性的闡述是幾乎一致的，且時間更早;然而，時至今日，人們卻只能把發(fā)現(xiàn)運動的“相對性原理”的榮耀歸之于伽利略。今天的人們對此略知一二的也是微乎其微。

可以看出，在《九章算術(shù)》成書年代以及后來相當(dāng)長時期內(nèi)，我國都沒有把運動現(xiàn)象當(dāng)作一個明確的研究對象，沒有對其進行科學(xué)分類、沒有構(gòu)筑統(tǒng)一相關(guān)的理論體系、沒有提出特定的理論概念(使用停留于自然的或常識的概念)，即:沒有構(gòu)建出關(guān)于運動學(xué)的概念框架體系。而那些大量的、零散的、片段的認(rèn)識不足以構(gòu)建一個完整的理論體系 ，還完全停留在經(jīng)驗常識的基礎(chǔ)上。

自然概念是以經(jīng)驗常識為基準(zhǔn)的，而科學(xué)概念則是以理論為基準(zhǔn)的。科學(xué)家的任務(wù)就是要把豐富生動的“感性世界轉(zhuǎn)化為干巴巴的術(shù)語和公式，后者構(gòu)成科學(xué)產(chǎn)品?！保?］自然概念是科學(xué)思維最初的也是最原始的出發(fā)點，而其能發(fā)展到最后處就是科學(xué)概念?？茖W(xué)的功勞在于:它對自然概念的超越，只有在理性思維從自然概念發(fā)展為科學(xué)概念時候，科學(xué)的理性思維才具有內(nèi)在的自我發(fā)展的邏輯力量，并最終發(fā)展出科學(xué)理論來。停留于自然概念的，還不能稱之為科學(xué)理論。

(二)重視結(jié)果而不重視得到結(jié)果的邏輯過程，使數(shù)學(xué)思維未能很好地展開，也約束了理性思維的發(fā)展

《九章算術(shù)》的完成標(biāo)志著中國數(shù)學(xué)體系的形成，其以“算”為中心的特色，邏輯結(jié)構(gòu)和邏輯構(gòu)造與西方“概念論證”邏輯體系有較大的差別。而劉徽注《九章》，使《九章算術(shù)》數(shù)學(xué)體系有了嚴(yán)密的理論依據(jù)?！皠⒒瞻崖实母拍詈屠碚撟鳛闃?gòu)建《九章》理論體系的邏輯起點，各章諸術(shù)的注文，其理論闡述都是奠定在這個理論基礎(chǔ)之上?！保?］劉徽提出率的三種等量變化:“乘以散之、約以聚之，齊同以通之。”［5］可見，“率”的概念和理論是《九章》乃至中國算學(xué)構(gòu)造數(shù)學(xué)理論體系的邏輯起點，這是一種“算”的邏輯。雖然這種邏輯也有其上升和遞進的邏輯軌道，但是，劉徽與西方數(shù)學(xué)以“論證為中心”的邏輯演進軌道不一致。

論證或證明是對邏輯概念的操作過程，證明的前提是對概念的清晰定義以及概念之間邏輯關(guān)系、邏輯規(guī)則的約定。而在中國，“算”的理念中這類邏輯是不必要的。沒有對概念的清晰定義，沒有概念框架體系，這種概念操作就不可能存在。概念框架的缺失與中國算學(xué)沒有“證明”的追求形成了一種“惡循環(huán)”。正因為如此，在中國最早才稱“數(shù)學(xué)”為“算學(xué)”或“算術(shù)”。因此，在最需要邏輯的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，數(shù)(算)學(xué)的邏輯就缺失了。這也說明，在中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維中沒有對概念邏輯進行操作的習(xí)慣，而這個缺失，也延伸到了對計算方法的解釋。

這種邏輯的缺失也具體地反映到《九章算術(shù)》中的“均輸”章和“勻不足”章的運動學(xué)題例。對運動題例計算的邏輯過程不夠明晰，依賴于直覺，未能揭示出計算的“理由”，有的只是一種技術(shù)性的計算“技巧”。由于只重視結(jié)果，故長期以來，國人從沒有去追尋如此計算的理由，在其中更是有意和無意地將這種技巧“神秘化”。沒有清晰的邏輯過程，結(jié)果的得出就變得很神秘，是不利于學(xué)科的發(fā)展的。給出計算的算法，而沒有給出要如此計算的理由，需要學(xué)習(xí)者自己領(lǐng)悟內(nèi)在的機理。而這個方法并不是運動學(xué)某種特定的計算方法。結(jié)果，這種計算的技術(shù)就不能明述，全靠領(lǐng)悟。

另外，只重視結(jié)果導(dǎo)致對其運動過程不關(guān)注，沒有把這些運動過程具體的、形象的展示出來，對過程的不清楚和不追尋，也阻礙了對運動問題的認(rèn)知，沒有把運動的問題作為一個獨立的對象進行歸納、總結(jié)。這樣，對運動學(xué)討論停留在粗糙的一般(直觀感性)認(rèn)識中，沒有進一步提升。

這種只要結(jié)果不要過程的計算模式，也直觀地反映在我國偉大計算工具發(fā)明方面:算盤。利用算盤進行珠算運算，最終保留的只是一個結(jié)果，而把計算的每一步都及時的“刪除”了。在此，邏輯思維的過程再次被“壓縮”和“隱藏了”，當(dāng)然也就變得神秘了。

(三)用案例闡述內(nèi)容形成特有的教學(xué)形式，例題來源于日常生活，有趣味性，形成我國實用的思維傳統(tǒng)

趣味是最好的老師。特別是在初等教育中，保持趣味性就是最好的教學(xué)方法。九章算術(shù)運動學(xué)這幾個題例來源于日常生活，沒有那種抽象，且充滿了生活的氣息，這是很值得初等教育者學(xué)習(xí)的地方。

以案例的形式來進行教育活動，既是它的特點，也是它的缺點。作為“翹楚”的《九章算術(shù)》，它的案例教學(xué)模式形成了我國傳統(tǒng)科學(xué)教育的方式，同時又直接影響了我國科學(xué)思維的發(fā)展道路，在增強學(xué)習(xí)的實用性方面具有較大的影響，這種實用性也助推了學(xué)習(xí)的功利化傾向。像古希臘人那種對純思維快感的追求，以及在近代出現(xiàn)的為科學(xué)而發(fā)展科學(xué)的純科學(xué)思維，在中國廣袤大地上是沒有生長的土壤的。追求科學(xué)真理讓位于追求自然的功效，“有用才是真理”是中國自古至今的社會邏輯。它對邏輯思維和抽象理性的發(fā)展必然帶來某種抑制。最直接的就是思維未能從日?，F(xiàn)象中獲得進一步的提升，因為這種思維抽象過程在開始時以致在相當(dāng)長的時間內(nèi)，都是沒有實際功用的。

運動學(xué)是近代自然科學(xué)發(fā)展的起點。在中世紀(jì)相關(guān)成果基礎(chǔ)上，伽利略通過斜面實驗，把數(shù)學(xué)與實驗結(jié)合，在對運動問題研究中，數(shù)學(xué)有了具體的運用，也開創(chuàng)了近代以來人類對自然過程的數(shù)學(xué)化認(rèn)識路徑。通過數(shù)學(xué)，自然過程才成為可以精確計算和測量、可以預(yù)測、并精確推導(dǎo)的。對運動的研究是人類第一次對自然過程具體、精確的把握。《九章算術(shù)》運動學(xué)題例，也反映出數(shù)學(xué)在早期運動學(xué)研究中的作用，這種結(jié)合與西方古代基本上是同步的。然而《九章算術(shù)》并未能在后世中發(fā)展出中國體系的運動學(xué)來，實為憾事。

［1］張蒼等輯撰.九章算術(shù)［M］.曾海龍，譯.重慶:重慶大學(xué)出版社，2006.

［2］［美］巴伯.科學(xué)與社會秩序［M］.北京:生活、讀書、新知三聯(lián)書店，1991:13.

［3］戴念祖，老亮.中國物理學(xué)史大系·力學(xué)史［M］.長沙:湖南教育出版社2011:181.

［4］陳嘉映.哲學(xué)·科學(xué)·常識［M］.北京:東方出版社，2007:131.

［5］郭金彬，孔國平.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想史［M］.北京:科學(xué)出版社，2007:104.