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    帶擾動參數(shù)的擬線性橢圓方程正解的存在性

    2012-11-07 06:41:21孔麗華沈自飛
    關(guān)鍵詞:臨界點(diǎn)有界山路

    孔麗華, 沈自飛

    (浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

    1001-5051(2012)04-0388-07

    帶擾動參數(shù)的擬線性橢圓方程正解的存在性

    孔麗華, 沈自飛

    (浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

    研究了帶擾動參數(shù)的擬線性橢圓方程

    -ε2Δu-ε2Δ(u2)u+ε2V(x)u=h(u),x∈RN,N≥3

    正解的存在性.其中V(x)為正的連續(xù)位勢函數(shù).在h(u)及V(x)滿足適當(dāng)?shù)臈l件下,建立了方程正解的存在性定理.

    橢圓方程;變分法;臨界點(diǎn);正解

    -ε2Δu-ε2Δ(u2)u+ε2V(x)u=h(u),x∈RN,N≥3

    0 引 言

    本文主要研究擬線性橢圓方程

    正解的存在性.這類方程起源于對擬線性Schr?dinger方程

    的研究,方程(2)的駐波解與方程(1)的解有密切的聯(lián)系.

    文獻(xiàn)[2-6]及其參考文獻(xiàn)討論了方程

    非平凡弱解的存在性,這對于擬線性橢圓方程的進(jìn)一步研究有很大的幫助.例如,文獻(xiàn)[2]對于方程(3)中不同的非線性項,通過極小化理論研究了方程正基態(tài)解的存在性;文獻(xiàn)[3]利用變量替換的方法,把擬線性橢圓問題轉(zhuǎn)化為半線性問題,通過山路引理,在Orlicz空間中證明了方程(3)正解的存在性;文獻(xiàn)[4]運(yùn)用了與文獻(xiàn)[3]相同的方法,在一般的Sobolev空間中對于不同類型的非線性項,證明了方程(3)正解的存在性;文獻(xiàn)[5]研究了N=2的情形,假定非線性項h:R→R滿足臨界指數(shù)增長,通過Ambrosetti-Rabinowitz條件、山路引理及R2上的Trudinger-Moser型迭代不等式得到了問題解的存在性.本文是在一般的Sobolev空間上考慮問題,并且在非線性項前乘了一個小的擾動常數(shù),通過山路引理及變量替換等理論討論了方程(1)解的存在性.

    1 主要結(jié)果

    本文運(yùn)用變分方法證明方程(1)在空間H1(RN)上正解的存在性,即相應(yīng)變分泛函

    為了方便起見,本文用H替代H1(RN).

    方程(1)中由于二階非齊次項Δ(u2)u的出現(xiàn),使得Jε(u)在空間H中不是良定的,因此不能直接討論Jε(u)臨界點(diǎn)的存在性.為了克服這類困難,將采用文獻(xiàn)[3-4]中變量替換的方法,首先引入函數(shù)f:

    然后令u=f(v),λ=ε-2,將問題轉(zhuǎn)化為研究下列相關(guān)泛函:

    臨界點(diǎn)的存在性,即Iλ所對應(yīng)的Euler-Lagrange方程

    解的存在性.下文的引理2將給出方程(1)的解與方程(5)的解之間的關(guān)系.

    由于區(qū)域RN的無界性導(dǎo)致了緊性的缺失,所以為了尋找泛函Iλ的臨界點(diǎn),將證明Iλ滿足山路幾何性質(zhì),即

    Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=0,Iλ(γ(1))<0}≠?;

    于是由Ekeland變分原理可知,在山路水平cλ處存在Iλ的一個Palais-Smale序列{vn}?H,即當(dāng)n→∞時,

    Iλ(vn)→cλ,I′λ(vn)→0.

    由下文的引理3可知序列{vn}是有界的Palais-Smale序列.

    如果位勢函數(shù)V(x)及非線性項h(s)滿足以下條件:

    那么Iλ在空間H上是良定的,并且是C1的.

    本文的主要結(jié)果是以下的定理1:

    2 引 理

    為了證明定理1,先給出幾個引理.

    引理1[3-4]由方程(4)所定義的函數(shù)f(t)具有下列性質(zhì):

    1)f是唯一的,f∈C2且是可逆的;

    2)對所有的t∈R,f′(t)≤1,f2(t)/2≤tf′(t)f(t)≤f2(t);

    3)對所有的t∈R, |f(t)|≤min{|t|, 21/4|t|1/2};

    4)當(dāng)t→0時,f(t)/t→1;

    5)對所有的t>0,f(t)/2≤tf′(t)≤f(t);

    7)存在常數(shù)C>0,使得

    如果u∈H∩L∞loc(RN),且對所有的φ∈C∞0(RN)有

    那么稱函數(shù)u:RN→R為方程(1)的弱解.

    引理2方程(1)的解與方程(5)的解之間有以下關(guān)系:

    1)若v∈H∩L∞loc(RN)是泛函Iλ的臨界點(diǎn),則f(v)為方程(1)的弱解;

    2)若v是方程(5)的古典解,則f(v)為方程(1)的古典解.

    證明 對于1),由引理1的2)和3)可知,|u|2=|f(v)|2≤|v|2且|▽u|2=|f′(v)|2|▽v|2≤|▽v|2,從而f(v)=u∈H∩L∞loc(RN).由于v是Iλ的一個臨界點(diǎn),于是對所有的ω∈H有

    于是

    從而對所有的φ∈C∞0(RN) 有f′(v)-1φ=(1+2|u|2)1/2φ,且

    在式(7)中令ω=f′(v)-1φ,則由式(7)~式(10)易得式(6),即f(v)是方程(1)的弱解.

    對于2),由于

    故由式(8)可知

    Δv=(1+2|u|2)1/2Δu+2u(1+2|u|2)-1/2|▽u|2,

    所以

    Δu+2|u|2Δu+2u|▽u|2=-(λh(u)-V(x)u).

    注意到

    2|u|2Δu+2u|▽u|2=Δ(u2)u,

    因此有-ε2Δu-ε2Δ(u2)u=h(u)-ε2V(x)u,即2)成立.引理2證畢.

    都有一個非平凡的臨界點(diǎn).

    引理3[1]設(shè)X是一個Banach空間,其范數(shù)為‖5‖X,

    Iλ(v)=A(v)-λB(v),?λ∈Ω

    是空間X上的一族C1類泛函,其中Ω是一個區(qū)間, 如果

    1)對?v∈X,B(v)≥0,且當(dāng)‖v‖X→∞時,要么A(v)→∞,要么B(v)→∞.

    2)存在v1,v2∈X,使得

    其中,Γ={γ∈C([0,1],X):γ(0)=v1,γ(1)=v2}.那么對幾乎所有的λ∈Ω,存在序列{vn}?X使得:1){vn}是有界的;2)Iλ(vn)→cλ;3)I′λ(vn)→0.

    引理4對于泛函

    如果令

    那么對所有的v∈H,有B(v)≥0,且當(dāng)‖v‖H→∞時,有A(v)→∞.

    證明 由(H1)可知,B(v)≥0.下證A(v)→∞.假設(shè)A(v)是有界的,即存在C>0,使得

    則有

    由(V2)可知,

    從而由式(11)和式(12)可得

    引理5如果(H1),(H2),(H3),(V1),(V2)成立,那么

    其中,Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=0,γ(1)=v}.

    所以只需證明對任意的v∈H{0},存在t∈R,使得當(dāng)

    (13)

    另一方面,由于v≠0,從而 |tnv(x)|→∞,于是當(dāng)n→∞時,由條件(H3)及引理1的6)可知

    ∞.

    這與式(13)矛盾.即1)成立.

    對于2),由引理1的2)可知

    由文獻(xiàn)[1]的注3.3可知,

    即證明了2).引理5證畢.

    證明 因為{vn}是有界的,所以{vn}必有收斂子列,不妨假設(shè)vn?vλ.下面證明vλ是Iλ的一個非平凡臨界點(diǎn).

    即證明了〈I′λ(vλ),φ〉=0.

    其次,證明vλ≠0.若不然,則假設(shè)vλ= 0.一方面由文獻(xiàn)[1]的定理5.1可知

    式(14)中:l≥1;vλ是Iλ的臨界點(diǎn)且

    ωkλ為I∞λ的非平凡臨界點(diǎn)(k=1,2,…).而I∞λ對應(yīng)的Euler-Lagrange方程為

    -Δv=g(v),

    其中,g(v)=-V(∞)f(v)f′(v)+λh(f(v))f′(v).不難驗證非線性項g滿足文獻(xiàn)[1]中定理3.2的條件(K0)至(K3),于是對于I∞λ的任一非平凡臨界點(diǎn)ωλ,有I∞λ(ωλ)>0, 從而由式(14),并注意到Iλ(vλ)=0,有

    另一方面,假設(shè)ωλ為方程

    -Δv+V(∞)f(v)f′(v)=λh(f(v))f′(v)

    這與cλ≥mλ矛盾,即vλ≠0.引理6證畢.

    3 定理1的證明

    事實上,當(dāng)v≥0時,有v-=0,從而有h(f(v))f′(v)(-v-)=0及f(v)(-v-)=0;當(dāng)v<0時,有f(v)<0及-v-=v,于是有h(f(v))=0,即式(15)成立.

    由式(15)有

    由f的定義得到

    因此v-=0恒成立,即v≥0.定理1證畢.

    [1]Jeanjean L,Tanaka K.A positive solution for a nonlinear Schr?dinger equation onRN[J].Indiana Univ Math,2005,54(2):443-464.

    [2]Poppenberg M,Schmitt K,Wang Zhiqiang.On the existence of soliton solutions to quasilinear Schr?dinger equations[J].Calc Var Partial Differential Equations,2002,14(3):329-344.

    [3]Liu Jiaquan,Wang Yaqi,Wang Zhiqiang.Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equations II[J].J Differential Equations,2003,187(2):473-493.

    [4]Colin M,Jeanjean L.Solutions for a quasilinear Schr?dinger equation:a dual approach[J].Nonlinear Anal,2004,56(2):213-226.

    [5]do ? Jo?o M B,Miyagaki Olímpio H,Soares Sérgio H M.Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equations:the critical exponential case[J].Nonlinear Anal,2007,67(12):3357-3372.

    [6]Liu Jiaquan,Wang Zhiqiang.Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equations[J].Proc A M S,2003,131(2):441-448.

    Theexistenceofpositivesolutionforthequasilinearellipticequationwithperturbationparameter

    KONG Lihua, SHEN Zifei

    (CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

    It was showed the existence of positive solution for the quasilinear elliptic equation with perturbation parameter as

    withV(x) a positive continuous potential function. Under some assumptions onV(x) and the nonlinear termh(u), the existence of positive solution for the above equation was obtained.

    elliptic equation; variational method; critical point; positive solution

    2012-04-21

    國家自然科學(xué)基金資助項目(10971194)

    孔麗華(1986-),女,江西吉安人,碩士研究生.研究方向:非線性泛函分析.

    O177.91

    A

    (責(zé)任編輯 陶立方)

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