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    一般SPT模型的抗差分和線性攻擊安全性研究

    2012-11-06 11:40:08劉鳳梅陳連俊李春祥李艷梅張國(guó)雙
    通信學(xué)報(bào) 2012年1期
    關(guān)鍵詞:上界差分密碼

    劉鳳梅,陳連俊,李春祥,李艷梅,張國(guó)雙

    (信息保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100072)

    1 引言

    差分攻擊和線性攻擊是對(duì)分組密碼最有效的2種攻擊方法,研究和評(píng)估密碼算法抵抗差分攻擊和線性攻擊的能力,是密碼設(shè)計(jì)者和分析者必須考慮的問(wèn)題[1~3]。SPS模型(如圖1和圖2所示)是分組密碼的一個(gè)基本模型[3~5],它主要是由混淆層-擴(kuò)散層-混淆層組成,通常會(huì)在第2層混淆之前異或加入輪密鑰。對(duì)于分組密碼來(lái)講,為了保證其能夠解密,一般要求每個(gè)iS(1in≤≤)都是置換且上下2個(gè)混淆層是完全一樣的。

    近年來(lái),在序列密碼的設(shè)計(jì)中,人們也廣泛應(yīng)用將混淆和擴(kuò)散分層實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì)理念[6~8]。與分組密碼不同的是,對(duì)于序列密碼,在采用SP網(wǎng)絡(luò)時(shí),由于其解密機(jī)制不同于分組密碼,且可以使用壓縮環(huán)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)輸入多輸出少的功能,因此在“混淆層-擴(kuò)散層-混淆層”這一設(shè)計(jì)模型中,上下2個(gè)混淆層可以不一樣,也不需要其中S盒都是置換。具體來(lái)說(shuō),序列密碼中利用分組密碼的迭代思想時(shí)既可以先迭代最后再壓縮[6],也可以邊迭代邊壓縮[7]。因此,在序列密碼的設(shè)計(jì)中,為同時(shí)且高效地實(shí)現(xiàn)迭代和壓縮(多輸入少輸出),可以使用更加一般的SPT模型(如圖3和圖4所示),這里S和T表示2個(gè)不同的混淆層,而且每個(gè)S或T都不必是置換。這就需要對(duì)SPT模型抗已知攻擊的能力進(jìn)行評(píng)估,弄清一般SPT模型抵抗差分攻擊和抵抗線性攻擊的能力。

    對(duì)于SPS模型的抗差分攻擊和抗線性攻擊的安全性問(wèn)題,一直是受到密碼學(xué)者關(guān)注,也已有了完善的結(jié)果[9~13]。但對(duì)于更一般的可實(shí)現(xiàn)壓縮功能的SPT模型的抗差分攻擊能力和抗線性攻擊能力卻未見(jiàn)研究。本文正是在這一背景需求下進(jìn)行研究的,通過(guò)分析,本文克服了S變換和T變換的非雙射性給證明過(guò)程帶來(lái)的困難,給出了一般SPT模型在P為最佳擴(kuò)散層時(shí)抗差分攻擊和線性攻擊(S變換和T變換平衡時(shí))能力估計(jì)的結(jié)果,這對(duì)于該模型在序列密碼設(shè)計(jì)中的應(yīng)用有重要的意義。

    圖1 SPS模型(差分路徑)

    圖2 SPS模型(線性路徑)

    圖3 SPT模型(差分路徑)

    本文第2節(jié)給出了相關(guān)定義和已有的結(jié)論;在第3節(jié)中,研究了如圖3所示的一般SPT模型在P為最佳擴(kuò)散層時(shí)抗差分攻擊的安全性問(wèn)題,給出了該模型的最大差分概率上界。

    在第4節(jié)中,研究了如圖4所示的一般SPT模型在P為最佳擴(kuò)散層且S變換及T變換平衡時(shí)抗線性攻擊的安全性問(wèn)題,給出了類(lèi)似于SPS模型的最大線性逼近優(yōu)勢(shì)的上界和最大線性包優(yōu)勢(shì)的上界。

    2 相關(guān)定義和已有結(jié)論

    圖3和圖4中各記號(hào)約定如下。

    設(shè)m,m1,m',n為4個(gè)正整數(shù),且 m ≥ m ' ≥m1。i = 1 ,… ,n 。

    記 Δα = (Δ α1, Δ α2, … ,Δ αn), Δ β = (Δ β1,Δβ2,… ,Δ βn),Δδ = (Δ δ1,Δ δ2,…,Δ δn),Δ γ = (Δγ1,Δγ2, … ,Δ γn),其中,Δαi∈ G F(2)m,Δ βi∈ G F(2)m1,Δδi,Δγi∈ G F(2)m', i = 1,… ,n 。

    記 Γα= ( Γ α1, Γ α2,… ,Γαn) , Γ β=(Γ β1,Γβ2,… ,Γ βn),Γδ = ( Γ δ1, Γ δ2,… ,Γδn) ,Γ γ=(Γ γ1,Γγ2,… , Γγn) ,其中,Γ αi∈ G F(2)m,Γ βi∈ G F(2)m1,Γδi∈ G F(2)m', Γ γi∈ G F(2)m', i = 1 ,… ,n 。

    以wt(Δα)表 示 Δα 的 包 重 量 , 即wt( Δ α ) = # { i | Δ αi≠ 0 };w t(Γ α)表示 Γα的包重量;以 MT表示矩陣M的轉(zhuǎn)置。

    P:(GF(2)m')n→(GF(2)m')n為線性變換,且其為最佳擴(kuò)散層。

    很容易有引理1~引理4。

    引理1 設(shè)Δαi和Δδi分別為映射Si的輸入差和輸出差,則有 Δ αi=0? Δ δi= 0 ;又若 Si是雙射,則 Δ αi≠ 0 ? Δδi≠0。

    引理2 設(shè)Δδ和Δγ分別為P的輸入差和輸出差,且P的分支數(shù)為n+1,則有wt(Δδ)+wt(Δγ)≥ n +1。

    引理5[10]設(shè)n×n矩陣M對(duì)應(yīng)于變換P,則P的分支數(shù)為 n +1,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意1 ≤ k ≤ n ,M的k×k子矩陣的秩為k(此時(shí),MT的k×k子矩陣的秩也為k)。

    引理6[10]設(shè)圖 1中 Si(i = 1 ,… ,n )均為置換且型SPS的最大差分概率上界為ρn。GF(2)m, Γ y ∈ G F(2)m',S的線性?xún)?yōu)勢(shì)[9]定義為

    其中,Γx?x表示Γx和x的點(diǎn)積。S的最大線性?xún)?yōu)勢(shì)定義為

    根據(jù)Walsh譜[14]的定義,有

    通??疾靾D4所示模型SPT的2種線性?xún)?yōu)勢(shì)。

    定義 3 (SPT的線性逼近優(yōu)勢(shì))[9]設(shè)Γα∈GF(2)m,Γδ, Γ γ∈ G F(2)m',Γ β∈ G F(2)m1,SPT的線性逼近優(yōu)勢(shì)定義為

    SPT的最大線性逼近優(yōu)勢(shì)定義為

    定義4 (SPT的線性包優(yōu)勢(shì))[9]設(shè) Γ α∈G F(2)m,Γδ,Γ γ∈ G F(2)m',Γ β∈ G F(2)m1,SPT的線性包優(yōu)勢(shì)定義為

    SPT的最大線性包優(yōu)勢(shì)定義為

    引理7[9]設(shè)圖2中的 S , i = 1 ,… ,n 均為置換,i衡當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意 Γ y ∈GF(2)m'且Γy≠0,都有WalshS(Γ y,0) = 0。

    由Walsh譜的定義及引理8有以下推論。

    推論 1 設(shè)映射 S :GF(2)m→ G F(2)m'為平衡的,Γ x ∈ G F(2)m,Γ y ∈ G F(2)m',則S的線性?xún)?yōu)勢(shì)有如下性質(zhì):

    引理9[14]Parseval等式:

    引理 10[10]設(shè)P對(duì)應(yīng)于矩陣 M =(mij)n×n,

    3 SPT模型的抗差分攻擊性

    引理11 設(shè)n×n矩陣M對(duì)應(yīng)于變換P(即P(δ)=δ?M),且P是最佳擴(kuò)散層,Δγ=Δδ?M。再設(shè)wt(Δδ)=j,{i1,…,ij}為Δδ的非零分位的序號(hào)構(gòu)成的集合, s ≥ 1, w t( Δ γ) = n - s +1且 Δγ1=…決定。

    證明 若 s =1,結(jié)論顯然成立。設(shè) s > 1。取M的子矩陣,記Δδ'=(Δ δi1,… ,Δ δij),則由題設(shè)知 Δδ?M的第1~s-1列=Δδ'?M', 再 由 Δγ=Δδ?M知Δδ' ? M ' =(Δ γ1,… ,Δ γs-1) = 0。

    則由P的分支數(shù)是 n +1和引理5知, M1可逆,且Δδis,… ,Δδij決定。#

    下面將借助引理11,克服由 Si和 Ti的非雙射性引發(fā)的非零輸入差可能產(chǎn)生零輸出差的特性給研究過(guò)程造成的困難,獲得下述結(jié)論。

    定理1 設(shè)圖3中P為最佳擴(kuò)散層,記ρd=非零時(shí)的最大差分概率上界為 ρdn。

    證明 本證明所用符號(hào)如圖 3所示。設(shè)wt(Δ α)=k, Δβ≠0,且wt( Δ β )= n - s +1,不失一般性,不妨設(shè) Δ α1≠0,… , Δαk≠0, Δ βi1≠0,…,

    假設(shè)密鑰K的各分位是相互獨(dú)立且服從均勻分布的,則可認(rèn)為SPT模型中各層輸入的各路彼此是獨(dú)立的,且Δα與Δγ獨(dú)立,因而

    由引理4,有

    依此類(lèi)推:

    將所有可能的(即所有正概率差分路徑上的)Δδ 所在集合記為Mδ,則式(1)中的求和實(shí)際上是對(duì) Δ δ ∈ Mδ求和。Δδ ∈ Mδ,wt(Δ δ)=k1,且對(duì)于Δγ=Δδ?M,wt(Δγ)= n - s1+ 1 },記所有可能的(k1,s1)所在的集合為Γ。則為諸 Mk1,s1的不交并。注意Δδ≠0(否則Δβ=0)且任意Δδ的非零位一定包含于{1,…,k},故1 ≤ k1≤ k 。又由 P的分支數(shù)為n+ 1 和引理2可知 k1≥s1≥1。故式(1)求和可化為

    此即為式(3)的估計(jì),進(jìn)而由式(2)可知:

    因此圖 3所示模型SPT的輸出差非零時(shí)的最大差分概率上界為 ρdn。

    定理2 設(shè)圖3所示模型SPT中P為最佳擴(kuò)散層,其輸入差為Δα且wt(Δα)=k,記

    證明 同定理1證明,將所有可能的Δδ所在集合記為Mδ,則Mδ中可能含有0(S為壓縮變換時(shí)),同樣的推理可以得到

    類(lèi)似于定理1可證

    4 SPT模型的抗線性攻擊性

    定理 3 設(shè)圖 4中 P為最佳擴(kuò)散層且 Si,Ti,則圖 4所示模型SPT的最大線性逼近優(yōu)勢(shì)

    證明 設(shè) w t(Γ β) = k≥1,Γβ1≠ 0 ,… ,Γ βk≠0,Γα≠ 0 ,且設(shè) Γ αis≠ 0 ,… , Γαin≠ 0 , Γ αi1= 0 ,…,

    已知 Γ β1≠ 0 ,… ,Γ βk≠0, Γ βk+1=0,…,Γ βn=0,慮到 Ti、 Si平衡,由推論1有, Γ γ1≠ 0 ,… ,Γ γk≠0且 Γγk+1= 0,… ,Γ γn=0; Γ δis≠ 0 ,… , Γδin≠ 0 ,

    又由變換P的分支數(shù)為 n +1,故 k + n - s +1

    引理 12 設(shè)矩陣 M 對(duì)應(yīng)于變換P,Γδ=Γγ?MT, w t( Γ δ) = n -s +1,wt(Γγ)=k(則= Γ δs-1= 0 ,則存在指標(biāo)集 { i1, …,is-1}使得Γγi1≠

    證明 結(jié)合引理5和引理10,對(duì)矩陣 MT利用類(lèi)似于引理11的證明方法即可得證。#

    定理4 設(shè)圖4中 Si, Ti,i = 1 ,… ,n 均為平衡函數(shù)

    證明 設(shè) w t(Γ β) = k≥1,Γβ1≠ 0 ,… ,Γ βk≠0,Γβk+1= 0 ,… ,Γ βn=0, w t( Γ α) = n - s + 1, s ≥ 1,Γαis≠ 0 ,… , Γαin≠ 0 , Γ αi1= 0 ,… , Γαis-1= 0 。同定理3在題設(shè)條件下,只需考察Γα≠0時(shí)的情形。

    由線性包優(yōu)勢(shì)的定義:

    已知 Γ β1≠0,…,Γ βk≠0,Γβk+1= 0 ,… , Γ βn= 0 ,考慮到 Ti平衡,由推論1,若則 Γ γ1≠ 0 ,… ,Γ γk≠0且 Γ γk+1= 0 ,… , Γγn= 0 。再注意 L PTi(0 → 0 )= 1,故式(5)可化為

    又 已 知 Γ αis≠ 0,… , Γαin≠ 0 , Γ αi1= 0 ,… ,,考慮到 Si平衡,同樣若≠ 0 ,則 Γ δis≠ 0 ,…, Γ δin≠ 0 ,Γ δi1= 0 ,… , Γ δis-1= 0 。

    因此對(duì)于給定的Γγ,且Γγ的非零位為{1,… ,k },

    由以上分析,若記:

    則式(6)可化為

    因此只需考察Γ中的Γγ。對(duì)于Γγ∈Γ,由引理12可知,存在指標(biāo)集{ js, … , jk} ? {1,… ,k },使得Γγ1,… ,Γγk由Γγjs,…,Γγjk決定。因此由式(7)得:

    注:在對(duì)SPT模型最大線性逼近優(yōu)勢(shì)和最大線性包優(yōu)勢(shì)上界的估計(jì)中,其中所用S變換和T變換的平衡性是最關(guān)鍵的。

    5 結(jié)束語(yǔ)

    SPS網(wǎng)絡(luò)是分組密碼的一個(gè)基本模型,能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)壓縮功能的SPT模型是該模型的推廣,在序列密碼的設(shè)計(jì)中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。本文在P為最佳擴(kuò)散層的條件下,研究了該模型的抗差分攻擊的安全性和抗線性攻擊(S和T平衡)的安全性,分別給出了其差分概率的上界、最大線性逼近優(yōu)勢(shì)的上界和最大線性包優(yōu)勢(shì)的上界,這些結(jié)論對(duì)于序列密碼的設(shè)計(jì)和分析具有現(xiàn)實(shí)的意義。在今后的工作中,還將研究該模型在更寬松條件下的抗差分和線性攻擊性能,并研究更加緊致的上界。

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