窗函數(shù)對間諧波分析的影響

周力 王琳

(丹東供電公司，遼寧 丹東 118000)

0 引言

隨著電網(wǎng)規(guī)模的擴(kuò)大和大量新能源的接入，大量的非線性負(fù)荷接入電網(wǎng)，電網(wǎng)的諧波成分變得越來越復(fù)雜，這對電網(wǎng)的安全和穩(wěn)定構(gòu)成了威脅，因此也越來越受到電力工作者的高度重視，尤其是間諧波的潛在威脅，由于以前的研究很少，電能質(zhì)量檢測設(shè)備也沒有相應(yīng)的檢測功能，因此對于間諧波的分析以及檢測技術(shù)的研究迫在眉睫。

目前電力系統(tǒng)所涉及的諧波(包括間諧波)主要工具是傅里葉分析，即傅里變換和傅里葉級數(shù)。

本文從傅里葉分析入手，詳細(xì)分析了不同窗函數(shù)對間諧波檢測的影響，并通過Matlab仿真，驗(yàn)證了間諧波監(jiān)測窗函數(shù)的選取原則。

1 間諧波概念、來源及危害

間諧波是指非工頻頻率整數(shù)倍的諧波。

間諧波的來源主要有以下幾個(gè)方面:

1)變頻裝置，主要包括交—直—交變頻器和交—交變頻器;

2)波動(dòng)負(fù)荷，主要是指工業(yè)電弧爐、晶閘管整流供電的軋鋼機(jī)等快速變化的沖擊負(fù)荷;

3)鐵磁諧振，主要是指電感兩端電壓升高或涌流時(shí)，電感電容滿足諧振條件的現(xiàn)象;

4)同步串級調(diào)速裝置，如繞線式異步電動(dòng)機(jī)的低同步串級轉(zhuǎn)速;

5)感應(yīng)電動(dòng)機(jī)，主要是在鐵芯飽和產(chǎn)生不規(guī)則磁化電流產(chǎn)生間諧波。

間諧波的危害主要有:

1)波形畸變;

2)閃變(閃爍);

3)影響測量儀器結(jié)果和準(zhǔn)確度;

4)影響電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行性能;

5)降低負(fù)荷的功率因素，增加損耗。

2 間諧波檢測的理論基礎(chǔ)——連續(xù)信號傅里葉變換

2.1 周期連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)展開

根據(jù)傅里葉級數(shù)定義，任何周期函數(shù)在滿足狄利克雷條件下，均可展成以正交的正弦函數(shù)為基的線性組合的形式。設(shè)周期信號為f(t)，其周期為 T，角頻率為ω=2πf=2π/T，則在區(qū)間[t0，t0+T]其傅里葉級數(shù)展開為:

其中，

2.2 周期連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)展開的指數(shù)形式

由于指數(shù)函數(shù)集{ejnωt}具有正交性，因此周期信號為f(t)，除了可以展開成三角函數(shù)形式之外，還可以展開成指數(shù)形式。

由歐拉公式:

將式(7)代入式(1)中，得:

其中，我們稱Fn為傅里葉系數(shù)。

傅里葉三角函數(shù)級數(shù)與傅里葉指數(shù)函數(shù)級數(shù)只是兩種不同的表現(xiàn)形式，它們的系數(shù)之間存在著簡單的關(guān)系，即:

3 間諧波檢測

FFT是當(dāng)今應(yīng)用最多的諧波測量方法之一。但直接利用FFT進(jìn)行間諧波測量時(shí)存在較大頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，結(jié)果存在誤差。但是通過選擇適當(dāng)?shù)男盘柗治龃埃梢越档瓦@些誤差，達(dá)到一定的效果。

3.1 離散傅里葉變換的頻譜泄露與柵欄效應(yīng)

實(shí)際的間諧波檢測中，所處理的信號是經(jīng)過采樣和A/D轉(zhuǎn)換得到的。設(shè)待測信號為x(t)，采樣間隔為Ts，可知采樣頻率fs=1/Ts。在滿足采樣定理的條件下，采樣信號為 x(nTs)，n=0，1，2，…，N－1，是一個(gè)有限長的數(shù)字序列，相當(dāng)于對原始無限長的信號乘以了一個(gè)矩形窗加以截?cái)?，這是造成離散傅里葉變換的頻譜泄露的原因。減少頻譜泄漏的方法一般有兩種:1)增加采樣時(shí)間，即加寬窗長度。2)改變窗的形狀。

3.2 常見的窗函數(shù)

3.2.1 矩形窗

矩形窗被定義為:

根據(jù)Z變換的定義，矩形窗的Z變換為:

那么矩形窗的頻率特性為:

矩形窗的幅頻特性為:

3.2.2 漢寧窗

漢寧窗是把余弦函數(shù)向上提升一個(gè)余弦函數(shù)的振幅而形成的，因此又叫升余弦窗，它的表達(dá)式為:

N為任意值時(shí)，漢寧窗的頻幅特性:

3.2.3 漢明窗

漢明窗與漢寧窗都是用余弦函數(shù)構(gòu)成的，它們十分相似，不同點(diǎn)在于窗函數(shù)的兩端。漢寧窗的兩端逐漸衰減到零，而漢明窗的兩端逐漸衰減到滿幅的0.08左右。漢明窗的表達(dá)式為:

任意N值時(shí)的漢明窗的頻幅特性為:

3.2.4 布萊克曼窗

布萊克曼窗集合了漢寧窗和漢明窗的思路，它的表達(dá)式為:

任意N值的布萊克曼窗的頻幅特性為:

3.3 假設(shè)穩(wěn)態(tài)電網(wǎng)信號中含有諧波和間諧波的周期

信號用如下式表示:

其中，Ai，φi分別為諧波分量的幅值和相角;fi為諧波分量(包括諧波和間諧波)的頻率;p為信號中諧波分量的個(gè)數(shù)，設(shè) fmax為信號的最高頻率。根據(jù)采樣定理，采樣頻率fs≥2fmax。選取時(shí)間窗長度T=mTe(工頻周期Te=20 ms)，時(shí)間窗采樣點(diǎn)數(shù)為N，采樣頻率fs=1/Ts，則頻譜分辨率為f0=fs/N(頻譜中每條譜線間隔頻譜為f0)。

為分析諧波和敘述方面，先只考慮某一特定間諧波分量在對應(yīng)譜線上的值時(shí)，可以忽略其他諧波的影響。設(shè)第i個(gè)間諧波分量的表示為:

以fs對上式中的信號進(jìn)行等間隔采樣，信號的采樣值可表示為:

因?yàn)?fs≥2f1，不妨設(shè) fs=kf1(k≥2)，所以 f1Ts=f1/fs=1/k。

加窗截?cái)嗪蟮男盘枮?

記成:

對序列x(nTs)加長度為N(N通常為2的整數(shù)次冪)的對稱窗序列ωN(n)(如矩形、漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗)進(jìn)行加權(quán)截?cái)?，這個(gè)時(shí)候就出現(xiàn)兩種情況:

假設(shè)信號在時(shí)域的截?cái)酁檎芷诮厝?，這個(gè)時(shí)候就不會(huì)存在頻譜泄露。

其中，k為整數(shù);N為k的整數(shù)倍。

先分析 x1(n)=A1ej(2πn/k+φ1)的 DFT 變換。

N為k的整數(shù)倍，不妨設(shè)N=mk，代入上式，得:

當(dāng) l=m 時(shí)，X1(l)=X1(m)=NA1ejφ1;當(dāng) l≠m 時(shí)，由對稱性可知，X1(l)=0，也就是說，m 次諧波的頻譜為:NA1ejφ1，其他次諧波分量為 0。同時(shí)，分析 x2(n)=A1e－j(2πn/k+φ1)，我們可以得到:當(dāng)l= －m 時(shí)，X2(l)=X2(－m)=NA2e－jφ1;當(dāng) l≠ － m 時(shí)，由對稱性可知，X2(l)=0。又因?yàn)閷ΨQ性:X(－m)=X(N－m)。

所以有:

綜上考慮:

對于原信號:

在滿足采樣定理?xiàng)l件fs≥2f1下，我們以fs對上式中的信號進(jìn)行等間隔采樣:

記成:

DFT變換結(jié)果為:信號除m和－m(或者N－m)次諧波外，其他次波的頻譜為0，與原信號相吻合。

4 仿真結(jié)果及結(jié)論

由圖1～圖4分析可以看出窗函數(shù)的選取原則:

1)窗函數(shù)的長度N一般選充分大;

圖1 DFT后信號（矩形窗）X1（k）（20，5，6）

圖2 DFT后信號（漢寧窗）X2（k）（20，5，6）

圖3 DFT后信號（漢明窗）X3（k）（20，5，6）

圖4 DFT后信號（布萊克曼窗）X4（k）（20，5，6）

2)信號的頻譜比較密的時(shí)候，一般選漢明窗;

3)對于一個(gè)隨意的信號，一般使用矩形窗;

4)假如事先能肯定被分析的信號只有幾個(gè)頻率分量，且頻譜分布比較分散，一般選漢寧窗或布萊克曼窗。

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