通過測(cè)斜數(shù)據(jù)預(yù)判測(cè)斜管失效的分析方法研究

劉 欣，雷國輝，張坤勇，艾英缽，施建勇

（1. 河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210098; 2. 河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所,南京 210098）

1 引 言

巖土測(cè)斜儀廣泛應(yīng)用于道路、基坑、邊坡等填方和挖方工程現(xiàn)場(chǎng)土體或結(jié)構(gòu)物的位移監(jiān)測(cè)。傳統(tǒng)的巖土測(cè)斜儀系統(tǒng)主要由測(cè)斜探頭、帶導(dǎo)槽的測(cè)斜管、帶刻度的電纜以及數(shù)據(jù)采集和存儲(chǔ)裝置組成[1]。測(cè)斜探頭屬精密儀器，如常用的伺服加速度計(jì)式測(cè)斜探頭的分辨率可高達(dá)0.02 mm/500 mm。關(guān)于測(cè)斜儀系統(tǒng)的應(yīng)用研究目前主要集中于測(cè)量誤差和精度的分析以及測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法[2－4]，然而，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，尤其是在邊坡滑移變形監(jiān)測(cè)項(xiàng)目中[5－6]，經(jīng)常會(huì)遭遇由于測(cè)斜管局部變形過大，導(dǎo)致測(cè)斜探頭難以下放，或者偶然下放后卻難以上提的棘手問題，不僅致使測(cè)斜管報(bào)廢，甚至直接致使測(cè)斜探頭報(bào)廢，影響后續(xù)監(jiān)測(cè)工作，造成數(shù)據(jù)缺失和經(jīng)濟(jì)損失。測(cè)斜管局部變形過大的時(shí)刻往往是影響監(jiān)測(cè)對(duì)象的穩(wěn)定性和安全性最為關(guān)鍵的時(shí)刻，因此，有必要通過分析測(cè)量數(shù)據(jù)預(yù)判測(cè)斜管失效的可能性，以便及時(shí)采取必要措施避免由此造成的損失。

2 測(cè)斜管失效判別原理

關(guān)于測(cè)斜管失效判別方法的文獻(xiàn)并不多見。李積勝[6]對(duì)測(cè)斜管的失效判據(jù)進(jìn)行過分析，通過圖 1所示的測(cè)斜探頭與測(cè)斜管之間的幾何關(guān)系，推導(dǎo)出測(cè)斜管失效時(shí)極限曲率半徑Rmin與探頭和電纜剛性接頭的總長(zhǎng)度l、測(cè)斜管內(nèi)徑dc以及探頭直徑dp之間的表達(dá)式：

相應(yīng)的極限曲率的表達(dá)式為

以及測(cè)斜管失效時(shí)對(duì)應(yīng)的極限折角為

圖1 測(cè)斜管失效時(shí)探頭與管的幾何關(guān)系[6]Fig.1 Geometrical relationship between inclinometer probe and casing upon failure of the casing[6]

為分析測(cè)斜管變形過程中各測(cè)點(diǎn)的曲率半徑，他還提出如圖2所示的三型值點(diǎn)雙圓弧插值方法，針對(duì)測(cè)斜管局部任意3個(gè)連續(xù)測(cè)點(diǎn)p1、p和p2的測(cè)斜數(shù)據(jù)，采用兩段圓弧分別對(duì)相鄰兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的測(cè)斜數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，并依據(jù)在中心測(cè)點(diǎn)位置兩圓弧切線相同的約束條件，建立了確定雙圓弧曲率半徑的計(jì)算方法，取雙圓弧曲率半徑的小值與式（1）的極限曲率半徑進(jìn)行對(duì)比，評(píng)判測(cè)斜管失效的可能性，然而以下分析顯示，實(shí)際上圖2的三型值點(diǎn)雙圓弧插值方法并不適用于測(cè)斜管局部變形曲線的分析。

圖2 三型值點(diǎn)雙圓弧插值法示意圖[6]Fig.2 Sketch of biarc interpolation of three data points[6]

測(cè)斜儀系統(tǒng)直接測(cè)量得到的數(shù)據(jù)是各測(cè)點(diǎn)位置測(cè)斜管導(dǎo)槽平面（而非探頭軸線）[2]與重力鉛垂線的夾角δi。傳統(tǒng)上，測(cè)斜數(shù)據(jù)通常被處理為測(cè)點(diǎn)的位置比如深度zi和對(duì)應(yīng)的位移xi值，深度zi一般是簡(jiǎn)單地取為測(cè)距L（通常為500 mm）的整數(shù)倍，位移 xi值一般是從管底起算、取測(cè)斜管的相對(duì)位移值，即土體或結(jié)構(gòu)物等監(jiān)測(cè)對(duì)象變形后與變形前初值之間的差值，以反映監(jiān)測(cè)對(duì)象的位移響應(yīng)。事實(shí)上，測(cè)斜管在埋設(shè)時(shí)，并不能保證其是鉛直的，放入測(cè)斜管內(nèi)的測(cè)斜探頭以及與其連接的電纜線的長(zhǎng)度并不代表測(cè)點(diǎn)的真實(shí)深度。因此，采用曲率半徑、曲率或折角的方法評(píng)判測(cè)斜管失效的可能性時(shí)，測(cè)斜數(shù)據(jù)應(yīng)采用測(cè)斜管內(nèi)各測(cè)點(diǎn)的真實(shí)深度和絕對(duì)位移值，如圖3所示，從管底測(cè)點(diǎn)起算其計(jì)算公式應(yīng)為

式中：N為測(cè)斜管從管底測(cè)點(diǎn)起算的總測(cè)點(diǎn)數(shù)，i =2，3，…，N。

圖2中在采用局部任意3個(gè)連續(xù)測(cè)點(diǎn)p1、p和p2的測(cè)斜數(shù)據(jù)進(jìn)行雙圓弧插值時(shí)，認(rèn)為相鄰兩測(cè)點(diǎn)p1p和 pp2的線段長(zhǎng)度不等，而 p1p2的線段長(zhǎng)度取為2倍的測(cè)距。但是，測(cè)斜儀系統(tǒng)的測(cè)試原理就已表明，相鄰兩測(cè)點(diǎn)的線段長(zhǎng)度都代表了測(cè)距 L，二者應(yīng)該是相等的，中心測(cè)點(diǎn)p本身就應(yīng)該在與其相鄰的兩端測(cè)點(diǎn)p1和p2的中垂線上，自然滿足在中心測(cè)點(diǎn)位置兩圓弧切線相同的約束條件，且兩圓弧的曲率半徑也相等。因此，所謂的三型值點(diǎn)雙圓弧插值方法實(shí)際上應(yīng)該是三型值點(diǎn)圓弧插值方法。

為分析測(cè)斜管變形曲線的曲率變化，并且考慮滿足變形曲線的光滑性以及失效時(shí)大撓度變形的保凸性要求，本文利用測(cè)斜數(shù)據(jù)處理公式（4），提出基于三型值點(diǎn)的圓弧插值法、四型值點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值法和雙圓弧插值法以及五型值點(diǎn)的單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法，分別推求測(cè)斜管各測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲率，與極限曲率公式（2）進(jìn)行對(duì)比，評(píng)判測(cè)斜管失效的可能性，同時(shí)也提出比較簡(jiǎn)單的基于兩型值點(diǎn)的折角比較法，與極限折角公式（3）進(jìn)行對(duì)比，評(píng)判測(cè)斜管失效的可能性。另外，將所提出的方法運(yùn)用于某地鐵車站基坑工程現(xiàn)場(chǎng)施工監(jiān)測(cè)過程中1根測(cè)斜管的失效實(shí)例，對(duì)比分析了各方法的適用性。

圖3 測(cè)斜數(shù)據(jù)分析實(shí)際深度和絕對(duì)水平位移示意圖Fig.3 Sketch of analyzing the true depths and absolute horizontal displacements using the inclinometer data

3 計(jì)算方法

3.1 曲率計(jì)算公式

運(yùn)用測(cè)斜數(shù)據(jù)分析結(jié)構(gòu)物的彎矩響應(yīng)，比如分析地下連續(xù)墻或樁墻支護(hù)結(jié)構(gòu)的彎矩響應(yīng)或者分析水平荷載作用下樁基的彎矩響應(yīng)時(shí)，通常是按照小撓度變形問題，采用下面的近似公式，計(jì)算監(jiān)測(cè)對(duì)象變形響應(yīng)曲線的曲率[7]：

對(duì)于由局部變形過大導(dǎo)致的測(cè)斜管失效問題，小撓度變形已不再適用，嚴(yán)格的曲率計(jì)算公式[7]為

3.2 三型值點(diǎn)圓弧插值法

三型值點(diǎn)圓弧插值法是能夠滿足測(cè)斜管局部變形曲線光滑性的一種最簡(jiǎn)單方法。對(duì)于圖4所示任意 3個(gè)連續(xù)測(cè)點(diǎn) pi-1(zi-1,xi-1)、pi(zi,xi)和 pi+1(zi+1,xi+1)，由于相鄰兩個(gè)測(cè)點(diǎn) pi-1pi和 pipi+1的線段長(zhǎng)度都等于測(cè)距 L，對(duì)三角形 pi-1pipi+1運(yùn)用余弦定理可得

式中：α、Ri的符號(hào)意義見圖4。

圖4 三型值點(diǎn)圓弧插值法示意圖Fig.4 Sketch of three data points arc interpolation

3.3 四型值點(diǎn)三次多項(xiàng)式插值法

針對(duì)局部測(cè)點(diǎn)的測(cè)斜數(shù)據(jù)，采用三次多項(xiàng)式插值法確定其對(duì)應(yīng)的曲率半徑是最直觀的方法。設(shè)三次多項(xiàng)式為

式中：a、b、c、d分別為待定系數(shù)。因此，該多項(xiàng)式需要4個(gè)測(cè)點(diǎn)的測(cè)斜數(shù)據(jù)來確定。設(shè)局部任意4個(gè)連續(xù)測(cè)點(diǎn)及其測(cè)斜數(shù)據(jù)為 pi-2(zi-2,xi-2)、pi-1(zi-1,xi-1)、pi(zi,xi)和pi+1(zi+1,xi+1)，代入式（11）則構(gòu)成四元一次方程組：

利用數(shù)學(xué)軟件 MATLAB可以方便地求解出式（12）中的待定系數(shù)，代入式（11），并對(duì)z分別求一階和二階導(dǎo)數(shù)后代入式（6）可得測(cè)點(diǎn) pi處的曲率為

3.4 四型值點(diǎn)雙圓弧插值法

雙圓弧插值法除了能夠使得所構(gòu)成的圓弧段之間保持一階光滑外，還具有較好的保凸性[8]，與上述插值法相比，更適合于大撓度變形曲線的插值[9]。該方法采用兩段圓弧對(duì)測(cè)斜管變形曲線上局部4個(gè)連續(xù)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。如圖5所示，設(shè)局部任意4個(gè)連續(xù)測(cè)點(diǎn)及其測(cè)斜數(shù)據(jù)為pi-2(zi-2,xi-2)、pi-1(zi-1,xi-1)、pi(zi,xi)和 pi+1(zi+1,xi+1)。第一段圓弧針對(duì)測(cè)點(diǎn)pi-2、pi-1和pi采用前述三型值點(diǎn)圓弧插值法確定，第二段圓弧針對(duì)測(cè)點(diǎn)pi和pi+1構(gòu)造且滿足兩段圓弧在交點(diǎn)pi處切線相同的約束條件。根據(jù)幾何關(guān)系可以知道，第二段圓弧的圓心 Oi2必然在第一段圓弧的最近一條徑線Oi1pi或其延長(zhǎng)線上。最終，取兩段圓弧的最大曲率作為雙圓弧交點(diǎn) pi處的曲率。

圖5 四型值點(diǎn)雙圓弧插值法示意圖Fig.5 Sketch of biarc interpolation method of four data points

對(duì)于由測(cè)點(diǎn)pi-2、pi-1和pi構(gòu)造的第一段圓弧，按照前述三型值點(diǎn)圓弧插值法即式（10）可以很容易地確定其曲率：

對(duì)于由測(cè)點(diǎn)pi和pi+1構(gòu)造的第二段圓弧，可以采用平面解析幾何方法，先確定兩段圓弧的圓心坐標(biāo)位置，再推求曲率半徑和曲率。

第一段圓弧的圓心Oi1是線段pi-2pi-1和pi-1pi的中垂線的交點(diǎn)。線段pi-2pi-1和pi-1pi的中垂線方程為

式中：k1、k2分別為線段pi-2pi-1和pi-1pi中垂線的斜率；(zm1,xm1)和(zm2,xm2)分別為線段pi-2pi-1和pi-1pi中點(diǎn)的坐標(biāo)，其表達(dá)式為

求解式（15）的聯(lián)立方程組可得圓心 Oi1的坐標(biāo)為

第二段圓弧的圓心Oi2是線段pipi+1的中垂線和過 Oi1和 pi直線的交點(diǎn)。線段 pipi+1的中垂線和過Oi1和pi的直線的方程為

式中：km、ki分別為線段 pipi+1的中垂線和過 Oi1pi直線的斜率；(zm,xm)為線段 pipi+1中點(diǎn)的坐標(biāo)，其表達(dá)式為

求解式（18）的聯(lián)立方程組可得圓心 Oi2的坐標(biāo)為

則第二段圓弧的曲率為

由式（14）和式（21）可得pi測(cè)點(diǎn)處的曲率：

3.5 五型值點(diǎn)單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法

以上針對(duì)測(cè)斜管局部變形曲線所提出的插值法都要求各型值點(diǎn)即測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)滿足插值函數(shù)或位于插值曲線之上。而擬合法則以逼近型值點(diǎn)為目標(biāo)，建立相應(yīng)的函數(shù)或曲線，為此本文也進(jìn)行了這方面的嘗試，在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，建立了基于五型值點(diǎn)的單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法。

如圖6所示，設(shè)測(cè)斜管變形曲線上任意5個(gè)連續(xù)的測(cè)點(diǎn)及其測(cè)斜數(shù)據(jù)為pi-3(zi-3,xi-3)、pi-2(zi-2,xi-2)、pi-1(zi-1,xi-1)、pi(zi,xi)和 pi+1(zi+1,xi+1)，采用單點(diǎn)約束擬合法[10]首先利用pi-3、pi-2、pi-1和pi這4個(gè)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)采用最小二乘法進(jìn)行第一段圓弧擬合，且滿足第4個(gè)測(cè)點(diǎn)pi在擬合圓弧上的約束條件。第二段圓弧針對(duì)測(cè)點(diǎn)pi和pi+1構(gòu)造且滿足兩段圓弧在交點(diǎn)pi處切線相同的約束條件。最終，取兩段圓弧的最大曲率作為雙圓弧交點(diǎn)pi處的曲率。

圖6 五型值點(diǎn)單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法示意圖Fig.6 Sketch of biarc fitting of five data points with an end point constraint

對(duì)于第一段圓弧，以測(cè)點(diǎn)pi(zi,xi)為約束點(diǎn)，定義目標(biāo)函數(shù)和約束條件，求解其圓心坐標(biāo) Oi1(zi1,xi1)及其半徑 Ri1。由最小二乘法確定的目標(biāo)函數(shù)為：

測(cè)點(diǎn)pi在擬合圓弧上的約束條件為

采用求極值的方法，將式（24）代入式（23），并令其分別對(duì)zi1和xi1求偏導(dǎo)后為0，可得[10]

將pi-3、pi-2、pi-1和pi測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)代入式（25）可得第一段圓弧的圓心坐標(biāo)(zi1,xi1)，再代入式（24）可得其曲率半徑，取其倒數(shù)則可得第一段圓弧的曲率 ρi1。

對(duì)于由測(cè)點(diǎn)pi和pi+1構(gòu)造的第二段圓弧，則可以采用章節(jié) 3.4的方法，將式（25）得到的第一段圓弧的圓心坐標(biāo)(zi1,xi1)代入式（19）～（21）得到其曲率 ρi2。

最后，根據(jù)式（22）取ρi1和ρi2的最大值得到pi測(cè)點(diǎn)處的曲率 ρi。

3.6 折角比較法

以上對(duì)于測(cè)斜管變形曲線的曲率分析方法相對(duì)比較復(fù)雜，本文也嘗試提出最簡(jiǎn)單的，直接通過計(jì)算出相鄰兩測(cè)點(diǎn)的相對(duì)折角，與極限折角公式（3）對(duì)比，來評(píng)判測(cè)斜管失效的可能性。如圖7所示，測(cè)點(diǎn)pi處的相對(duì)折角為

圖7 折角比較法示意圖Fig.7 Sketch of deflection angle comparison method

4 實(shí)例分析

某地鐵車站基坑及測(cè)斜管位置平面圖如圖8所示，基坑主體長(zhǎng)169.0 m，寬22.5 m，中間段挖深16.2 m，兩端頭盾構(gòu)井挖深17.2 m，采用鋼管支撐與SMW工法支護(hù)結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)場(chǎng)施工監(jiān)測(cè)在支護(hù)結(jié)構(gòu)附近土層中共布置 9個(gè)測(cè)斜孔，監(jiān)測(cè)工作從 2006年7月開始，至12月結(jié)束。期間，09號(hào)測(cè)斜管在9月8日實(shí)施監(jiān)測(cè)時(shí)，測(cè)斜探頭在測(cè)完深度10 m的數(shù)據(jù)后，在深度10.0～10.5 m段受阻，未能繼續(xù)下放，并在10 m深度位置測(cè)得最大水平位移。同時(shí)，測(cè)斜管附近支護(hù)結(jié)構(gòu)也發(fā)現(xiàn)局部滲漏險(xiǎn)情，其原因在于附近臨時(shí)堆土所致。隨后通過堆土外運(yùn)和堵漏措施解決，并重新鉆孔埋設(shè)新的測(cè)斜管實(shí)施后續(xù)監(jiān)測(cè)，但造成20 d數(shù)據(jù)缺失。當(dāng)時(shí)若能通過測(cè)斜數(shù)據(jù)的分析提前預(yù)判測(cè)斜管的失效，或許可以避免數(shù)據(jù)缺失的問題。

圖8 測(cè)斜管布置平面圖Fig.8 Plan of the arrangement of inclinometer casings

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，采用式（4）的方法計(jì)算得到的09號(hào)測(cè)斜管8月31日至9月7日期間每日的絕對(duì)水平位移沿真實(shí)深度的變化曲線如圖 9所示，其中位移值為負(fù)表示向著坑內(nèi)的位移。由圖可見，8 m至13 m深度位置的絕對(duì)水平位移變化最大，其曲率也日漸增大，是造成測(cè)斜管失效的危險(xiǎn)部位。為檢驗(yàn)本文所提出的測(cè)斜管失效判別方法的適用性，表1列出了深度5～15 m段的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，并分別采用本文提出的5種方法，判別測(cè)斜管失效的可能性。

圖9 09號(hào)測(cè)斜管絕對(duì)位移與深度曲線Fig.9 Absolute displacement-depth curve of No. 09 inclinometer casing

現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)采用 CX－03型測(cè)斜儀和 PVC測(cè)斜管，測(cè)斜管外徑為70 mm，內(nèi)徑dc=60 mm；測(cè)斜探頭及其電纜剛性接頭的總長(zhǎng)l約為800 mm，探頭直徑為dp=32 mm。根據(jù)式（1）～（3）可算得測(cè)斜管失效時(shí)的極限曲率半徑 Rmin=2.871 m，極限曲率ρmax=0.348，極限折角 θmax=8.008°。

針對(duì)表1的數(shù)據(jù)，分別采用三型值點(diǎn)圓弧插值法、三型值點(diǎn)三次多項(xiàng)式插值法、四型值點(diǎn)雙圓弧插值法、五型值點(diǎn)單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法以及折角比較法計(jì)算得到的測(cè)斜管在 5～15 m 深度段各測(cè)點(diǎn)位置的曲率和折角如圖10所示。由圖可以看出，9月1日各深度測(cè)點(diǎn)的曲率和折角相對(duì)較小，但從9月3日開始，10 m深度上下測(cè)點(diǎn)的曲率和折角開始突然增大，并持續(xù)增大至9月7日達(dá)到最大值，其中三型值點(diǎn)圓弧插值法和三型值點(diǎn)三次多項(xiàng)式插值法計(jì)算得到的曲率值幾乎相等，且都相對(duì)較?。凰男椭迭c(diǎn)雙圓弧插值法計(jì)算得到的曲率值稍大；五型值點(diǎn)單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法計(jì)算得到的曲率值最大，與測(cè)斜管失效時(shí)的極限曲率值0.348相比，最接近于極限曲率。折角比較法的計(jì)算結(jié)果也顯示出在深度10 m上下位置變化劇烈且最大折角逐日增加。

表1 09號(hào)測(cè)斜管局部深度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Table1 Measured data at local depths of No. 09 inclinometer casing

圖10 5種測(cè)斜管失效判別方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of the calculated results by the five methods of detecting the failure of inclinometer casing

依據(jù)表1中9月7日的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，5種方法計(jì)算得到的最大曲率或最大折角值、深度位置和由式（2）、（3）計(jì)算得到的測(cè)斜管失效時(shí)的極限曲率和極限折角值如表2所列。從表中可以看出，五型值點(diǎn)單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法計(jì)算得到的最大曲率值0.286與極限曲率值0.348最接近；四型值點(diǎn)雙圓弧插值法計(jì)算得到的最大曲率值為0.155，約為0.45倍的極限曲率；而三型值點(diǎn)圓弧插值法和三型值點(diǎn)三次多項(xiàng)式插值法計(jì)算得到的最大曲率值更小，均為 0.103，與極限曲率值差距較大；折角比較法計(jì)算得到的最大折角值2.947°約為極限折角值 8.008o的 0.37倍，差距也較大。5種方法計(jì)算得到的最大曲率和最大折角發(fā)生在9.5～10.0 m深度位置，與9月8日現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)過程中測(cè)斜探頭在 10.0～10.5 m 深度位置受阻的情況基本吻合。顯然，五型值點(diǎn)單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法無論是曲率還是深度的計(jì)算結(jié)果都最符合實(shí)際。因此，本文推薦采用該方法作為測(cè)斜管失效判別方法。

表2 計(jì)算得到的最大曲率和折角Table2 Calculated maximum curvature and deflection angle

5 結(jié) 語

針對(duì)測(cè)斜管失效問題，本文提出5種確定測(cè)斜管局部變形曲線的曲率或折角的方法，分別是三型值點(diǎn)圓弧插值法、三型值點(diǎn)三次多項(xiàng)式插值法、四型值點(diǎn)雙圓弧插值法、五型值點(diǎn)單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法和折角比較法。采用這些方法，針對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)所確定的最大曲率或最大折角與測(cè)斜管失效時(shí)的極限曲率或極限折角進(jìn)行對(duì)比，以評(píng)判測(cè)斜管失效的可能性。

通過對(duì)某地鐵車站基坑工程現(xiàn)場(chǎng)施工監(jiān)測(cè)過程中1根測(cè)斜管的失效實(shí)例分析結(jié)果表明，五型值點(diǎn)單點(diǎn)約束擬合雙圓弧法能夠較好地預(yù)測(cè)測(cè)斜管的失效。但該方法的適用性還有待于更多的工程實(shí)踐檢驗(yàn)。

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