其實(shí)集合試題也可以很精彩
——品味近2年高考中的集合試題

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(湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

其實(shí)集合試題也可以很精彩
——品味近2年高考中的集合試題

●馮耀斌

(湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，是表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)、進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具，因此集合知識(shí)在高考中倍受青睞，是每年高考中的必考內(nèi)容．長(zhǎng)期以來，不管是學(xué)生還是教師，都存在著這樣一個(gè)誤區(qū)：高考中集合一般就出現(xiàn)在選擇題第一題或者填空題第一題，且都是簡(jiǎn)單題．而筆者通過分析近2年全國各地?cái)?shù)學(xué)高考卷發(fā)現(xiàn)，其實(shí)只要給集合穿件新衣服，集合試題可以很難，當(dāng)然也很精彩，值得細(xì)細(xì)品味(限于篇幅，本文僅選取典型的案例進(jìn)行論述).

1 考查雙基，重視基本數(shù)學(xué)知識(shí)

元素與集合的關(guān)系和集合的運(yùn)算是集合知識(shí)中最基礎(chǔ)的內(nèi)容，考查此類知識(shí)的試題，往往對(duì)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想和方法具有一定的要求,難度不大，只要掌握基本的集合概念、集合運(yùn)算即可．

例1若集合A={x||x|≤1,x∈R}，B={y|y=x2,x∈R}，則A∩B=

( )

A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0}

C.{x|0≤x≤1} D.φ

(2010年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

例2已知集合A={(x,y)|x,y為實(shí)數(shù)，且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y為實(shí)數(shù)，且y=x},且B=A∩B的元素個(gè)數(shù)為

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

(2011年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

例1和例2屬于基礎(chǔ)題，分析略．

答案：C；C．

2 考查思維，注重基本數(shù)學(xué)思想

求集合的(真)子集個(gè)數(shù)是歷年高考的常見題型．在平時(shí)教學(xué)時(shí)，強(qiáng)調(diào)集合A={a1,a2,…,an}有2n個(gè)子集，有2n-1個(gè)真子集，有2n-1個(gè)非空子集，有2n-2個(gè)非空真子集.而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往不會(huì)直接套用上述公式，而是需要通過一定的分析，需要基本的數(shù)學(xué)思想，方能轉(zhuǎn)化為用公式求(真)子集的問題．

( )

A.4 B.3 C.2 D.1

(2010年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查集合的子集個(gè)數(shù)及集合的簡(jiǎn)單運(yùn)算．

答案：A．

例4設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，則滿足S?A且S∩B≠φ的集合S的個(gè)數(shù)是

( )

A．57 B．56 C．49 D．8

(2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查集合的關(guān)系與運(yùn)算以及分類討論思想，題目難度屬中等．

答案：B．

3 知識(shí)整合，強(qiáng)調(diào)綜合應(yīng)用

集合與函數(shù)、集合與不等式等內(nèi)容的碰撞容易產(chǎn)生新的“火花”，題目從形式上看，要比單獨(dú)函數(shù)題、不等式題更加豐富更加飽滿．因此，高中數(shù)學(xué)各個(gè)章節(jié)內(nèi)容的整合，不僅僅是知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單復(fù)合，更是各種知識(shí)體系的交匯，多種解題思想的交融，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)技能的綜合應(yīng)用．

例5設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x2∈S．給出以下3個(gè)命題：

①若m=1，則S={1}；

其中正確命題的個(gè)數(shù)是

( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2010年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題)

答案：D．

例6設(shè)集合

若A∩B≠φ，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

(2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

4 挖掘內(nèi)涵，開闊解題思路

數(shù)學(xué)試題表面形式可以五花八門，但其本質(zhì)還是比較明確的．集合的表達(dá)形式就有多種，借用集合的“新衣”來裝扮的試題種類就更多了：或用集合來表達(dá)點(diǎn)、線、面，或用集合來表達(dá)數(shù)、函數(shù)、方程，但究其本質(zhì)，跳不出“數(shù)”和“形”這2個(gè)方面.2010年和2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科的最后一道選擇題分別很好地詮釋了如何用“形”和“數(shù)”的視角來解決集合問題．

例7設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，

f(x)=(x+a)(x2+bx+c)，

g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)，

記集合

S={x|f(x)=0,x∈R}，T={x|g(x)=0,x∈R}．

若|S|，|T|分別為集合元素S，T的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是

( )

A.|S|=1且|T|=0

B.|S|=1且|T|=1

C.|S|=2且|T|=2

D.|S|=2且|T|=3

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題的內(nèi)涵是結(jié)合集合的知識(shí)特別是集合元素個(gè)數(shù)的新素材考查了函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)的概念，難度較大．

取a=0，b=0,c=0,則

S={x|f(x)=x3=0}，|S|=1，

T={x|g(x)=1=0}，|T|=0，

因此選項(xiàng)A可能成立．

取a=1,b=0，c=1,則

S={x|f(x)=(x+1)(x2+1)=0}，|S|=1，

T={x|g(x)=(x+1)(x2+1)=0}，|T|=1，

因此選項(xiàng)B可能成立．

取a=-1，b=0,c=0,則

S={x|f(x)=(x-1)x2=0}，|S|=2，

T={x|g(x)=(-x+1)(-x2+1)=0}，|T|=2，

因此選項(xiàng)C可能成立．

答案：D．

5 閱讀理解，培養(yǎng)信息分析能力

“數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民文化素質(zhì)的重要組成部分”．閱讀理解能力作為數(shù)學(xué)素質(zhì)的有機(jī)組成部分，在近幾年的全國高考中表現(xiàn)得尤為突出．集合以其特殊的地位成為此類蘊(yùn)含大量新信息創(chuàng)新題的首選.筆者認(rèn)為，集合的特殊性由集合論本身的高度抽象、廣度范疇，與高中數(shù)學(xué)集合涉及部分的淺、窄共同作用而形成，以致對(duì)集合稍微加點(diǎn)新定義、新知識(shí)、新法則，就能在高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的“空白”處綻放出燦爛的光芒．解決這類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確獲取新信息，并分析使之轉(zhuǎn)化為與所掌握知識(shí)相關(guān)聯(lián)的信息．

例8設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對(duì)任意x,y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題：

①集合S={a+bi|a,b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集；

②若S為封閉集，則一定有0∈S；

③封閉集一定是無限集；

④若S為封閉集，則滿足S?T?C的任意集合也是封閉集.

其中真命題是________(寫出所有真命題的序號(hào))

(2010年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析直接驗(yàn)證可知①正確.

當(dāng)S為封閉集時(shí)，因?yàn)閤-y∈S，取x=y，得0∈S，②正確.

對(duì)于集合S={0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集,③錯(cuò)誤.

取S={0}，T={0,1}，滿足S?T?C,但由于0-1=-1?T，故T不是封閉集，④錯(cuò)誤.

答案：①②.

例9設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意a,b∈S，有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的．若T,V是Z的2個(gè)不相交的非空子集，T∪V=Z，且任意a,b,c∈T，有abc∈T；任意x,y,z∈V，有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是

( )

A.T,V中至少有1個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

B.T,V中至多有1個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

C.T,V中有且只有1個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

D.T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的

(2011年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題考查對(duì)新定義集合概念的理解，考查角度新穎，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和知識(shí)遷移能力，難度較大．

答案：A．

6 拓展抽象能力，優(yōu)化解題策略

提高學(xué)生思維能力是國家新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，新課程標(biāo)準(zhǔn)重視培養(yǎng)學(xué)生的思想品質(zhì)．因此近2年高考試題構(gòu)思巧妙，設(shè)計(jì)新穎，目的是增大考生的抽象思維空間、歸納思維品質(zhì)及優(yōu)化解題策略，試題穩(wěn)中有變、變中求新，始終體現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和素養(yǎng)的考查．下面2個(gè)例題以集合題目為載體，頗具代表性，高度抽象，同時(shí)知識(shí)遷移后對(duì)解題策略的選擇有一定的指導(dǎo)價(jià)值．

例10若規(guī)定E={a1，a2，…，a10}的子集{ak1，ak2，…，akn}為E的第k個(gè)子集，其中k=2k1-1+2k2-1+…+2kn-1，則

(1){a1,a3}是E的第________個(gè)子集；

(2)E的第211個(gè)子集是________．

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析(1)由所給的定義知

k=21-1+23-1=5．

(2)方法1由題意要使得

k=211=2i1-1+2i2-1+…+2in-1，

可由211=128+64+16+2+1，然后求出相應(yīng)的i1,i2,…，in．

方法2換種解題策略，此題本質(zhì)是一個(gè)二進(jìn)制問題，將211化為二進(jìn)制數(shù)是11 010 011(2)，即

11 010 011(2)=27+26+24+21+20，

容易得到i1,i2,…,i5(i1

本題是抽象型新定義試題，構(gòu)思新穎，亮點(diǎn)明確，主要考查學(xué)生在新情境下抽象分析問題、解決問題的能力．

( )

(2011年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題除綜合考查了平面向量的數(shù)量積、平面向量的應(yīng)用、排列組合知識(shí)之外，還考查了學(xué)生應(yīng)用新知識(shí)抽象分析問題、解決問題的能力及邏輯思維能力，難度較大．

答案：B.

以上筆者通過近2年全國各地高考中集合試題出現(xiàn)的頻率及不同形式，以“集合”為點(diǎn)，闡述了同一章節(jié)內(nèi)容通過不同知識(shí)的包裝、不同技能的拓展、不同思維的碰撞后，所產(chǎn)生的多樣性和復(fù)雜性．因此數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)，是要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以滿足其后續(xù)學(xué)習(xí)的需要；教學(xué)過程應(yīng)該重視對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法的歸納提煉，認(rèn)識(shí)和把握最本質(zhì)的因素．