受寬帶噪聲激勵(lì)的二元機(jī)翼隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的矩Lyapunov指數(shù)

黃 勇， 劉先斌

（南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210016）

0 引 言

在所有氣動(dòng)彈性問(wèn)題中，顫振問(wèn)題無(wú)疑是在科學(xué)和工程上最受關(guān)注的問(wèn)題之一［1］。這不僅僅是由于這種氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性問(wèn)題具有重大的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值，而且還由于它具有深刻的數(shù)學(xué)物理內(nèi)涵。一直以來(lái)，人們對(duì)在隨機(jī)氣流激勵(lì)下的飛行器顫振行為十分關(guān)注，這是因?yàn)轱w行器顫振是由結(jié)構(gòu)非線性和氣動(dòng)非線性相耦合而導(dǎo)致的復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為，隨機(jī)激勵(lì)（尤其是參數(shù)激勵(lì)）的介入會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)失穩(wěn)和隨機(jī)分岔等復(fù)雜的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為。

對(duì)于確定性機(jī)翼顫振，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了大量的研究。而對(duì)于機(jī)翼隨機(jī)顫振的研究由于其動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性，目前的研究成果還十分有限。近年來(lái)，隨著非線性隨機(jī)振動(dòng)理論的不斷發(fā)展，基于FPK方程的半解析概率方法正在越來(lái)越多地被人們用來(lái)處理隨機(jī)顫振問(wèn)題。較為著名的有Ibrahim等人［2－3］的工作，通過(guò)將面內(nèi)載荷和氣壓分量設(shè)為不相關(guān)的、零均值寬帶隨機(jī)過(guò)程，他們使用FPK方程方法和累積量截?cái)喾椒?，研究了超聲速氣流中的壁板受面?nèi)隨機(jī)激勵(lì)的顫振機(jī)理。D.Poirel和S.J.Price［4－5］研究了考慮氣動(dòng)彈性和湍流隨機(jī)擾動(dòng)的隨機(jī)顫振，得到的結(jié)果從概率統(tǒng)計(jì)的角度能更好地解釋機(jī)翼顫振的機(jī)理。然而工程應(yīng)用中人們還常常會(huì)關(guān)心系統(tǒng)響應(yīng)的一、二階統(tǒng)計(jì)矩穩(wěn)定性，這從隨機(jī)顫振的早期研究?jī)?nèi)容可以得到證實(shí)。

矩Lyapunov指數(shù)對(duì)于隨機(jī)分岔研究的意義在于，最大Lyapunov指數(shù)只是矩Lyapunov指數(shù)關(guān)于p的一階項(xiàng)的系數(shù)，因此根據(jù)系統(tǒng)的矩Lyapunov指數(shù)同樣可以得到D－分岔點(diǎn)［6］以確定系統(tǒng)的概率1穩(wěn)定的邊界。此外，針對(duì)某些系統(tǒng)，矩Lyapunov指數(shù)還可以確定其P－分岔點(diǎn)。因此相較于系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，矩Lyapunov指數(shù)具有更重要的動(dòng)力學(xué)意義，但是有關(guān)系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)的計(jì)算卻比最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算困難得多。

矩Lyapunov指數(shù)是隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)研究的重要部分，其定義如下：

這里x（t，x0）是隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的解，E［·］表示數(shù)學(xué)期望，‖x（t，x0）‖表示向量范數(shù)。如果Λ（p，x0）＜0，那么由定義可知，當(dāng)t→∞時(shí)，E［‖x（t，x0）‖p］→0，說(shuō)明系統(tǒng)是p階矩穩(wěn)定的。矩Lyapunov指數(shù)的概念是由Arnold［7］在研究線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)提出的，并且得到在一定條件下，上式極限存在，是與x0獨(dú)立的關(guān)于p的凸解析函數(shù)，因此矩Lyapunov指數(shù)可以表示為Λ（p），Λ（p）／p是遞增的，且：

是最大Lyapunov指數(shù)。而Λ（p）＝0的一個(gè)非零解δp稱為矩Lyapunov指數(shù)的穩(wěn)定性指標(biāo)。之后，Arnold在文獻(xiàn)［7］中分別獲得了實(shí)噪聲和白噪聲激勵(lì)下線性隨機(jī)系統(tǒng)的完整結(jié)果。Kozin and Sugimoto［8］研究了線性It?微分方程非平凡解的矩穩(wěn)定性和幾乎肯定穩(wěn)定性的聯(lián)系，得到了在參數(shù)空間中幾乎肯定穩(wěn)定區(qū)域是p階矩穩(wěn)定區(qū)域在p→0時(shí)的極限。

盡管矩Lyapunov指數(shù)在研究隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性中是非常重要的，但在實(shí)際情況下，研究起來(lái)很困難，關(guān)于它的研究結(jié)果也很有限，而且大部分的研究結(jié)果都是基于漸近的解析方法，如隨機(jī)平均法、攝動(dòng)方法等獲得的。對(duì)在白噪聲和實(shí)噪聲激勵(lì)下的兩維和四維系統(tǒng)，Arnold等［9］和 Namachchivaya［10］等獲得了矩Lyapunov指數(shù)關(guān)于小噪聲和小p的漸近展開(kāi)，Khasminskiihe和 Moshchuk［11］研究了白噪聲激勵(lì)下，系統(tǒng)矩陣有兩個(gè)純虛特征值的二維系統(tǒng)，對(duì)有限的p值，證明了p階矩Lyapunov指數(shù)能展開(kāi)為小噪聲強(qiáng)度的級(jí)數(shù)。對(duì)實(shí)噪聲激勵(lì)下的四維系統(tǒng)，應(yīng)用Arnold在文獻(xiàn)［7］介紹的擾動(dòng)展開(kāi)方法，Sri Namachchivaya和 Roessel［12］獲得了矩 Lyapunov指數(shù)關(guān)于小擾動(dòng)參數(shù)的展開(kāi)。Xie［13］應(yīng)用與Khasminskiihe［11］類似的方法獲得了二維系統(tǒng)在實(shí)噪聲和有界噪聲激勵(lì)下矩Lyapunov指數(shù)、Lyapunov指數(shù)和穩(wěn)定性指標(biāo)關(guān)于小擾動(dòng)參數(shù)的漸近展開(kāi)。劉先斌［14］等討論了受實(shí)噪聲參數(shù)激勵(lì)的 Van der Pol－Duffing振子的有限p階矩Lyapunov指數(shù)。在他們的工作中，實(shí)噪聲激勵(lì)被取為一個(gè)定義于有界閉區(qū)域上的n維Ornstein－Uhlenbeck過(guò)程的光滑非線性函數(shù)，并最終計(jì)算了p階矩Lyapunov指數(shù)的漸近展式。

本文主要研究了隨機(jī)寬帶噪聲作用下，機(jī)翼顫振系統(tǒng)的矩Lyapunov指數(shù)及其相應(yīng)的穩(wěn)定性指標(biāo)，推導(dǎo)出系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)的近似解析解，并討論了所有系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)的影響。

1 運(yùn)動(dòng)方程

二元機(jī)翼具有兩個(gè)自由度，其廣義坐標(biāo)通常選取為上下平移h及俯仰角θ（如圖1所示）。在考慮定常氣動(dòng)力作用時(shí)，具有粘性阻尼及立方俯仰剛度的顫振系統(tǒng)的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)方程為（詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)［15－16］）：

式中，μ＝，ρ為空氣密度，m為機(jī)翼質(zhì)量，b為半弦長(zhǎng)，d＝，ab為彈性軸E在半弦點(diǎn)后的距離，xθb是重心G在彈性軸E后的距離，rθb是機(jī)翼對(duì)彈性軸的回轉(zhuǎn)半徑，ch、cθ分別為無(wú)量綱俯仰和扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，k3是無(wú)量綱非線性扭轉(zhuǎn)彈簧剛度，＝ωh／ωθ，ωh、ωθ為只有線性平移剛度或線性俯仰剛度的單自由度系統(tǒng)的固有頻率，u＝V／bωθ，V為平均風(fēng)速。

圖1 二元機(jī)翼模型Fig.1 Sketch of the two－dimensional airfoil

本文研究在參激寬帶實(shí)噪聲作用下非線性系統(tǒng)的矩Lyapunov指數(shù)，而對(duì)于此非線性系統(tǒng)，本質(zhì)上我們更關(guān)心界定系統(tǒng)概率1穩(wěn)定邊界的最大Lyapunov指數(shù)。根據(jù)Oseledec乘法遍歷定理［7］可知，一個(gè)非線性系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)與其在平衡點(diǎn)鄰域中的線性化系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)完全一致，因此在本文中，我們只研究這個(gè)非線性系統(tǒng)在其平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)的線性化系統(tǒng)的矩Lyapunov指數(shù)。同時(shí)，在系統(tǒng)無(wú)量綱速度u中加入寬帶噪聲ξ（t），并假設(shè)系統(tǒng)的阻尼項(xiàng)ε2階小量、隨機(jī)項(xiàng)均為ε階小量。

由于（εξ（t））2為更高階小量，對(duì)系統(tǒng)基本沒(méi)有影響，所以上式中未包含此項(xiàng)。通過(guò)進(jìn)一步變換可以得到以下運(yùn)動(dòng)方程：

其中：

下面令系統(tǒng)阻尼和噪聲均為零，得到以下派生系統(tǒng)

由式（5）解出系統(tǒng)固有頻率為

引進(jìn)變換：

代入式（3），系統(tǒng)化成

代入各系數(shù)矩陣可得：

其中：

2 近似Markov過(guò)程

由于系統(tǒng)阻尼、噪聲的sin和cos譜密度均為ε2階無(wú)窮小量且ξ（t）為寬帶噪聲，因此可以對(duì)（9）式采用隨機(jī)平均法得到系統(tǒng)的近似It?隨機(jī)微分方程。給出噪聲ξ（t）的sin和cos功率譜密度分別為

E［·］為期望算子。

通過(guò)引入如下變換：

代入（9）式，即可得到關(guān)于h1，φ1，h2，φ2的四個(gè)一階微分方程：

通過(guò)假設(shè)系統(tǒng)的固有頻率ω1、ω2相差比較大，可以得到經(jīng)過(guò)隨機(jī)平均之后的振幅hi（t）和相位角?i（t）是解耦的。同時(shí)隨著ε的減小，系統(tǒng)（13）的解弱收斂，并近似為一個(gè)擴(kuò)散的Markov過(guò)程。下面對(duì)系統(tǒng)方程（13）采用隨機(jī)平均法，得到It控制方程：

其中，Wh和W?為兩個(gè)相互獨(dú)立的Wiener過(guò)程。此處采用隨機(jī)平均法的主要目的就是讓平均振幅過(guò)程hi（t）和相位角過(guò)程φi（t）解耦，從而對(duì)于系統(tǒng)方程（13）的研究就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)平均振幅hi（t）的研究，這樣可以顯著降低系統(tǒng)維數(shù)，減小問(wèn)題的求解難度。

因此，下面只需給出系統(tǒng)（14）中第一個(gè)隨機(jī)微分方程的系數(shù)表達(dá)式即可：

3 矩Lyapunov指數(shù)

令：＝rcosφ＝rsinφ，φ∈［0，］，由It微分公式可以得到關(guān)于變量r、φ的It隨機(jī)微分方程：

其中：

由矩Lyapunov指數(shù)的定義可知：

同時(shí)，式（16）中第一個(gè)微分方程的解r（t；r0）的p次冪為：

上式的期望為：

其中：

根據(jù)Girsanov定理，由式（20）可以得到：

其中：

通過(guò)Feynmann－Kac公式將隨機(jī)微分方程（16）的解的函數(shù)的期望E［rp（t）］＝f（ζ，p，t）轉(zhuǎn)化為下列線性偏微分方程的解：

根據(jù)Arnold［7］可知，矩Lyapunov指數(shù)就是穩(wěn)定算子的最大特征值，即：

其中，穩(wěn)定性算子為：

根據(jù) Wedig［17］和 Bolotin［18］，T（φ）能 展 開(kāi) 為 正 交Fourier余弦級(jí)數(shù)：

將式（27）代入式（25）并在兩邊同乘cos（2mφ）以后，對(duì)φ積分得到：

其中：

由上述元素構(gòu)成的矩陣為：

若令Z＝［z0z1z2z3…zn…］T，則式（28）即可轉(zhuǎn)化為：

如果方程（31）關(guān)于Z存在非零解，那么它的系數(shù)行列式（A－ΛI(xiàn)）應(yīng)該等于0。因此，求Λ（p）就轉(zhuǎn)化為求矩陣A＝（amn）的無(wú)窮個(gè)子矩陣的特征值，這樣得到了一個(gè)特征值的無(wú)窮序列，它的每一個(gè)元素都是Λ（p）的近似值。因此當(dāng)n→∞時(shí)，通過(guò)這種方法求出的近似特征值序列應(yīng)該收斂于Λ（p）的近似值的真實(shí)值，否則，就是不正確的。然而隨著n的增加，計(jì)算量呈指數(shù)型增長(zhǎng)，為此，我們用截?cái)嗟姆椒?，即取n為有限數(shù)，來(lái)獲取Λ（p）的近似值。例如，當(dāng)n＝0時(shí)，得到Λ（p）＝a00。當(dāng)n＝1時(shí)，Λ（p）的近似值是A的二階子矩陣的特征值。當(dāng)n＝2時(shí)，Λ（p）的近似值是A的三階子矩陣的特征值。由于矩陣A中元素的復(fù)雜性，我們僅僅列出A的三階子矩陣中的元素的表達(dá)式。

其中，

4 數(shù)值驗(yàn)證

下面我們將通過(guò)對(duì)系統(tǒng)（9）采用Monte Carlo仿真，得到系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)的數(shù)值解［19］，來(lái)驗(yàn)證近似解析解得可靠性。令x1＝q1，x2＝，x3＝q2，x4＝，系統(tǒng)（9）可化為：

其中：

由于此處擴(kuò)散矩陣的特殊性，Wong－Zakai修正項(xiàng)為零，所以Stratonovich方程的漂移項(xiàng)和It?方程的漂移項(xiàng)是一致的。因此It方程為：

圖2 矩Lyapunov指數(shù)近似解析解與數(shù)值解比較Fig.2 Comparison of the approximate analytical and numerical results of the moment Lyapunov exponent

5 討 論

下面通過(guò)研究矩Lyapunov指數(shù)與系統(tǒng)各參數(shù)之間的關(guān)系，可以得到以下對(duì)工程實(shí)際具有指導(dǎo)價(jià)值的結(jié)論。

首先通過(guò)調(diào)整參數(shù)u，得到系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)曲線隨u增大不斷向左移動(dòng)，如圖3所示，穩(wěn)定性指標(biāo)δp不斷減小，這將直接影響系統(tǒng)矩穩(wěn)定的區(qū)域；而隨著u的增大，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)也會(huì)由負(fù)變正，說(shuō)明系統(tǒng)由幾乎肯定穩(wěn)定變?yōu)閹缀蹩隙ú环€(wěn)定。根據(jù)參數(shù)u在上文中的表達(dá)式可知u主要由平均來(lái)流速度V所決定。也就是說(shuō)，隨著平均來(lái)流速度V的增大，系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性會(huì)隨之降低；當(dāng)V達(dá)到某臨界值時(shí)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，發(fā)生概率1意義失穩(wěn)，出現(xiàn)顫振。這就是從隨機(jī)的角度刻畫(huà)了顫振發(fā)生的機(jī)理，因此我們可以從這個(gè)角度進(jìn)一步研究系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)隨機(jī)顫振的影響。

圖3 參數(shù)u對(duì)矩Lyapunov指數(shù)的影響Fig.3 Effect of uon the moment Lyapunov exponent

其次，通過(guò)調(diào)整寬帶噪聲各頻率cos譜密度，可以得到系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)對(duì)隨機(jī)噪聲各頻率譜密度的敏感性，如圖4所示。由圖可知，隨著噪聲2ω2、ω1＋ω2的cos譜密度的增加，系統(tǒng)的矩 Lyapunov指數(shù)曲線均重合在一起，未發(fā)生顯著變化，如圖4（b、c）所示，說(shuō)明噪聲的2ω2、ω1＋ω2的cos譜密度對(duì)系統(tǒng)的矩Lyapunov指數(shù)沒(méi)有影響，因此在實(shí)際工程中可以不用關(guān)注隨機(jī)噪聲中2ω2、ω1＋ω2的cos譜密度的變化。而隨著其余兩個(gè)頻率的cos譜密度的增加，系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)曲線不斷向左移動(dòng)，表明穩(wěn)定性指標(biāo)δp不斷減小，系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性區(qū)域不斷向左移動(dòng)；系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)也會(huì)由負(fù)變正，表明系統(tǒng)由幾乎肯定穩(wěn)定變?yōu)閹缀蹩隙ú环€(wěn)定。但是，系統(tǒng)對(duì)這兩個(gè)個(gè)頻率的敏感性是不一樣的。由圖4（a、d）可知，系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)曲線相對(duì)于寬帶噪聲2ω1的cos譜密度的變化幅度大于相對(duì)于寬帶噪聲ω1－ω2的cos譜密度的變化幅度，說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)寬帶噪聲2ω1的cos譜密度更為敏感。所以，在工程實(shí)際中一定要重點(diǎn)監(jiān)測(cè)隨機(jī)激勵(lì)2ω1的cos譜密度變化，當(dāng)然ω1－ω2的cos譜密度的變化也應(yīng)適當(dāng)關(guān)注。對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)各頻率的sin功率譜密度，由于在進(jìn)行隨機(jī)平均法的時(shí)，積分全部為零，因此可以不用關(guān)注各頻率的sin功率譜密度的變化。

圖5 無(wú)量綱質(zhì)量μ對(duì)矩Lyapunov指數(shù)的影響Fig.5 Effect ofμon the moment Lyapunov exponent

然后，我們通過(guò)適當(dāng)變動(dòng)參數(shù)μ，得到無(wú)量綱質(zhì)量μ對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。由圖5可知，隨著系統(tǒng)無(wú)量綱質(zhì)量μ的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不斷增強(qiáng)。但是，在實(shí)際工程中，機(jī)翼的質(zhì)量總是有限的，而且盡可能取小，因此會(huì)和我們此處的結(jié)論產(chǎn)生沖突。此時(shí)，我們可以進(jìn)一步計(jì)算無(wú)量綱質(zhì)量的增加或減小對(duì)系統(tǒng)臨界速度的提高或降低的影響，根據(jù)這個(gè)影響的大小在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)確定最優(yōu)無(wú)量綱質(zhì)量。對(duì)最優(yōu)無(wú)量綱質(zhì)量的確定，本文不作進(jìn)一步討論。

最后，通過(guò)對(duì)參數(shù)d分析發(fā)現(xiàn)：隨著d的增大，系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)曲線逐漸向左移動(dòng)，系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性指標(biāo)δp不斷減小，系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性不斷降低，如圖6所示。而參數(shù)d主要由彈性軸在半弦點(diǎn)后的距離與半弦長(zhǎng)的比值a所決定。也就是說(shuō)，隨著彈性軸E不斷向后移動(dòng)，系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性不斷降低。因此在實(shí)際設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮系統(tǒng)的彈性軸適當(dāng)靠前。

圖6 參數(shù)d對(duì)矩Lyapunov指數(shù)的影響Fig.6 Effect of don the moment Lyapunov exponent

7 結(jié) 論

本文主要研究了在隨機(jī)寬帶噪聲作用下，機(jī)翼的矩Lyapunov指數(shù)的表達(dá)式及其相應(yīng)的隨機(jī)穩(wěn)定性問(wèn)題。通過(guò)對(duì)矩Lyapunov指數(shù)的表達(dá)式的研究，得出機(jī)翼顫振的矩Lyapunov穩(wěn)定性主要由其參數(shù)u、μ、d以及隨機(jī)激勵(lì)各頻率的cos譜密度所決定。進(jìn)一步研究得到u、μ、d、S（2ω1）、S（ω1－ω2）等參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)矩Lyapunov指數(shù)的影響。以上結(jié)果表明，噪聲對(duì)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著重要的影響，建議相關(guān)設(shè)計(jì)部門(mén)在進(jìn)行可靠性分析時(shí)，除一般的強(qiáng)度分析以外，還應(yīng)將噪聲納入考慮的范疇。

［1］FORSEHING H W，沈克揚(yáng)譯，管德校.氣動(dòng)彈性力學(xué)原理［M］.上海：上?？萍嘉墨I(xiàn)出版社，1982.（FORSEHING HW，SHEN KY，GUAN D.Aeroelasticity theory［M］.Shanghai：Shanghai Scientific and technological Literature Publishing House，1982.）

［2］IBRAHIM R，ORONO P，MADABOOSI S.Stochastic flutter of a panel subjected to random in－plane forces.ITwo mode interaction［J］.AIAAJournal，1990，28（4）：694－702.

［3］IBRAHIM R，ORONO P.Stochastic nonlinear flutter of a panel subjected random in－plane forces［J］.InternationalJournalofNonlinearMechanics，1991，26（6）：867－883.

［4］POIREL D，PRICE S J.Random binary（coalescence）flutter of a two－dimensional linear airfoil［J］.Journal ofFluidsStructure，2003，18（1）：23－42.

［5］POIREL D，PRICE S J.Bifurcation characteristics of a two－dimensional structurally nonlinear airfoil in turbulent flow［J］.NonlinearDynamics，2007，48：423－435.

［6］朱位秋.非線性隨機(jī)振動(dòng)與控制［M］.北京：科學(xué)出版社，2003：280－281.（ZHU Wei－qiu.Nonlinear stochastic dynamics and control［M］.Beijing：Science Press，2003：280－281.）

［7］ARNOLD L.Random dynamical systems［M］.Springer，Berlin，1998.

［8］KOZIN F，SUGIMOTO S.Relations between sample and moment stability of linear stochastic differential equations.Proceedings of Conference on Stochastic Differential Equations and Applications.Academic Press，New York，1977：145－162.

［9］ARNOLD L，DOYLE M M，NAMACHCHIVAYA N S.Small noise expansion of moment Lyapunov exponents for two－dimensional systems［J］.DynamicsandStability ofSystems，1997，12（3）：187－211.

［10］NAMACHCHIVAYA N S，ROESSEL H J V，DOYLE M M.Moment Lyapunov exponent for two coupled oscillators driven by real noise［J］.SIAMJournalofAppliedMathematics，1996，56：1400－1423.

［11］KHASMINSKII R Z，MOSHCHUK N.Moment Lyapunov exponent and stability index for linear conservative system with small random perturbation［J］.SIAM JournalofAppliedMathematics，1998，58（1）：245－256.

［12］NAMACHCHIVAYA N S，ROESSEL H J V.Moment Lyapunov exponent and stochastic stability of two coupled oscillators driven by real noise［J］.JournalofAppliedMechanics，2001，68：903－914.

［13］XIE W C.Moment Lyapunov exponents of a two－dimensional system under real noise excitation［J］.JournalofSoundandVibration，2001，239（1）：139－155.

［14］LIU X B，LIEW K M.On the stability properties of a Van der Pol－Duffing oscillator that is driven by a real noise［J］.JournalofSoundandVibration，2005，285（1－2）：27－49.

［15］ZHAO L C，YANG Z C.Chaotic Motions of an airfoil with non－linear stiffness in incompressible flow ［J］.JournalofSoundandVibration，1990，138（2）：245－254.

［16］劉濟(jì)科，趙令誠(chéng).不可壓氣流中二元機(jī)翼的分叉分析［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，1992，9（1）：37－43.（LIU J K，ZHAO L C.Bifurcation analysis of airfoils in incompressible flow［J］.ChineseJournalofApplied Mechanics，1992，9（1）：37－43.）

［17］WEDIG W.Lyapunov exponent of stochastic systems and related bifurcation problems.in：S.T.Ariaratnam，G.I.Schueller，I.Elishakoff（Eds.），Stochastic Structural Dynamics：Progress in Theory and Applications，Elsevier Applied Science，New York，1988：315－327.

［18］BOLOTIN V V.The dynamic stability of elastic system.Holded－Day，San Francisco，1964.

［19］XIE W C，HUANG Q H.On the Monte Carlo simulations of moment Lyapunov exponents［J］.SolidMechanicsandItsApplications，2006，140：627－636.