由一道中考壓軸題引發(fā)的教學(xué)思考

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寧海中學(xué)分校 江蘇南京 210036)

由一道中考壓軸題引發(fā)的教學(xué)思考

●卜以樓

寧海中學(xué)分校 江蘇南京 210036)

1 問題提出

1．1 問題

2009年北京市數(shù)學(xué)中考試卷的最后一道壓軸題為：

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)作點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)F,分別聯(lián)結(jié)DF，EF.若過點(diǎn)B的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的2個(gè)四邊形，確定此直線的解析式.

(3)設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)點(diǎn)G，再沿GA到達(dá)點(diǎn)A，若點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定點(diǎn)G的位置，使點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)點(diǎn)A所用的時(shí)間最短(要求：簡述確定點(diǎn)G位置的方法，但不要求證明).

圖1 圖2

1．2 參考答案

本題評分時(shí)，提供的參考答案如下(如圖2所示)：

△DMC∽△AOC.

又

從而

得

故

FT=CS.

因?yàn)?/p>

FE=CD，

所以

TE=FE-FT=CD-CS=SD.

又因?yàn)?/p>

EC=DF，

所以TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS,

∠BAH=30°.

在Rt△OAG中，

筆者對第(1)和第(2)小題的參考答案沒有疑異，對于第(3)小題的參考答案認(rèn)為有“太平淡”之感.雖說題目要求是“簡述確定點(diǎn)G位置的方法，不要求證明”,但是提供的確定點(diǎn)G位置的方法有“從天而降”、“丈二和尚摸不著頭”、“意猶未盡”之感.學(xué)生作出點(diǎn)G的方法有相當(dāng)大的偶然性和較大的投機(jī)成分,影響考題的信度和效度.

但是要確定點(diǎn)G的位置不是一件容易的事，在初中階段是一道難題！筆者就如何確定點(diǎn)G的位置問題，對參考答案作如下補(bǔ)充，以求同行批評指正．

2 補(bǔ)充解答

由題意,可判定在y軸上的線段OM以外的點(diǎn)不符合條件，則點(diǎn)G必在線段OM上，因此確定點(diǎn)G的位置不外乎有以下2種方法.

圖3 圖4

2．1 以數(shù)定點(diǎn)

再設(shè)點(diǎn)G在MG上和GA上所用的時(shí)間分別為t1，t2，在GA上運(yùn)動(dòng)的速度為v，則點(diǎn)G在MG上運(yùn)動(dòng)的速度為2v，因此點(diǎn)G在MG和GA上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

因?yàn)?/p>

所以

整理，得

因?yàn)閙為實(shí)數(shù)，所以

從而

解得

解得

則

∠GAO=30°．

2．2 以形定點(diǎn)

由2.1的解答過程可知點(diǎn)G在MG和GA上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

由于v是一個(gè)常量，原問題即求MG+2GA的最小值．聯(lián)結(jié)GA，GB,由于△MAB為正三角形,GA=GB，因此問題就轉(zhuǎn)化為求MG+GA+GB的最小值．將△AGB繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△AG′B′位置時(shí)，顯然有G′B′=GB，G′A=GA,∠GAG′=60°，則△AGG′為正三角形，GG′=GA，即

MG+GA+GB=MG+GG′+G′B′.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)M，G，G′，B′這4個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，MG+GG′+G′B′最短．此時(shí)在正△AGG′中，

又在正△MAB中,過點(diǎn)A作AH⊥BM于點(diǎn)H，則AH與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G．

3 教學(xué)啟示

探討本題的解法，給我們的教學(xué)帶來的啟示主要有以下幾點(diǎn)：

3．1 要適度堅(jiān)持教“所以然”

新課程下的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容較多地采用“學(xué)生‘做’—在‘做’中感受和體驗(yàn)—主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識”的呈現(xiàn)方式，在學(xué)生通過“做”獲得感受的基礎(chǔ)上，揭示具體“事例”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，然后再明晰有關(guān)知識，以此來加大用合情推理的方式探索圖形性質(zhì)的時(shí)空，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了嶄新的視野和清新的氣息，并在教學(xué)實(shí)踐中獲得了豐碩的成果．但是，在教學(xué)過程中要處理好合情推理與演繹推理的關(guān)系，要防止過度倡導(dǎo)合情推理、過分削弱演繹推理等極端局面的發(fā)生，矯枉不能過正，顧此不可失彼．

在引導(dǎo)學(xué)生通過“做”感受數(shù)學(xué)、探索知識和獲得結(jié)論的同時(shí)，還要注意適度引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么”——不僅讓學(xué)生“知其然”，更要讓學(xué)生“知其所以然”．因?yàn)椤盀槭裁础北取笆鞘裁础备匾?，更具有思辨性，更具有教育價(jià)值．在教學(xué)過程中，要注意經(jīng)常進(jìn)行“小題大作”(多問幾個(gè)“為什么”)，以此來打通各知識間的通道，放大各知識間的節(jié)點(diǎn)，凸顯知識的來龍去脈．

3．2 讓“雙基”教學(xué)與“思想方法”教學(xué)同行

一方面，要繼續(xù)保持“雙基”的優(yōu)勢．“雙基”教學(xué)是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的特色之一，我們理應(yīng)取其內(nèi)核，繼續(xù)發(fā)揚(yáng)，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的“基本模塊”應(yīng)該在“雙基”中進(jìn)一步貫徹與落實(shí)，編織功能齊備的“雙基鏈”，以形成厚實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．

另一方面，要繼續(xù)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的思想方法主要是數(shù)學(xué)建模，建模的基本方法是數(shù)學(xué)抽象，即“符號化”，也就是將實(shí)際問題中的“文字語言”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的“符號語言”，即用數(shù)學(xué)中的“符號語言”去表示事物的狀態(tài)和特征．

從上述2.1的解答過程看，主要利用了勾股定理，行程問題中的路程、速度、時(shí)間的三者關(guān)系，一元二次方程，一元二次方程根的判別式等“雙基鏈”求出最少時(shí)間，使問題獲得了解決．整個(gè)過程體現(xiàn)了較多的數(shù)學(xué)思想方法和技巧，對于解答中考壓軸題來說是必要的，也是必不可少的．

圖4 圖5

從2.2的解答過程看，其“雙基鏈”主要有：

雙基鏈1如圖4所示，已知點(diǎn)M，N在直線AB的異側(cè)，在AB上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到M，N的距離和最小．

只要根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，將PM，PN這2條線段組合到一條直線上，即聯(lián)結(jié)點(diǎn)M，N，交直線AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是要求的點(diǎn)．

雙基鏈2如圖5所示，已知點(diǎn)M，N在直線AB的同側(cè)，在AB上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到M，N的距離和最小．

只要將點(diǎn)M，N在AB的同側(cè)轉(zhuǎn)化成在AB的異側(cè)即可．因此，可先找出M，N中的某一點(diǎn)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，聯(lián)結(jié)對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)交直線AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是要求的點(diǎn)．

從“雙基鏈1”、“雙基鏈2”，提升到本文要討論的問題本質(zhì)：

即把線段MG，GA，GB首尾聯(lián)接在同一條直線上，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”來確定點(diǎn)G的位置．將△AGB繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△AG′B′的位置，則MG+GA+GB=MG+GG′+G′B′，當(dāng)點(diǎn)M，G，G′，B′共線時(shí)，MG+GG′+G′B′最短．

將本文要討論的問題作一般化處理，便可得到下列一個(gè)有趣的問題(可稱為“雙基鏈3”)：

雙基鏈3在三角形所在的平面里求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到三角形3個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，人們稱這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．

2.2的解答過程中反映的數(shù)學(xué)思想方法主要是“轉(zhuǎn)化與化歸”：將“雙基鏈1”通過軸對稱變換轉(zhuǎn)化為“雙基鏈2”；將“雙基鏈1”通過中心對稱變換轉(zhuǎn)化為“本文要討論的問題”．

綜上所述，“雙基”教學(xué)與“思想方法”教學(xué)同行的核心方法就是：一方面，把“大題”分解成“小題”，使“大題小作”；另一方面，讓“小題”組合成“大題”，使“小題大作”．

3．3 適度避免“大題小作”

本題只要求確定點(diǎn)G位置的方法，但不要求說理證明，這樣有于提高得分率．因?yàn)橛邢喈?dāng)一部分學(xué)生是憑借直覺思維與合情推理來完成解答的．在正△MAB中，只有一個(gè)點(diǎn)是特殊點(diǎn)，那就是△ABM的重心，有部分學(xué)生靠運(yùn)氣而得分．因此，本題考查的信度和效度還有待提高，有“大題小作”之嫌．

“大題小作”對于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維以及合情推理能力有較大的益處，但也應(yīng)該承認(rèn)直覺有時(shí)具有偶然性，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性具有負(fù)面效應(yīng)，特別是在解決中考壓軸題時(shí)．對于本題，確定點(diǎn)G的位置，學(xué)生是靠運(yùn)氣、直覺判定來完成解答，還是靠合理的邏輯推理來完成，從解題要求和參考答案來看是無法界定的，很難達(dá)到選拔、區(qū)分的目的．事實(shí)上，要確定點(diǎn)G的位置，需要大量的思維過程和思維總量，對于初中階段的學(xué)生來說，筆者認(rèn)為不是一件容易的事！因此，我們要適度避免“大題小作”．

[1] 王潤中．對一道中考壓軸題“遺留”問題的探討[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)，2010(Z1)：65-66．