利用對稱性簡化多元積分運算技巧探析

張 野 (公安消防部隊昆明指揮學校訓練部文化教研室，云南 昆明 650208)

賈衛(wèi)華 (遼寧科技學院學報編輯部，遼寧 本溪 117004)

利用對稱性簡化多元積分運算技巧探析

張 野 (公安消防部隊昆明指揮學校訓練部文化教研室，云南 昆明 650208)

賈衛(wèi)華 (遼寧科技學院學報編輯部，遼寧 本溪 117004)

多元積分的計算是高等數(shù)學的一個重點，也是難點。在總結(jié)了二重積分、三重積分、第一類型的曲線積分和曲面積分的一般計算方法的基礎(chǔ)上，著重討論如何利用對稱性來簡化多元積分的運算技巧。

二重積分；三重積分；對稱性

積分學是高等數(shù)學學科中一個重要的組成部分，根據(jù)一元函數(shù)的定積分的幾何意義，可以得到一種解題技巧—利用函數(shù)對稱性[1]求解:

若函數(shù)f(x)在其對稱的定義域區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，則：

同理，二重積分、三重積分、第一類曲線積分和曲面積分中也可以應用對稱性質(zhì)，這些對稱性質(zhì)與定積分比較有共性性，也有對稱性本身的特性；在大學專業(yè)數(shù)學課本中很少提及，但是在一些升本、考研等考試中卻不乏出現(xiàn)。通過找共性和特性，找出相應的規(guī)律后，對積分求解問題有很大的幫助。

1 n重積分的概念

設(shè)n元函數(shù)f(x1,x2, …，xn)定義在n維可求體積的區(qū)域V上。如二元積分概念，通過對V的分割、近似求和、取極限的過程，便得到n元積分的概念：

(1)

與二重積分相仿，n重積分也有如下一些結(jié)論：

若f(x1,…,xn)在n維有界閉區(qū)域V上連續(xù)，則n重積分(1)必存在。

當V由不等式組a1≤x1≤b1，a2(x1)≤x2≤b2(x1),…,an(x1,…,xn-1)≤xn≤bn(x1,…,xn-1)表示時，則有：

2 利用對稱性優(yōu)化二重積分的計算

根據(jù)被積函數(shù)不同的奇、偶性和不同的積分區(qū)域，應用對稱性質(zhì)分別用下述3個命題[2]可以對二重積分進行簡化計算。

命題1假設(shè)被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的:

命題2假設(shè)被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的，且D關(guān)于原點對稱(D1、D2為D關(guān)于原點對稱的2部分區(qū)域)，則:

命題3假設(shè)被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的，且D關(guān)于直線y=x對稱，則：

式中,D1,D2為D關(guān)于直線y=x對稱的2部分區(qū)域。

注意：只有被積函數(shù)和積分區(qū)域都具有對稱性時，才能用上述3個命題進行計算。

3 利用對稱性優(yōu)化三重積分的計算

命題4假設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上是連續(xù)的：

命題5假設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上是連續(xù)的：

命題6假設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上是連續(xù)的，且Ω關(guān)于原點對稱：

式中，Ω1，Ω2是Ω關(guān)于原點對稱的2部分。

此外，還可以利用輪換對稱性優(yōu)化三重積分的計算。輪換對稱性[3]定義如下：若被積函數(shù)或積分區(qū)域的表達式里，將變量x,y,z按如下次序排列：x→y;y→z;z→x后，表達式均不發(fā)生變化，則被積函數(shù)或積分區(qū)域關(guān)于3個變量x,y,z具有輪換對稱性。

4 結(jié) 語

通過對多元函數(shù)積分及定積分的共性和特性進行比較，能明確地認識到對稱性在解多元積分題目中的重要性。能夠熟練地理解和掌握應用對稱性的解題方法，對提高積分性質(zhì)的理解和解題效率有很大幫助。應用好對稱性，不但可以優(yōu)化定積分的運算，也可以優(yōu)化二重、三重積分的運算，還可以優(yōu)化第一類及第二類曲線積分的運算，在以后的研究中，應逐步完善對稱性在高等數(shù)學中的應用。

[1]龔冬保，武忠祥，毛懷遂.高等數(shù)學典型題解法[M].西安：西安交通大學出版社，2000:290-314.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(下冊)[M].北京：高等教育出版社，1987:261-262.

[3]毛綱源.高等數(shù)學解題方法技巧歸納(下冊)[M].武漢：華中科技大學出版社，2002:271-285.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.02.047

O171.2

A

1673-1409(2012)02-N138-03

2011-12-26

張野(1985-)，女，2007年大學畢業(yè)，助理講師，現(xiàn)主要從事應用數(shù)學方面的教學與研究工作。