講授Riesz表示定理的兩點(diǎn)注記

粟塔山

（國(guó)防科技大學(xué)理學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073）

講授Riesz表示定理的兩點(diǎn)注記

粟塔山

（國(guó)防科技大學(xué)理學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073）

對(duì)講授Riesz表示定理提出了兩點(diǎn)可供參考的資料和建議.

Riesz表示定理；超平面

筆者近年為工科碩士生講授《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程，使用的教材是《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（吳翊，李超，羅建書(shū)，戴清平編著，高等教育出版社，2006）.講到Riesz表示定理時(shí)，筆者圍繞該定理作了一點(diǎn)鋪墊和引申，這對(duì)于學(xué)生更細(xì)致地理解Hilbert空間可能有些益處.

1 Riesz表示定理的一點(diǎn)鋪墊

Riesz表示定理的關(guān)鍵結(jié)論是：對(duì)于Hilbert空間X上的任何線(xiàn)性有界泛函f，存在對(duì)應(yīng)的元素y∈X，使得

稱(chēng)y為f的表示.教材給出的證明是簡(jiǎn)潔而清晰的：當(dāng)f＝0，取y＝0即可；當(dāng)f≠0，則f的核N（f）≠X，從而N⊥（f）≠0，于是可取到y(tǒng)0∈N⊥（f），y0≠0.作

驗(yàn)證即得.第一次講授時(shí)，有學(xué)生提問(wèn)：怎么想到要這樣選取y呢？筆者當(dāng)時(shí)沒(méi)能回答.

教材畢竟不是教案，也許教師的課堂講授應(yīng)該說(shuō)出教材沒(méi)有說(shuō)出的話(huà).筆者感覺(jué)，如果在Riesz表示定理之前做一些適當(dāng)?shù)匿亯|，就能讓學(xué)生更輕松地接受定理的證明.于是，筆者第二年講授該定理時(shí)，先補(bǔ)充了一個(gè)結(jié)論（此前，教材中已經(jīng)講述了投影定理）.

引理 設(shè)f是Hilbert空間X上的線(xiàn)性有界泛函，且f≠0，那么，N（f）與X只差1維，即存在y0∈N⊥（f），y0≠0，使得

其中［y0］表示y0的張成子空間表示正交和.

證 由f的線(xiàn)性連續(xù)性易知N（f）是X的閉子空間.又因?yàn)閒≠0，即N（f）≠X，故存在y∈X，y?N（f），取

其中是y在N（f）中的投影，從而y0∈N⊥（f），y0≠0.現(xiàn)在?x∈X，

有了這個(gè)引理，再來(lái)考察對(duì)于給定的線(xiàn)性連續(xù)泛函f，如何找到y(tǒng)，使得

首先注意到，當(dāng)x∈N（f）時(shí)，上式左邊為零，故必須y∈N⊥（f）.而根據(jù)引理，N⊥（f）是y0張成的一維子空間，所以y必然形如y＝λy0，再如下確定λ：

當(dāng)f（x）≠0時(shí)，欲使得

等式右邊改寫(xiě)為

這樣，學(xué)生對(duì)y的來(lái)龍去脈有了比較清晰的理解.

2 Riesz表示定理的一點(diǎn)引申

為了更細(xì)致地理解Riesz表示定理，對(duì)比Rn中過(guò)原點(diǎn)的超平面

π是Rn中的n－1維子空間，與Rn只差1維，這個(gè)性質(zhì)與N（f）類(lèi)似.所以，也可以把N（f）看成X中的超平面.還注意到f的表示y使得

即y可以看成超平面N（f）的法向，它相當(dāng)于π的法向量a＝（a1，a2，…，an）T.

設(shè)fi（i＝1，…，r）是X上r個(gè)線(xiàn)性連續(xù)泛函，稱(chēng)

為齊次線(xiàn)性方程組.如果fi對(duì)應(yīng)的表示為yi，則方程組可以寫(xiě)作

顯然該齊次方程組的通解是X的子空間

這里［y1，…，yr］表示由y1，…，yr張成的子空間.

對(duì)非零常數(shù)c，｛x∈X｜f（x）＝c｝是不過(guò)原點(diǎn)的超平面（不再是子空間），它是一個(gè)仿射集（集合中任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)屬于該集合）.類(lèi)似地，稱(chēng)（當(dāng)c1，…，cr不全為零）

為非齊次方程組.由Riesz表示定理，該方程組也可寫(xiě)作

我們有與有限維空間同樣的結(jié)論，即非齊方程組的通解等于一個(gè)特解加上齊方程組的通解.

命題設(shè)

那么，V＝x＊＋M.

3 結(jié) 論

上述內(nèi)容使得學(xué)生對(duì)Riesz表示定理有了更細(xì)致的理解，也初步認(rèn)識(shí)了無(wú)窮維空間中的線(xiàn)性方程組.這些內(nèi)容對(duì)工科碩士生都是容易接受的.為此花費(fèi)的時(shí)間至多1學(xué)時(shí).

［1］吳翊，李超，羅建書(shū)，戴清平.應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］Luenberger D G.最優(yōu)化的矢量空間方法［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1987.

O177.1

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2010－03－08