簡談2個圓錐曲線的非標準方程

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(常州高級中學 江蘇常州 213003)

簡談2個圓錐曲線的非標準方程

●徐德同

(常州高級中學 江蘇常州 213003)

學生對于圓錐曲線的標準方程已非常熟悉，但有一些非標準方程，也常常出現在我們的視野中.如果能夠利用適當的變換去化“非標準方程”為“標準方程”，進而辨析它們的類型,認清方程對應的曲線,不僅能打開問題的思路，往往還能減少計算.本文拋磚引玉，主要介紹2種非標準方程及其應用.

1 方程xy=λ(λ≠0)對應的曲線

事實上，只要作一個旋轉變換，把坐標軸繞原點順時針轉45°.令

即

(x′)2-(y′)2=2λ，

(1)

例1如圖1所示，設曲線xy=1的2支為C1，C2，點P，Q，R位于曲線上.

(1)如果點P為C1上的動點，試問平面上是否存在2個定點M，N，使||PM|-|PN||的值為常數；

(2)如果點P為C1上的定點，坐標為(-1，-1)，點Q，R在C2上，且△PQR是正三角形，求點Q，R的坐標.

圖1

分析在式(1)中，令λ=1，得(x′)2-(y′)2=2，是等軸雙曲線.

解得

由對稱性知

在原坐標系中，不難求得

2 方程x2±xy+y2=λ(λ>0)對應的曲線

作一個旋轉變換，把坐標軸繞原點逆時針轉45°.令

即

(2)

同理可得方程x2-xy+y2=λ(λ>0)對應的曲線是橢圓

(3)

分析在式(2)中，令λ=1，得

令

則

例3已知實數x,y滿足x2-xy+y2=3，求x2+xy+y2的取值范圍.

(2010年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)數學模擬考試試題)

分析作一個旋轉變換，把坐標軸繞原點逆時針轉45°.令

即

即

則

cos2θ+9sin2θ=8sin2θ+1，

故所求的取值范圍是[1,9].