數(shù)列中裂項(xiàng)相消的常見(jiàn)策略

●

(宿州學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 安徽宿州 234000)

數(shù)列中裂項(xiàng)相消的常見(jiàn)策略

●馬杰

(宿州學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 安徽宿州 234000)

裂項(xiàng)相消是數(shù)列中常見(jiàn)的求解策略，裂項(xiàng)的本質(zhì)是把數(shù)列中的乘積形式變成2項(xiàng)差的形式.近幾年的數(shù)學(xué)高考試題頻頻用到此類(lèi)方法，本文就解決這類(lèi)問(wèn)題的策略結(jié)合常見(jiàn)的試題給予概括總結(jié),以供參考.

1 利用分式的通分進(jìn)行裂項(xiàng)

分析因?yàn)?/p>

所以

例2已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

(1)求a4及Sn；

(2010年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析(1)略.

(2)由an=2n+1,得

從而

因此

2 利用根式的分母有理化進(jìn)行裂項(xiàng)

得

3 利用配湊法進(jìn)行裂項(xiàng)

把數(shù)列通過(guò)加一個(gè)數(shù)再減一個(gè)數(shù)或者乘一個(gè)數(shù)再除一個(gè)數(shù),湊成差的形式進(jìn)行裂項(xiàng).例如an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1等形式.

例5已知數(shù)列an滿(mǎn)足條件(n-1)an+1=(n+1)(an-1)，且a2=6，設(shè)bn=an+n(n∈N),求{bn}的通項(xiàng)公式.

分析將an=bn-n代入(n-1)an+1=(n+1)(an-1)，得

(n-1)bn+1=(n+1)bn-2(n+1),

從而

即

cn= (cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c3-c2)+c2=

于是

4 利用兩角差的正切公式進(jìn)行裂項(xiàng)

例7在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn,n≥1.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=tanan·tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

(2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析(1)an=lgTn=n+2(n≥1).

(2)由題意和第(1)小題的計(jì)算結(jié)果，知

bn=tan(n+2)·tan(n+3)(n≥1).

于是

例8證明：存在常數(shù)A和B，使對(duì)一切n∈N+，有a1+a2+…+an=Atann+Bn,其中ak=tank·tan(k-1),k∈N+．

分析對(duì)于一切k∈N+，有

變形可得

從而

5 利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行裂項(xiàng)

等差數(shù)列的定義是學(xué)生經(jīng)常用到的,只要稍加變形就可以用于裂項(xiàng)求和.

6 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行裂項(xiàng)

例10各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足an≠1(n∈N*)，當(dāng)n≥2時(shí)，證明：

即

7 利用排列數(shù)或組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行裂項(xiàng)

例11求和:1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=________.

分析直接利用n·n!=(n+1)!-n!可得結(jié)果是(n+1)!-1.