一道數(shù)學(xué)雙動形題編制后的反思

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(椒江區(qū)第二中學(xué) 浙江臺州 318000)

一道數(shù)學(xué)雙動形題編制后的反思

●金立榮

(椒江區(qū)第二中學(xué) 浙江臺州 318000)

動點、動線問題一直在中考占有相當(dāng)大的比重,主要體現(xiàn)在綜合性問題中.就運(yùn)動而言,可以分為3類:動點、動線、動形;就題型而言,包括計算題、證明題和應(yīng)用題等.它的題型特點和考查功能決定了審題思考的復(fù)雜性和解題設(shè)計的多樣性.隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展，命題者編制能力的提高,動態(tài)問題又有創(chuàng)新——雙動形問題，這將是今后中考的一道新風(fēng)景.通過雙動形問題的探究，可以培養(yǎng)學(xué)生在運(yùn)動變化中的空間想象能力,這類問題只要掌握“動中有靜,靜觀其變,動靜結(jié)合”的基本教學(xué)策略,就能以不變應(yīng)多變.下面就一道初中數(shù)學(xué)雙動形試題的來源和編制談?wù)劰P者的一些粗淺看法,供交流、評點.

(2011年浙江省臺州市椒江區(qū)初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題)

圖1 圖2 圖3

1 試題的來源

例1參照了2006年浙江省中考數(shù)學(xué)的壓軸題，原題如下：

(1)寫出點C，F(xiàn)的坐標(biāo).

(2)如圖3所示，將等腰梯形ABCD沿x軸的負(fù)半軸平行移動，設(shè)移動后的OA=x,等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當(dāng)點D移動到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)在直線CD上是否存在點P，使得△EFP為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例2源自人教版數(shù)學(xué)8年級下冊第111頁中的觀察與猜想“平面直角坐標(biāo)系中的特殊四邊形”.看似平常，但仔細(xì)分析，命題者加上平移、旋轉(zhuǎn)等動感元素,形成了集三角形、多邊形、相似形等初中平面幾何主要內(nèi)容于一體的壓軸題.該題立意新、設(shè)計巧、解法活、內(nèi)涵多，對考生的雙基知識、思維推理、創(chuàng)新能力等有一定要求，源于教材且高于教材.

2 試題的變化

2.1 變化1

受例1和例2的設(shè)計啟發(fā),筆者原計劃將條件“等腰梯形”改為“平行四邊形或三角形”.考慮改變條件后試題的計算量過大，故僅將等腰梯形ABCD的位置從y軸右邊改為左邊，基本條件與例2吻合，將第(2)小題的提問增加“求出重疊部分的面積的最大值”.在學(xué)生找出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式的基礎(chǔ)上，增添了運(yùn)用配方法求最值的考查，加強(qiáng)了計算要求和綜合性應(yīng)用.

例3等腰梯形ABCD沿x軸的正半軸平行移動，設(shè)移動后的BB′=x，等腰梯形ABCD與等腰梯形A′B′C′D′重疊部分的面積為y，求y與x之間的關(guān)系式，并求出重疊部分的面積的最大值.

分析先確定等腰梯形ABCD在運(yùn)動中的各臨界點，然后分段討論分析.

圖4 圖5 圖6

綜上所述，當(dāng)x=4時，重疊部分的面積y取得最大值，最大值為2.

考查內(nèi)容動形問題最突出的特點就是圖形是運(yùn)動的、變化的.學(xué)生在分析時要“以靜制動”,把動態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解,抓住變化中的“不變量”,以不變應(yīng)萬變,并從特殊位置著手確定自變量取值范圍,將每種運(yùn)動變化情況單獨(dú)用圖形進(jìn)行表示.這樣,學(xué)生可以將自己的思維過程體現(xiàn)出來，容易寫出y與x之間的關(guān)系式.

本環(huán)節(jié)先考查分類討論思想.很多學(xué)生知道這類問題的求解應(yīng)該進(jìn)行分類討論,但不知道分界點在哪,應(yīng)如何去確定.因此,部分學(xué)生沒有寫清楚分類情況,要么不寫，要么亂寫;還有的學(xué)生是將其中的一類又細(xì)化再分類,浪費(fèi)了很多時間.其次考查學(xué)生的計算能力，并通過配方法,結(jié)合自變量取值范圍,就可以求出重疊部分的面積最大值.

2.2 變化2

在例3單動形問題上拉開思維層次，增加雙動形問題如下：

圖7 圖8

圖9 圖10

例4若梯形ABCD與梯形A′B′C′D′同時從點O出發(fā)，分別沿x軸的正半軸、y軸的負(fù)半軸，以1米/秒的速度平行移動.設(shè)移動x秒后，梯形ABCD與梯形A′B′C′D′重疊部分的面積為y，寫出當(dāng)2

當(dāng)3≤x<4時,

如圖7～10所示，2個梯形在同時同速運(yùn)動中出現(xiàn)4種情況.為減少計算量，例4僅對當(dāng)2

考查內(nèi)容本題主要考查函數(shù)知識.在圖形的運(yùn)動過程中,自變量x取不同的值,重疊圖形形狀的變化導(dǎo)致了面積y的變化.在求y的過程中,考查了學(xué)生運(yùn)用相似三角形、三角函數(shù)、解方程、二次函數(shù)面積割補(bǔ)等知識的能力.

2.3 變化3

在例4的基礎(chǔ)上，下面的例5對考生分析問題、解決問題的能力提出了更高的要求,有較高的區(qū)分度,能較好地反映數(shù)學(xué)試卷的選拔功能.

例5在2個梯形運(yùn)動過程中，是否存在以D，C，D′為頂點的直角三角形？若存在，直接寫出x的值；若不存在，請說明理由.

圖11 圖12

分析存在.當(dāng)x=4或x=6時,△DCD′為直角三角形.存在性問題的求解思路是:先對結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由肯定出發(fā)，結(jié)合已知條件或挖掘出隱含條件，輔以方程、數(shù)形結(jié)合等思想，進(jìn)行計算、推理，再對得出的結(jié)果進(jìn)行分析檢驗，判斷是否與題設(shè)、公理、定理等吻合.若無矛盾，說明假設(shè)成立，由此得出符合條件的數(shù)學(xué)對象存在；否則，說明不存在.分析圖形的相對運(yùn)動，可得出如圖11和圖12所示的2種情況.

考查內(nèi)容在雙動形的基礎(chǔ)上，尋求新的知識交匯點，將直角三角形與動態(tài)問題、存在探索性問題結(jié)合起來，創(chuàng)設(shè)出新穎的題目表述形式，著重考查考生的理解、分析和判斷能力，實現(xiàn)了“以能力立意”的命題要求.注意到數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試的目的和性質(zhì)，這類考題精心設(shè)置在圖形相對運(yùn)動中的存在性問題，綜合考查學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力，對學(xué)生分析、解決問題的能力提出了較高的要求，有較高的區(qū)分度，能較好地體現(xiàn)試卷的選拔功能.

3 反思

例1的命制，打破了過去單純從動點、動線角度切入的常規(guī)方法，從梯形ABCD的運(yùn)動帶動梯形A′B′C′D′平移的運(yùn)動產(chǎn)生重疊部分的面積切入，是集代數(shù)、幾何、課題學(xué)習(xí)于一體的綜合題．構(gòu)思新穎，操作性較強(qiáng)，涉及到諸多初中基本圖形的性質(zhì)、應(yīng)用及多種數(shù)學(xué)方法、思想.該題從命題技術(shù)上采用“低起點、寬入口、坡度緩、步步高、窄出口”的分層考查手段，因此能完全得分并不容易，突出了試題的選拔功能.

從命題者命題的角度來說，課本為命題人員提供了大量的編制試題的素材，只要吃透教材，挖掘教材的例題、習(xí)題，提高試題編制技術(shù)，就能編制出高質(zhì)量的試題.隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展，命題者借助幾何畫板就可以清楚再現(xiàn)2個圖形在運(yùn)動過程中構(gòu)成了新的幾何圖形,由此產(chǎn)生諸多數(shù)學(xué)問題.由于此類問題的核心知識是函數(shù)——中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容,同時包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等內(nèi)容,不僅體現(xiàn)了運(yùn)動觀點、方程函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、化歸和分類討論等數(shù)學(xué)思想,還包含解方程、相似三角形、三角函數(shù)和整式運(yùn)算等知識.因此,這類題目具有較高的區(qū)分度和較強(qiáng)的選拔功能.值得注意的是動形類問題的評價要有明確的針對性,不能設(shè)置過多干擾項,從而降低試卷效度.

從學(xué)生解題的角度來說，命題者和教師上課時可以借助多媒體使運(yùn)動過程一目了然，但是考試時該怎么辦？如何“看清”圖形的變化情況，“吃準(zhǔn)”其中的位置關(guān)系呢？我們應(yīng)清楚雙動形問題要考查的核心內(nèi)容,不要被錯綜繁雜的問題背景所干擾.在平日學(xué)習(xí)時，不要等教師將各運(yùn)動環(huán)節(jié)分解好了，再逐一去解決，而要巧妙地借助自己身邊的實物(如硬幣、橡皮擦、四邊形、三角形)進(jìn)行模擬運(yùn)動，像電影一樣用若干張膠片來記錄、整合出運(yùn)動過程，從而增強(qiáng)解題能力，取得事半功倍的效果.

從教師教學(xué)的角度來說，動態(tài)問題雖然圖形在變，但解決問題的思想是通用的，在平時教學(xué)與復(fù)習(xí)的過程中，要做個有心人，善于觀察、思考、改造例題、習(xí)題.如在雙動形問題的講解中可改變部分條件,可將等腰梯形換成特殊三角形、平行四邊形、矩形;也可以采用不同的圖形，如三角形與正方形、圓與正方形、直角梯形與正三角形等;從改變2個圖形的運(yùn)動路線角度上可以采用45°,60°,120°,150°等利于計算的方向移動;在2個圖形的運(yùn)動速度上可以采用一定的速度比(如1∶2)等進(jìn)行移動;當(dāng)然在拓展該類型的問題時還可采用2個圖形的旋轉(zhuǎn),或者一個圖形按一定速度平移,另一個圖形按一定速度順(逆)時針旋轉(zhuǎn)等,這都可以使學(xué)生透徹地理解知識、掌握技能，做一題會一片，對培養(yǎng)學(xué)生的探索、創(chuàng)新能力有極大的幫助！

[1] 李景祿，滕曉莉.中考數(shù)學(xué)中動點類問題的思考——大連市2009年中考數(shù)學(xué)第24題分析[J].考試周刊，2009(33)：6.

[2] 任海寧.動態(tài)型的中考壓軸題[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(初中版)，2008(Z2)：38-40.

[3] 楊竹君.初中數(shù)學(xué)教師如何修煉備課功[J].云南教育(中學(xué)教師)，2009(11):24-25.