歐氏群與二次曲線方程的化簡

尹彥彬， 王建永， 陳敏茹

（河南大學(xué)數(shù)學(xué)院，開封 475004）

歐氏群與二次曲線方程的化簡

尹彥彬， 王建永， 陳敏茹

（河南大學(xué)數(shù)學(xué)院，開封 475004）

討論歐氏群E（2）在二次曲線方程化簡理論中的應(yīng)用.在此背景下，給出二次方程化簡的方法；討論了二次曲線方程的若干性質(zhì).

歐氏群；反射；二次曲線

1 預(yù)備知識

在本文中我們約定coli（A）表示A的第i列向量；At表示A的轉(zhuǎn)置；向量u的單位化記為u0.考慮二次曲線Γ的一般方程

為了方便起見，特引進一些記號

定義1.1［1］二次曲線的一族平行弦的中點軌跡是一條直線，這條直線稱為二次曲線的共軛于平行弦方向的直徑.

定義1.2［1］設(shè)l為二次曲線的一條直徑，如果它垂直于自己的共軛弦，則l稱為主直徑，主直徑的方向和垂直于主直徑的方向稱為主方向.

命題1.2二次曲線的主直徑的共軛方向是A2的非零特征根對應(yīng)的特征向量的方向.

證 設(shè)X∶Y為主直徑弦的方向，主直徑方向為X′∶Y′，則有X′∶Y′＝－Y∶X.由命題1.1，X′∶Y′＝－（a12X＋a22Y）∶（a11X＋a12Y）＝－Y∶X，得

從而X∶Y為A2的屬于非零特征根λ的特征向量.

（i）有心二次曲線（detA2≠0）：此時二次曲線有唯一中心（x0，y0）.A2有兩個非零特征根，所以二次曲線有兩個主方向.設(shè)X∶Y為一主方向，則其共軛方向為－Y∶X，也是主方向.那么以X∶Y為主方向的主直徑為YF1（x，y）－XF2（x，y）＝0，另一主直徑方程為XF1（x，y）＋YF2（x，y）＝0.當(dāng)然它們經(jīng)過二次曲線中心（x0，y0），所以以X∶Y為主方向的主直徑可以表示為

參數(shù)方程表示為

2 二次曲線的化簡

2.1 歐氏群.

定義2.1平面上的運動群

平面上的運動是三種運動合成的即沿任意給定向量的平移，旋轉(zhuǎn)某個角度和關(guān)于過原點直線的反射.后兩種構(gòu)成正交群O（2，R）.

說明 （i）旋轉(zhuǎn)某個角度的變換即將原來的向量逆時針旋轉(zhuǎn)θ角度，對應(yīng)變換

這里detR＝1矩陣R對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換記為fR，即fR（x，y）＝（x，y）Rt.

（ii）關(guān)于直線y＝tanθx反射，對應(yīng)變換

這里detR′＝－1.矩陣R′對應(yīng)的反射變換記為fR′，即fR′（x，y）＝（x，y）R′t.

（iii）沿向量a＝（a1，a2）的平移，（x′，y′）＝（x＋a1，y＋a2）.向量a對應(yīng)的平移變換記作Ta，即Ta（x，y）＝（x，y）＋a.

Rn空間到自身的等距群稱為Rn上的歐氏群［2］，記作E（n）.任意的歐氏變換能被分解為正交變換和平移的復(fù)合.因此，E（n）可以表示為E（n）＝｛（x，R）｜x∈Rn，R∈O（n，R）｝對應(yīng)歐氏變換記作f（a，R）＝Ta?fR即f（a，R）（x，y）＝（x，y）Rt＋a.容易看出，平面上的歐氏群就是運動群M（R2）.

說明E（n）不是一般線性群GL（n，R）的李子群，而且平移不滿足線性.但是存在同構(gòu)

使得E（n）成為GL（n＋1，R）的李子群［2］.由此視為矩陣?yán)钊?于是在E（n）中的乘積、取逆定義如下：

命題2.1Ta＝f（a，I）和fR＝f（0，R）.

2.2 二次曲線化簡.

設(shè)（a，R）∈E（2），對應(yīng)歐氏變換（x′，y′）＝f（a，R）（x，y），則有（x′，y′，1）t＝（a，R）（x，y，1）t.

推論2.1在平移變換Ta下，A′2＝A2和F′3＝（F1（a），F(xiàn)2（a），F(xiàn)（a））t.

推論2.2對有中心的二次曲線，取a為二次曲線的中心時，在平移變換Ta下，一次項系數(shù)F1（a）＝F2（a）＝0.在正交變換下，設(shè)R∈O（n，R），

推論2.3在正交變換fR下，A′2＝RtA2R和

命題2.2［3］存在平面上的正交變換R，使得A2化為對角型，即RtAR＝Λ＝diag（λ1，λ2），其中λ1，λ2為A2的特征根，R的列向量col1R，col2R為屬于λ1，λ2單位正交特征向量.

推論2.5設(shè)u＝（x1，x2）t為屬于λ的單位特征向量，那么（x1，x2）A2（x1，x2）t＝λ.

推論2.6設(shè)A2的特征根為λ，μ，則（x1，x2）是屬于λ的特征向量，那么（－x2，x1）為屬于μ的特征向量.

命題2.3給定二次曲線F（x，y）＝（x，y，1）A3（x，y，1）t，行列式I1，detA2，detA3在平移、旋轉(zhuǎn)和反射變換下不變，稱為二次曲線的不變量.

證根據(jù)特征方程和上述定理我們可以得到I′1＝trA′2＝trA2＝I1.對于detA2是顯然的，因為detA′2＝det（RtA2R）＝detA2.考慮det（a，R）＝1.因此，

其中前一式為共軛于u2的直徑，即主直徑.從而a為拋物線的頂點.

［1］呂林根，許子道， 解析幾何［M］.4版.高等教育出版社，2007.

［2］Brian C.Hall，Lie groups，Lie algebras，and representations，an elementary introduction［M］.世界圖書出版社.

［3］王萼芳，石生明.高等代數(shù)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2007.

Euclidean Groups and the Simplification of Conic Equations

YINYan－Bin，WANGJian－Yong，CHENMin－Ru
（School of Mathematics and Information Sciences，Henan University，Kaifeng 475004，China）

This paper is an application of the Euclidean groupE（2）to the simplification of Conic equations.In this way，we provide a method of the simplification of conic equations and discuss some properties of conic.

Euclidean group；reflection；conic

O182

A

1672－1454（2012）04－0107－06

2010－03－26