數(shù)學(xué)家與π

黑龍江 張艷 姜彥琪

數(shù)學(xué)家與π

黑龍江 張艷 姜彥琪

圓周率是表示圓的周長(zhǎng)與直徑的比的一個(gè)定值。本文通過(guò)介紹古今中外著名數(shù)學(xué)家探索其準(zhǔn)確近似值的過(guò)程，從而展現(xiàn)π的魅力以及數(shù)學(xué)方法的奇異美。

圓周率；阿基米德；劉徽；祖沖之

引言

圓周率是一個(gè)極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開(kāi)始，這個(gè)數(shù)就引起了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個(gè)非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計(jì)算問(wèn)題。圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些，表示這3倍多一些的數(shù)是一個(gè)固定的數(shù)，我們把圓的周長(zhǎng)和直徑的比值稱之為圓周率。用字母π表示。圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也就是說(shuō)它的小數(shù)部分既是無(wú)限的又是無(wú)規(guī)律的，是永遠(yuǎn)寫不完的。回顧歷史，我們可以將這一計(jì)算歷程分為幾個(gè)階段。

1 實(shí)驗(yàn)時(shí)期

通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)π值進(jìn)行估算，這是計(jì)算π的的第一階段。估算基本上都是以觀察或?qū)嶒?yàn)為根據(jù)，是基于對(duì)一個(gè)圓的周長(zhǎng)和直徑的實(shí)際測(cè)量而得出的。大約公元前2000年，古巴比倫人用近似值3.125表示π。在古代世界，實(shí)際上長(zhǎng)期使用π＝3這個(gè)數(shù)值。最早見(jiàn)于文字記載的有基督教《圣經(jīng)》中的章節(jié)。在我國(guó)劉徽之前“圓徑一而周三”曾廣泛流傳。我國(guó)第一部《周髀算經(jīng)》中就有記載。木工師傅有兩句從古流傳下來(lái)的口訣：叫做：“周三徑一，方五斜七”，意思是說(shuō)，直徑為1的圓，周長(zhǎng)大約是3，邊長(zhǎng)為5的正方形，對(duì)角線之長(zhǎng)約為7。這正反映了早期人們對(duì)圓周率π和這兩個(gè)無(wú)理數(shù)的粗略估計(jì)。東漢時(shí)期官方還明文規(guī)定圓周率取3為計(jì)算面積的標(biāo)準(zhǔn)。后人稱之為“古率”。早期的人們還使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希臘人曾用谷粒擺在圓形上，以數(shù)粒數(shù)與方形對(duì)比的方法取得數(shù)值?；蛴脛蛑啬景邃彸蓤A形和方形以秤量對(duì)比取值……由此，得到圓周率的稍好些的值。如古埃及人應(yīng)用了約四千年的4(8/9)2=3.1605。

2 幾何法時(shí)期

阿基米德在一篇論文《圓的測(cè)定》中第一次創(chuàng)用上、下界來(lái)確定π的近似值，他使用了基于內(nèi)接和外切多邊形的幾何方法證明了“圓周長(zhǎng)與圓直徑之比小于3+(1/7)而大于3+(10/71)”，得到了上下界：3.1408＜π＜3.1428。到公元150年左右，希臘天文學(xué)家托勒密得出π＝3.1416，取得了自阿基米德以來(lái)的巨大進(jìn)步。

在我國(guó)，首先是由數(shù)學(xué)家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術(shù)，得出π＝3.14，通常稱為“徽率”，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術(shù)的時(shí)間比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，簡(jiǎn)捷很多。另外，有人認(rèn)為在割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以致于他將割到192邊形的幾個(gè)粗糙的近似值通過(guò)簡(jiǎn)單的加權(quán)平均，竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率π＝3927/1250＝3.1416。而這一結(jié)果，如果通過(guò)割圓計(jì)算，需要割到3072邊形。這一神奇的精加工技術(shù)是割圓術(shù)中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由于人們對(duì)它缺乏理解而被長(zhǎng)期埋沒(méi)了。

恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻(xiàn)，祖沖之關(guān)于圓周率的兩大貢獻(xiàn)。其一是求得圓周率3.1415926＜π＜3.1415927。其二是，得到π的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)即：約率為22／7；密率為355／113。他算出π的8位可靠數(shù)字，不但在當(dāng)時(shí)是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。以致于有數(shù)學(xué)史家提議將這一結(jié)果命名為“祖率”。

1150年，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅第二計(jì)算出π=3927/1250=3.1416。1424年，中亞細(xì)亞地區(qū)的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡西著《圓周論》，計(jì)算了3×228＝805,306,368邊內(nèi)接與外切正多邊形的周長(zhǎng)，求出π值，他的結(jié)果是：π＝3.14159265358979325有十七位準(zhǔn)確數(shù)字。這是國(guó)外第一次打破祖沖之的記錄。16世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)利用阿基米德的方法計(jì)算π近似值，用6×216正邊形，推算出精確到9位小數(shù)的π值。他采用比阿基米德更先進(jìn)的工具：十進(jìn)位置制。17世紀(jì)初，德國(guó)人魯?shù)婪蛴昧藥缀跻簧臅r(shí)間鉆研這個(gè)問(wèn)題。他也將新的十進(jìn)制與早的阿基米德方法結(jié)合起來(lái)，但他是從正方形開(kāi)始的，一直推導(dǎo)出了有262條邊的正多邊形，約4,610,000,000,000,000,000邊形！這樣，算出小數(shù)35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國(guó)圓周率π被稱為“魯?shù)婪驍?shù)”。但是，用幾何方法求其值，計(jì)算量很大，它已引導(dǎo)數(shù)學(xué)家們走得很遠(yuǎn)，再向前推進(jìn)，必須在方法上有所突破。

3 分析法時(shí)期

這一時(shí)期人們開(kāi)始擺脫求多邊形周長(zhǎng)的繁難計(jì)算，利用無(wú)窮級(jí)數(shù)或無(wú)窮連乘積來(lái)1593年，韋達(dá)給出

這一不尋常的公式是π的最早分析表達(dá)式。它表明僅僅借助數(shù)字2，通過(guò)一系列的加、減、乘、除和開(kāi)平方就可算出π值。接著有多種表達(dá)式出現(xiàn)。如沃利斯1650年給出：

1706年，梅欽建立了一個(gè)重要的公式，現(xiàn)以他的名字命名

再利用分析中的級(jí)數(shù)展開(kāi)，他算到小數(shù)后100位。顯然，級(jí)數(shù)方法宣告了古典方法的過(guò)時(shí)。此后，對(duì)于圓周率計(jì)算的紀(jì)錄一個(gè)接著一個(gè)：1844年，達(dá)塞利用公式：

算到了200位。19世紀(jì)以后，類似的公式不斷涌現(xiàn)，π的位數(shù)也迅速增長(zhǎng)。1873年，謝克斯利用梅欽的一系列方法，算到小數(shù)后707位。這一驚人的結(jié)果成為此后74年的標(biāo)準(zhǔn)。此后半個(gè)世紀(jì)，人們對(duì)他的計(jì)算結(jié)果深信不疑，或者說(shuō)即便懷疑也沒(méi)有辦法來(lái)檢查它是否正確。以致于在1937年巴黎博覽會(huì)發(fā)現(xiàn)館的天井里，依然顯赫地刻著他求出的π值。又過(guò)了若干年，數(shù)學(xué)家弗格森對(duì)他的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生了懷疑，其疑問(wèn)基于如下猜想：在π的數(shù)值中，各數(shù)碼出現(xiàn)的機(jī)會(huì)應(yīng)該相同。當(dāng)他對(duì)謝克斯的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)各數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)過(guò)于參差不齊。1946年，弗格森發(fā)現(xiàn)從第528位開(kāi)始是錯(cuò)的（應(yīng)為4，誤為5）。直到1948年1月弗格森和倫奇兩人共同發(fā)表有808位正確小數(shù)的π。這是人工計(jì)算π的最高記錄。

4 計(jì)算機(jī)時(shí)期

1946年，世界第一臺(tái)計(jì)算機(jī)ENIAC制造成功，標(biāo)志著人類歷史邁入了電腦時(shí)代，導(dǎo)致了計(jì)算方面的根本革命。1949年，ENIAC根據(jù)梅欽公式計(jì)算到2035（一般說(shuō)是2037）位小數(shù)，包括準(zhǔn)備和整理時(shí)間在內(nèi)僅用了70小時(shí)。計(jì)算機(jī)的發(fā)展一日千里，其記錄也就被頻頻打破。

5 結(jié)束語(yǔ)

現(xiàn)在打破記錄，不管推進(jìn)到多少位，也不會(huì)令人感到特別的驚奇了。實(shí)際上，把π的數(shù)值算得過(guò)分精確，應(yīng)用意義并不大?，F(xiàn)代科技領(lǐng)域使用的π值，有十幾位已經(jīng)足夠。如果用魯?shù)婪虻?5位小數(shù)的π值計(jì)算一個(gè)能把太陽(yáng)系包圍起來(lái)的圓的周長(zhǎng)，誤差還不到質(zhì)子直徑的百萬(wàn)分之一。我們還可以引美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐克姆的話來(lái)說(shuō)明這種計(jì)算的實(shí)用價(jià)值：“十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以內(nèi)，三十位小數(shù)便能使整個(gè)可見(jiàn)宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強(qiáng)大的顯微鏡都不能分辨的一個(gè)量?！蹦敲礊槭裁磾?shù)學(xué)家們還象登山運(yùn)動(dòng)員那樣，奮力向上攀登，一直求下去而不是停止對(duì)π的探索呢？為什么其小數(shù)值有如此的魅力呢？通過(guò)幾何、微積分、概率等廣泛的范圍和渠道發(fā)現(xiàn)π竟然與這么些表面看來(lái)風(fēng)馬牛不相及的試驗(yàn)，溝通在一起，這的確使人驚訝不已，這充分顯示了數(shù)學(xué)方法的奇異美。

[1]張順艷.數(shù)學(xué)的源與流.高等教育出版社，2003.

[2]劉耀，趙敦.趣談高等數(shù)學(xué).蘭州大學(xué)出版社，2000.

[3]李心燦.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例.北京：高等教育出版社，1997.

[4]劉耀，徐軍民，陳知先.新編高等數(shù)學(xué)（第一冊(cè)）.蘭州大學(xué)出版社，1988.

[5]b·B鮑爾加爾斯基著，潘德松，沈金釗譯.數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史.知識(shí)出版社，1984.

[6]韓雪濤.計(jì)算圓周率.http://www.pep.com.cn/200503/ca.669359.htm，2003.

（編輯 李艷華）

（作者單位：牡丹江市衛(wèi)生學(xué)校）