一道自主招生試題的解法探究

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(盱眙中學(xué) 江蘇淮安 211700)

一道自主招生試題的解法探究

●周志國

(盱眙中學(xué) 江蘇淮安 211700)

題目已知數(shù)列{an},{bn}滿足an+1=-an-2bn，且bn+1=6an+6bn，又a1=2，b1=4，試求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式．

(2004年復(fù)旦大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)

這是一道魅力無窮的自主招生試題！下面筆者給出它的奇妙多解.

1 眾里挑一，各個(gè)擊破.

當(dāng)2個(gè)不同的數(shù)列雜糅在一起時(shí)，關(guān)系不明確，很難認(rèn)清.筆者嘗試?yán)媒夥匠痰乃枷?，尋求某一個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系，顯現(xiàn)出數(shù)列各自的特征，便于深入認(rèn)識數(shù)列.基于此，筆者給出了如下幾種解法．

方法1特征根法.

解由條件an+1=-an-2bn，得

從而

將bn+1，bn代入bn+1=6an+6bn，得

整理得

an+2=5an+1-6an，

其特征根方程為

x2-5x+6=0，

解得

x1=2,x2=3，

從而可設(shè)

an=c12n-1+c23n-1.

由a1=2,a2=-10得

an=2n+3-14·3n-1，

故

點(diǎn)評方法1的關(guān)鍵是消元，要求學(xué)生從方程角度認(rèn)識等式，轉(zhuǎn)化成某一數(shù)列連續(xù)3項(xiàng)的遞推關(guān)系，并熟悉用特征根法求通項(xiàng)的方法．

方法2待定系數(shù)法.

解由方法1知

an+2=5an+1-6an,

令an+2-λan+1=μ(an+1-λan)，則

或an+2-3an+1=2(an+1-3an)，

得

an+1-2an=-14·3n-1,

(1)

an+1-3an=-2n+3,

(2)

由式(1)，式(2)得

an=2n+3-14·3n-1,bn=28·3n-1-3·2n+2.

點(diǎn)評將an+2=5an+1-6an轉(zhuǎn)化成熟悉的2項(xiàng)間的遞推是本問題的關(guān)鍵，嘗試通過化歸，抓住整體特征，待定系數(shù)，轉(zhuǎn)化成熟悉的2項(xiàng)間的遞推，再通過解方程組，求出數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．

方法3化歸為特殊數(shù)列.

解由方法2知

an+1-2an=-14·3n-1，

從而

故

an=2n+3-14·3n-1,bn=28·3n-1-3·2n+2．

2 順?biāo)浦?，層層深?

已知多個(gè)數(shù)列雜糅的遞推關(guān)系式，求數(shù)列通項(xiàng)公式，解決這類問題的關(guān)鍵是能否準(zhǔn)確把握遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)，注意關(guān)系式的整體結(jié)構(gòu)，構(gòu)造新數(shù)列，層層深入，突破難點(diǎn)，求出通項(xiàng)公式．

方法4構(gòu)造新數(shù)列.

解令an+1+λbn+1=μ(an+λbn),

(3)

an+1+λbn+1= (-an-2bn)+λ(6an+6bn)=

(6λ-1)an+(6λ-2)bn,

(4)

比較式(3)，式(4)得

從而

2an+1+bn+1=2(2an+bn)，

或 3an+1+2bn+1=3(3an+2bn).

利用等比數(shù)列的定義可得

方法5利用矩陣變換.

解由題意得

故特征值λ1=2，λ2=3，對應(yīng)的特征向量分別為

設(shè)β=mα1+nα2，m,n∈R，可得m=8,n=-14，

即

β=8α1-14α2，

于是

即

an=2n+3-14·3n-1,bn=28·3n-1-3·2n+2．

該題初看難以入手，仔細(xì)研究就會(huì)發(fā)現(xiàn)，試題內(nèi)涵深厚，縱橫聯(lián)系．該題的5種方法，以數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)，從不同的角度切入，應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)知識，顯現(xiàn)出不同的精彩，給人以美的享受．最后以著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞的一句話與大家共勉：沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方．

[1] 楊蒼洲．解題，從結(jié)構(gòu)聯(lián)想開始[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2011(4)：14-16．

[2] 吳旭紅．高中數(shù)學(xué)選修內(nèi)容運(yùn)用例析[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009(11)：40-42．