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      孫子定理教學新探

      2012-11-02 07:11:50
      大學數(shù)學 2012年4期
      關(guān)鍵詞:西南財經(jīng)大學新探數(shù)論

      李 偉

      (西南財經(jīng)大學經(jīng)濟數(shù)學學院,成都 610074)

      孫子定理教學新探

      李 偉

      (西南財經(jīng)大學經(jīng)濟數(shù)學學院,成都 610074)

      改進了孫子定理的教學方法.

      孫子定理;教學方法

      孫子定理 設(shè)m1,…,mn為兩兩互素的正整數(shù),對任意整數(shù)a1,…,an,同余方程組

      有唯一解modM,并可表示為

      這里M=m1…mn,Mi=M/mi,M′iMi≡1(modmi),i=1,…,n.

      孫子定理,即中國剩余定理,是初等數(shù)論的的重要定理.一般初等數(shù)論教程給出的證明過程是:先證明解的唯一性,再驗證(1)為解.初學者往往感到困惑:為什么要求m1,…,mn兩兩互素?能否同時求出M′1,…,M′n?其實,只要對孫子定理的證明過程作適當?shù)慕虒W法加工,就可以化解初學者的困惑,從而使他們更好地理解定理.

      下面給出作了教學法加工的孫子定理的證明過程.

      第一步:統(tǒng)一各同余方程的模.顯然,統(tǒng)一的模為M=[m1,…,mn]=m1…mn.由x≡ai(modmi),知Mix≡Miai(modMimi),即Mix≡Miai(modM),i=1,…,n.

      第二步:用M1x,…,Mnx組合出x.我們要求出x,希望能找到M′1,…,M′n,使得

      這等價于1=M′1M1+…+M′nMn,即(M1,…,Mn)=1.由M1,…,Mn的作法,滿足前述要求.m1,…,mn滿足兩兩互素的條件,就是為了保證(M1,…,Mn)=1.因此M′1,…,M′n是存在的.

      第三步:同時找出M′1,…,M′n.作整數(shù)矩陣如下

      這里整數(shù)矩陣的列初等變換有三種情形:(i)交換兩列的位置;(ii)用-1乘某一列;(iii)把某一列的整數(shù)倍加到另一列.于是有

      第四步:給出解的表達式.我們有

      第五步:證明解modM的唯一性.若y也是同余方程組的解,則

      [1]潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].北京:北京大學出版社,1992:164-174.

      [2]華羅庚.數(shù)論導引[M].北京:科學出版社,1957:32-34.

      New Method to Teach Sun Zi’theorem

      LIWei
      (School of Economic Mathematics,Southwestern University of Finance and Economics,Chengdu 610074,China)

      We give a new method to teach Sun Zi’theorem.

      Sun zi’Theorem;teaching method

      O156.1

      C

      1672-1454(2012)04-0144-03

      2009-10-16;[修改日期]2010-10-25

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